2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期第一阶段检测数学试题（解析版）

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2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期第一阶段检测数学试题一、单选题1．已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线过点，且倾斜角是，可求得直线的方程.【详解】由于直线过点，且倾斜角是，则直线的方程为，即.故选：C.【点睛】本题考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.2．在空间直角坐标系中，已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，进而可得.【详解】依题意得，所以.故选：B.3．已知，，且与互相垂直，则的值为.A． B． C． D．【答案】B【分析】先得到的坐标，再结合向量垂直关系，可得，进而求解即可.【详解】由题，，因为与互相垂直，所以，即，解得. 故选：B4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直线的斜率的取值范围，结合倾斜角的取值范围可得结果.【详解】直线的方程可化为，所以，，因为，因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：C.5．已知空间四点，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算、数量积运算和空间向量的夹角公式计算即可.【详解】由题意得，，所以，所以，故选：A6．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得 .故选：D     7．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（     ）A．5 B．6 C．4 D．8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解.【详解】如图，平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，.，故选：A.8．已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】按照、分类，求出截距后列方程即可得解.【详解】当时，直线，不合题意；当时，若，则，若，则，所以，所以或，解得或或；所以满足要求的直线的条数是3.故选：C.二、多选题9．给出下列命题正确的是（    ）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解.【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据相反向量的定义可知B正确；对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.10．已知直线，则下列说法正确的是A．若，则m=-1或m=3 B．若，则m=3C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；，则，，C错，D正确．故选：BD．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．11．设动点在正方体的对角线上，记当为钝角时，则实数可能的取值是（    ）A． B． C． D．1【答案】AB【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据题意得到，再解不等式即可得到答案.【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为，则，，，，，，，所以.又因为，，因为为钝角，所以，即，解得.故选：AB【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题.12．已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ）A．若在线段上，则三棱锥的体积为定值B．若在线段上，则与所成角的取值范围为C．若平面，则点的轨迹的长度为D．若，则与平面所成角正切值的最大值为【答案】ACD【分析】A. 如图，当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段，所以该选项正确；D. 点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.【详解】A. 如图，因为平面平面所以平面所以当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为所以与所成角就是与所成的角（锐角或直角），当点在时，由于△是等边三角形，所以这个角为，当时，这个角为，由图得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段,由于,平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面,,所以平面平面，所以平面，，所以点的轨迹的长度为，所以该选项正确；D.如图，由题得与平面所成角为,,即求的最小值，因为,平面,所以平面,所以,所以点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.故选：ACD三、填空题13．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____【答案】【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积.【详解】设底面正方形两条对角线相交于O点，由题可得,PO⊥底面ABCD.在Rt△AOP中,∵AO= AC= ,AP=2,∴PO=.故=故答案为【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.14．过两点，的直线的倾斜角为，则m=______【答案】-2【分析】根据斜率公式以及斜率的定义即可解出．【详解】．故答案为：-2．15．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点，直线的斜率或，的斜率为，的斜率为，直线的斜率或，即，故答案为：．16．正方体的棱上到直线与的距离相等的点有4个，其中3个点分别为，，，如图所示，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，代入公式即可.【详解】正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别，，，其中点为的中点，为的四等分点（靠近）.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设.现证明为的四等分点（靠近）：如图所示，连接交于,连接,则有为点到的距离，由，可得平面，所以，所以为点到直线的距离，设，则有，即，解得：，即为的四等分点（靠近）.则，，，，，，,，设平面的法向量，则，即，取，解得，设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成角的正弦值为：.故答案为：.四、解答题17．（1）求经过点和点的直线的方程；（2）求经过点且倾斜角为的直线方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】解：（1）直线的斜率为，因此，直线的方程为，即；（2）由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.18．已知直线的方程为．（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．【答案】（1）（2）直线的方程为：或【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程.试题解析：（1）设直线的方程为：    直线过点（1，-3），    解得    直线的方程为：．(2)设直线的方程为：   令，得；令，得   则，得  直线的方程为：或．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点.(1)求证：∥平面MNC；(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2).【分析】(1)利用中位线定理证明PA∥MN，然后由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）∵，分别为，的中点，∴PA∥MN，又平面，平面，故PA∥平面；（2）由题可知DA、DC、DP两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设，则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，∴，设平面的法向量为，则，令，则，，故，∴，故直线与平面所成角的正弦值为.20．如图，在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点.(1)求证：；(2)求点F到平面BDE的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，即可证得结论成立；（2）计算出平面的法向量，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】（1）解：在正四棱柱中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，所以，，，则，因此，.（2）解：设平面的法向量为，，则，取可得，所以，点到平面的距离为.21．如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）若，点在棱上，且二面角的大小为，求．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）设的中点为，得，利用已知条件可证明，可得，进而可证面，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）作于点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，设，求出平面的一个法向量，的一个法向量，由题意知：，求得的值即可求解.【详解】（1）设的中点为，连接，，在等边中，可得，在中，有，又因为，所以，所以，即，又因为，，所以面，又因为面，所以平面平面；（2）若，点在棱上，且二面角的大小为，求．不妨设，在中，，所以，在底面内作于点，则两两垂直，以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系如图：则，，，，所以，，，，设，则，设平面的一个法向量为，所以，令可得，，所以，平面的一个法向量，所以，整理可得：，即，所以或（舍）所以，所以.22．如图，三棱柱的侧面是菱形，．（1）求证：平面；（2）若，，且二面角为直二面角，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）.【分析】（1）记与的交点为，连接；根据题中条件，得到；再证，得到，推出；根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）过点作于点，连接、，根据线面垂直的判定定理，先证平面；得到即为二面角的平面角，再证平面，结合题中条件，求出，根据，即可求出三棱锥的体积.【详解】（1）记与的交点为，连接；因为侧面是菱形，所以为的中点，，；由，，可得，，因此，即为等腰三角形，所以；因为，平面，平面，所以平面；（2）过点作于点，连接、，因为平面，由（1）可知；因为，平面，平面，所以平面；因为平面，平面，所以，，则即为二面角的平面角，所以；因为，，，所以，因此；所以，又因为，所以，，则，，因为，所以，又，，平面，平面，所以平面，因此，所以三棱锥的体积为.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系时，可根据判定定理以及性质定理，结合题中条件直接进行证明；也可根据题中条件，建立适当的空间直角坐标系，得出所需直线的方向向量、平面的法向量， 由空间位置的向量表示，即可证明结论成立.