2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

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2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．“”是“直线与直线平行的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当时，，即，解得或.当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（     ）A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直【答案】B【详解】因为，，，，所以,,可得，所以，线与的位置关系是平行，故选B．3．已知若不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（    ）A．0 B． C．9 D．【答案】D【分析】由题意得出共面，由向量共面的性质列出方程组求解即可.【详解】∵不能构成空间的一个基底，∴共面，则，其中x，y∈R，则(7，5，λ)=(2x，-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，∴解得故选：D.4．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)．A． B． C． D．【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ＝＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.5．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（    ）A．等于 B．和的长度有关C．等于 D．和点Q的位置有关【答案】A【分析】取的中点G，连接，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，设是平面的法向量，则由得令，则，所以是平面的一个法向量．设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．故选：A．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.【详解】由题意，易知直线的方程为，且,∵圆可化为，∴圆心为，半径为1，又∵圆心到直线的距离，∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，故面积的最小值为.故选：D.7．点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（    ）A． B． C．3 D．9【答案】C【分析】根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．【详解】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，则圆心坐标为（－，－1），半径为因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.故选：C．8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】确定曲线是半圆（右半圆），直线过定点，求出直线过点时的斜率，再求得直线与半圆相切时的斜率，由图形可得的范围．【详解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，．如图，作出半圆，当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．由图形可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A．9．已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题给条件得到关于的关系式，即可求得椭圆的离心率.【详解】设在椭圆上，所以，两式相减，得，由直线AB的倾斜角为，可知，所以；设，，所以，所以，所以，即，所以.故选：B.10．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线中a，b，c的关系先求出b，进而可求焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，，又，解得.所以双曲线的一条渐近线方程为，即.故选：B.11．已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点，若，则面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入，可得 ，根据韦达定理有 ∵， ，从而 ∵点A，B位于x轴的两侧，∴ ，故 ．故直线AB所过的定点坐标是 即有面积 ，当 时，即直线AB垂直于x轴，的面积取得最小值，且为8．【点睛】本题考查考查三抛物线中三角形的面积的最值，注意求出直线恒过定点，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题12．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（    ）A．14 B．13 C．12 D．10【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得的周长为；然后分析出当最小时，最大，从而求出的最小值即可.【详解】由椭圆的定义，知，，所以的周长为，所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为.故选：A.二、填空题13．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=2，则AB与PC的夹角的余弦值为______.【答案】【分析】利用向量夹角公式来计算出与的夹角的余弦值.【详解】∵··()=··=1××cos 45°=1，又||=1，||=，∴cos<，>=.故答案为：14．已知椭圆的右焦点为，轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为________．【答案】【分析】通过几何关系，确定，并进一步确定三角形的形状，然后由椭圆定义和离心率公式即可求解.【详解】如图，过作轴的垂线，记垂足为P，由已知，可知P为OF中点，因为轴，所以N为MF中点，不妨设，则，易得，为正三角形，记椭圆的左焦点为，则，所以可知 故,所以,由椭圆的定义,所以离心率=故答案为：15．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.【答案】【分析】求出抛物线的焦点，根据可求的值，从而可求渐近线方程.【详解】∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，∴．所以双曲线的渐近线方程为.故答案为: .16．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则___________．【答案】6【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，设出点坐标，利用中点坐标公式求得点的坐标，代入抛物线方程并化简，由此计算出的值.【详解】如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，设抛物线的准线与x轴的交点为，则，．因为M为FN的中点，所以，由抛物线的定义知，从而．故答案为：617．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水位下降1米后，则水面宽多少米？【答案】【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为由题意可得,将点A代入抛物线，得 ，所以方程为：,设点，则，解得，所以水面宽为米．三、解答题18．如图，正方体的棱长为a．(1)求和的夹角；(2)求证：．【答案】(1)60°(2)证明见解析【分析】（1）选好基底后，根据空间向量数量积即可求解；（2）利用向量垂直，数量积为0即可得解.【详解】（1），，．由于正方体的棱长为a，，且，，．，，．又，，．又，，与的夹角为60°．（2）证明：由（1）知，，，，．19．已知的三个顶点、、．(1)求边所在直线的方程；(2)边上中线的方程为，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；（2）首先根据直线方程，可得，然后利用点到直线距离，得到点到直线的距离为：，再根据，得到，最后解方程组即可得到参数的值.【详解】（1）因为、，所以BC边所在直线的方程为：；（2）BC边上中线AD的方程为，所以有，点A到直线BC的距离为：，，因为，所以有，因此有或，解得：或，所以点A的坐标为：或．20．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．（1）当时，求AB的长．（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）.【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，圆心到直线AB的距离为，则，所以；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，因为，所以，直线AB的点斜式方程为即.21．设椭圆C：的焦点为、，且该椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得，解方程组即可求解；（2）由题意可得，即，将点代入可得，解方程组即可求解.【详解】（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为 （2）点满足，则有，且，，即①，而点在椭圆上，则②，取立①②消去，得，所以.【点睛】关键点点睛：第二问求的关键点是利用由，可得，再利用在椭圆上可得即可求解.22．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，当均在双曲线左支时，，所以，即，解得（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当均在双曲线右支时，因为，所以，即，即，解得（负值舍去），于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得，由，得，即，联立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．