2022-2023学年福建省永泰县第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省永泰县第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．经过点，倾斜角是的直线方程是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．

【详解】倾斜角是的直线的斜率为，

故过点，倾斜角是的直线的方程是，

故选：D．

2．设，直线：，直线，若，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】根据直线平行或重合的条件列方程求，检验排除重合的情形，可得的值.

【详解】若直线：与直线平行或重合则，解方程可得或，

当时，的方程为，的方程为，直线重合，所以不满足条件，

当时，的方程为，的方程为，直线平行，所以满足条件，

故选：B．

3．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．无法确定

【答案】A

【分析】求圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断.

【详解】由圆，可得圆心，半径，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，

故选：A.

4．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的夹角坐标公式求解即可.

【详解】因为，所以，.

故选：C

5．如图所示,在四面体中,,,,点在上,且,为的中点,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】连接,再根据空间向量加法和减法的三角形法则即可得出．

【详解】解:由题知,连接,画图如下:

是的中点,

,

,

,

.

故选:B

6．设、，向量，，且，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为，则，解得，则，

因为，则，解得，即，

所以，，因此，.

故选：D.

7．设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】D

【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.

【详解】

由题设可得，

因为直线与线段相交，则或，

故选：D.

8．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.

【详解】设关于的对称点为，

所以，可得，即对称点为，又

所以“将军饮马”的最短总路程为.

故选：A

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．圆与圆的位置关系是外切

C．直线的倾斜角为

D．过点且倾斜角为的直线方程为

【答案】BD

【分析】利用直线的截距式方程可判断A选项；判断两圆的位置关系，可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当直线过原点时，设所求直线方程为，代入点的坐标可得，

当直线不过原点时，设所求直线方程为，代入点的坐标可得.

综上所述，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，故A错误；

对于B选项，圆的圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆心距为，

因此，圆与圆的位置关系是外切，B对；

对于C选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，C错；

对于D选项，过点且倾斜角为的直线方程为，D对.

故选：BD.

10．给出下列命题，其中是真命题的是（    ）

A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直

B．若直线的方向向量，平面的法向量，则

C．若平面，的法向量分别为，，则

D．若存在实数使则点共面

【答案】AD

【分析】对于A：先计算出，判断出，即可证明与垂直；对于B：判断出，即可得到不成立；对于C：判断出不垂直，即可得到不成立；对于D： 不共线，由平面向量基本定理可以判断；共线时，可以判断共线，则点共面也成立.即可判断.

【详解】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，

且，所以，所以与垂直.故A正确；

对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正确；

对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；

对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；

若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立.

综上所述：点共面.故D正确.

故选：AD

11．已知圆和圆交于P，Q两点，则（    ）

A．两圆有两条公切线

B．垂直平分线段

C．直线的方程为

D．线段的长为

【答案】ACD

【解析】根据圆和圆的位置关系判断A；数形结合可知垂直线段但不平分线段，圆和圆的方程相减判断C；先求得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解判断D.

【详解】对于A：因为圆和圆交于P，Q两点，所以两圆有两条公切线，故正确；

对于B：数形结合可知垂直线段但不平分线段，故错误；

对于C：圆和圆的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；

对于D:圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故正确；

故选：ACD.

12．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为0

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.

【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，

因为表示点与坐标原点连线的斜率，

设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，

，，，A，B正确；

表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，

所以最大值为，又，

所以的最大值为，C错，

因为可化为，

故可设，，

所以，

所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，，且与互相垂直，则______.

【答案】

【解析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.

【详解】由向量，，，

则，

因为与互相垂直，

所以，即 ，

解得 .

故答案为：

14．已知，，，点M为线段AB中点，则点M到点C的距离是________.

【答案】

【分析】由题意首先求得点M和点C的坐标，然后计算其距离即可.

【详解】解：由题意可得：，

则，，，

故答案为：.

15．直线被圆截得的弦长为，则的值为________．

【答案】或##或

【分析】先计算圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式得到答案.

【详解】圆心到直线的距离，

由点到直线的距离公式得，解得或.

故答案为：或

四、双空题

16．已知点，直线：，则点到直线的距离为______，直线关于点对称的直线方程为______．

【答案】     ##    

【分析】利用点到直线距离公式求点到直线的距离，设直线上任一点关于点的对称点，确定的坐标关系，利用代点法求对称直线方程．

【详解】点，直线：，

则点到直线的距离为，

设直线关于点的对称直线为，

则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，

，解得，

将代入直线的方程可得，．

所以直线关于点对称的直线方程为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知直线l经过点．

(1)若点在直线l上，求直线l的方程；

(2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两点坐标可求直线的斜率，进而根据点斜式求方程.（2）根据两直线垂直斜率之间的关系，可求的斜率，然后根据点斜式求方程即可.

【详解】（1）直线l经过点和点，直线l的斜率k＝3，

直线l的方程为（或）；

（2）因为直线l与直线垂直，设直线l的方程为，

因为直线l过点，所以，解得．

所以直线l的方程为

18．如图，长方体中，E是棱DC中点，．

（1）求线段的长；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）建立坐标系，由距离公式得出线段的长；

（2）由向量法得出点到平面的距离．

【详解】（1）以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

因为，所以

（2），

设平面的法向量为

，令，则

故点到平面的距离

19．已知圆E经过点，，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y轴相切；②圆E恒被直线平分；③过直线与直线的交点

(1)求圆E的方程；

(2)求过点的圆E的切线方程，并求切线长.

【答案】(1)

(2)切线方程为或，切线长

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可.

【详解】（1）选①，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，由条件易知，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

（2）因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

所以，解得

所以切线方程为，

若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.

综上过点的圆E的切线方程为或，

切线长

20．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.

【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

.

，

，所以,

由于，所以平面.

（2），

，

设平面的法向量为，则

，令，则，所以.

设直线与平面所成角为，则

.

21．已知圆及直线．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）根据直线过定点，而该点在圆内，即可求解，

（2）由时，圆心到直线的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.

【详解】（1）将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m为何实数，直线与圆恒相交．

（2）（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,

从而此时，

此时,直线方程为，即

22．如图，在四棱锥中，平面，，且，.

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理 由.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据已知条件可得到平面，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量进而得到向量夹角的余弦值，解出t值即可.

【详解】(1)证明：如图，由已知得四边形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，则，

又,所以平面，

所以;                                               

（2）建立如图所示空间直角坐标系，则

设，则的坐标为设是平面的一个法向量，则

，得，则可取

又是平面的一个法向量，

所以，

【点睛】这个题目考查了异面直线垂直的证明，常见方法，可以将两个异面直线平移到同一平面，或者通过证明线面垂直来证线线垂直,也考查到二面角的应用，传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.