2022-2023学年河南省南阳市内乡县实验高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年河南省南阳市内乡县实验高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出.【详解】因为，所以，又因为点N为BC的中点，所以，所以.故选：D.2．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　）A．25种          B．50种         C．300种         D．150种【答案】D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.综上，选法共有.故选:D.3．已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：．故选:A4．以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】直线与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出，可得答案.【详解】直线与坐标轴的交点为，当抛物线的焦点为时，其标准方程为；当抛物线的焦点为时，其标准方程为.故选：D.5．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解.【详解】由圆的方程可知，则圆心坐标，半径为，因为，所以点在圆的内部，设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，显然当最大时，弦长最小，由圆的性质可知当时最大，此时，所以弦长的最小值为，故选：D6．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.【详解】由题意得：，，因为，所以，即，解得：，又，则，由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为，故选：C.7．已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】因为，结合二项展开的通项公式运算求解.【详解】的展开式的通项公式为，，∵， ∴，解得，故选：B.8．已知（1+2x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（    ）A．211 B．210 C．29 D．28【答案】C【分析】根据题意即可得，再根据组合数的性质即可求得n的值，最后根据偶数项的二项式系数之和为进行求解即可．【详解】由题意可得，，所以n=10，则（1+2x）n的二项式系数之和为210.所以所有偶数项的二项式系数之和29，故选：C．9．若直线与互相垂直，则实数（    ）A． B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】根据直线一般式方程下两直线垂直的充要条件列方程，即可得实数的值.【详解】解：若直线与互相垂直，则，即，解得或.故选：D.10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】作于，由抛物线的定义可得，.根据三角形的三边关系可得，，，可知要使取得最小值，则需四点共线，则过过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，可得出最小值.【详解】由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.如图，作于，因为在抛物线上，所以.因为，，当三点共线时，取等号.又，则当三点共线时，取等号.过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，此时，有四点共线，则上述两式可同时取等号.所以有，.所以，的最小值为8.故选：C.二、填空题11．一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为_____________【答案】【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.因此X的分布列为：故答案为：12．已知椭圆C：（）左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线与过的直线交于A点，点A在椭圆上，且.则椭圆C的离心率__________.【答案】##【分析】由题设在Rt△中，，，结合椭圆定义得到齐次方程即可求离心率.【详解】由与过的直线交于椭圆上A点，且，，所以，而，故，，所以，故.故答案为：13．过点作圆的切线，则切线的方程为_________．【答案】或【分析】讨论切线的斜率是否存在.当斜率存在时，设斜率为，得到直线方程，根据圆心到直线的距离，得到，解出，代入直线方程即可.【详解】由已知圆心，半径.又，所以，点在圆外.当直线斜率不存在时，直线的方程为.此时，圆心到直线的距离，所以直线不是圆的切线；当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，整理可得，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，整理得，，解得，或.当时，直线方程为；当时，直线方程为，化为一般式方程为.所以切线的方程为或.故答案为：或.14．我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法【答案】216【分析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理，按照分步乘法，分类加法即可得解.【详解】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.第一类：2个只会跳舞的都不选，有种; 第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有种; 第三类：2个只会跳舞的全入选，有种,所以共有216种不同的选法, 故答案为：216.三、解答题15．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.(1)求的值；(2)若展开式中的常数项为，试问展开式中系数最大的项是第几项？【答案】(1)(2)第9项【分析】（1）由前三项的二项式系数之和等于79，列方程即可求得；（2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可.【详解】（1）因为前三项的二项式系数之和等于79，所以有，解得或.因为，所以.（2）的通项为，所以当，即时，常数项为，解得.由不等式组解得.因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第9项.16．若，其中.(1)求m的值；(2)求；(3)求.【答案】(1)(2)(3)0【分析】（1）由展开式的通项求解即可；（2）令与即可求解；（3）令并结合（2）即可求解得【详解】（1）的展开式的通项为，所以，所以，解得；（2）由（1）知，令，可得，令，可得，所以；（3）令，可得，由（2）知，所以17．如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1) 若为中点，连接，易证为平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，易知是面的一个法向量，求出平面的法向量量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）若为中点，连接，又､为､的中点，底面为矩形，所以且，而且，所以且，故为平行四边形，故，又面，面，则面.（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，所以，，，，则，，，若是面的一个法向量，则，令，故，又是面的一个法向量，所以，故平面与平面的夹角的余弦值.18．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式求解.（2）利用相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式计算概率，再按步骤写出离散型随机变量的分布列.【详解】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，租车费相同，即两人都在同一时间段还车，标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则，所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．（2）由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且；；；；．所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为X234PX234PX234PX02468P