2022-2023学年北京市昌平区高二上学期期末质量抽测数学试题（Word版含答案）

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北京市昌平区2022-2023学年高二上学期期末质量抽测数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知直线，则直线的倾斜角为　　A． B． C． D．2．已知，，，，5，，则　　A． B． C．12 D．143．在的展开式中二项式系数最大的项是　　A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项4．设椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于，两点，如果，那么的值为　　A．2 B．10 C．12 D．145．已知平行六面体中，设，，，则　　A． B． C． D．6．设，则“”是“直线与直线平行”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．其中七个大项分别为：滑雪、滑冰、雪车、雪橇、冰球、冰壶、冬季两项（越野滑雪射击比赛）．现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙、丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为　　A． B． C． D．8．在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，，则直线与所成角的大小为　　A． B． C． D．9．直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则的面积为　　A． B． C． D．10．已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为　　A． B． C． D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知，，是直线的方向向量，，，是直线的方向向量，若直线，则　　．12．在的展开式中所有的二项式系数之和为512，则　　；展开式中常数项的值为　　．13．双曲线的渐近线方程为　　；若抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则　　．14．在空间直角坐标系中，已知点，0，，，1，，，0，，若点，2，在平面内，则　　．15．已知圆，直线过点且与圆交于，两点，当面积最大时，直线的方程为　　．16．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：①△的面积的最大值为；②满足使△的面积为2的点有且只有两个；③点可以是的中点；④线段的最大值为3．其中所有正确结论的序号是　　．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知过点的直线被圆所截得的弦长为．（Ⅰ）写出圆的标准方程及圆心坐标、半径；（Ⅱ）求直线的方程．18．（14分）如图，在四棱锥中，平面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．19．（14分）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．（Ⅰ）共有多少种不同的坐法？（Ⅱ）如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？（Ⅲ）如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？20．（14分）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求点到平面的距离．21．（14分）已知椭圆，，，，点在线段上，且，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，且，求椭圆的方程．参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．【解答】解：设直线的倾斜角为，直线，，，，．故选：．【点评】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．【分析】利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：，，，，5，，则．故选：．【点评】本题考查空间两点间的距离公式，是基础题．3．【分析】利用求展开式中二项式系数最大项的公式即可求解．【解答】解：因为为偶数，所以展开式中二项式系数最大的项只有一项，且为第项，故选：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查学生的运算能力，属于基础题．4．【分析】利用椭圆的简单性质以及椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆可得长轴长为：10，椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于、两点，若，则．故选：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．5．【分析】由已知直接利用空间向量的线性运算求解．【解答】解：如图，，，，．故选：．【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查数形结合思想，是基础题．6．【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．【解答】解：直线与直线平行，则，解得或，故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．7．【分析】先将七个大项的门票分成，2，，再分配到3个学校，根据分步计数原理可得．【解答】解：先将七个大项的门票分成，2，，再分配到3个学校，故有．故选：．【点评】本题考查了分组分配问题，属于基础题．8．【分析】取的中点，连接，由，得到直线与所成角（或所成角的补解）为，再求出即可．【解答】解：取中点，连接，如图，是的中点，，直线与所成角（或所成角的补解）为，设，则，，，是等边三角形，．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断和异面直线所成的角，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】由直线的方程与抛物线的方程联立求出，的坐标，进而求出弦长的值，再由的值可得参数的值，可得焦点的坐标，求出点到直线的距离，代入三角形的面积公式可得面积的值．【解答】解：设，，，，联立，可得：或，所以而，可得，解得，即，，所以到直线的距离，所以，故选：．【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用即三角形的面积公式的应用，属于中档题．10．【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可．【解答】解：设中点为，连接，设中点为，则，所以，当与重合时，取最小值0，此时有最小值，故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，转化思想，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11．【分析】由，根据向量共线的坐标运算求解、的值，再计算即可．【解答】解：，，是直线的方向向量，，，是直线的方向向量，若直线，则，，则，．．故答案为：．【点评】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题．12．【分析】利用求所有二项式系数之和的公式，求出的值，再求出展开式的通项公式，令的指数为0即可求解．【解答】解：由已知可得所有的二项式系数之和为，解得；展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为，故答案为：9；84．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．13．【分析】直接利用双曲线方程求出，，求解渐近线方程，求解即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线，可得，，则，所以渐近线方程为：；双曲线的焦点坐标，抛物线的焦点是双曲线的右焦点，所以，可得，故答案为：；6．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，是基础题．14．【分析】根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出的值．【解答】解：因为，0，，，1，，，0，，所以，1，，，0，，又点，2，在平面内，所以，其中、；由，，，所以，解得．故答案为：．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示和共面定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．【分析】当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设的方程为，，圆心到直线的距离为，由平面几何知识得，推导出当且仅当时，取得最大值2，由此能求出直线的方程．【解答】解：当直线的斜率不存在时，的方程为，则、的坐标为，，，当直线的斜率存在时，设的方程为，，则圆心到直线的距离为，由平面几何知识得，，当且仅当，即时，取得最大值2，，的最大值为2，此时，由，解得．此时，直线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查面积最大时直线的方程的求法，解题时要认真审题，均值不等式的合理运用，属于中档题．16．【分析】先找出的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解．【解答】解：连接，，，、分别为、的中点，易得，从而知，又，又，得平面平面，故点在矩形（除线段上运动，对于①，由图可知，当与重合时，此时三角形面积最大，最大值为，故①对；对于②，由图可知，当或时，△的面积为2，故②对；对于③，由图易知，点不可能在线段，故③错；对于④，由图易知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，故④对；故答案为：①②④；【点评】本题考查了立体几何中的轨迹问题，难点是确定点的轨迹，也是解答本题的关键点，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【分析】整理出圆的标准方程，确定圆的圆心与半径；分类讨论，利用直线被圆截得的线段长为，可得直线与圆心的距离为2，由此可得结论．【解答】解：整理圆的方程得，圆心，半径；由圆得圆心坐标为，半径为4又直线被圆截得的线段长为，直线与圆心的距离为2，当直线斜率存在时，设的斜率是，过，设直线，即；直线与圆的圆心相距为2，，解得，此时直线的方程为；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意．故所求直线的方程为或．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）由线面平行性质可直接证明；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量即可求得线面角的正弦值；（Ⅲ）结合半平面的法向量即可求得二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：因为平面，，故以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设直线和平面所成角为，则；（Ⅲ）解：易知为平面的法向量，则，因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．【点评】本题主要考查线面平行的判断定理，空间向量的应用，线面角的计算，二面角的计算等知识，属于中等题．19．【分析】（Ⅰ）问题等价于7人任意排，问题得以解决；（Ⅱ）先排第一排，再排第二排，根据分步计数原理可得．（Ⅲ）第一类，甲乙同一排，第二类，甲乙不在同一排，根据分类计数原理可得．【解答】解：（Ⅰ）7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人，共有种；（Ⅱ）从除甲乙之外的5人中选3人排在第一排，再排第二排，故有种；（Ⅲ）第一类，甲乙同一排，则只能排在第二排，故有，第二类，甲乙不在同一排，故有种，故共有种．【点评】本题考查了分类和分步计数原理，属于基础题．20．【分析】（Ⅰ）连接，由，，得平面，由此能证明；（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：在棱长为1的正方体中，连接，四边形是正方形，，，，平面，平面，；（Ⅱ）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，是的中点，则，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，，，，1，，，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，，平面，平面；（Ⅲ）平面的法向量，1，，，0，，点到平面的距离为：．【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．【分析】（Ⅰ）由已知向量等式结合分点坐标公式可得的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到椭圆的离心率；（Ⅱ）设，，，，代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得的斜率，求得的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ），，点在线段上，满足，，，，则，，椭圆的离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为．设，，，，则，两式相减得，即，，，，易知不与轴垂直，则，，的斜率为，设其直线方程为，代入（Ⅰ）得，，．于是，由，得，即，解得．故椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和离心率公式，考查椭圆方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，或者运用点差法，属于中档题．