2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期1月期末质量检测数学（理）试题（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期1月期末质量检测数学（理）试题（含解析）

太康县2022-2023学年高二上学期1月期末质量检测数学（理）试题考生注意:1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间 120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修一、选择性必修二第一章。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，且，则x的值为( )A.4 B.2 C.3 D.1正四棱锥的所有边长都相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为( )A. B. C. D.3. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )A. B. C. D.4. 已知数列满足，，，则( )A. B. C. D.5. 已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )A.3 B.2 C. D.若直线l的方向向量，平面的法向量，则( )A. B. C. D.或7. 点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于( )A. B. C.3 D.98. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为( )A. B. C. D.9. 一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有( )A.442个 B.408个 C.340个 D.306个已知双曲线的右焦点为F，圆F的半径为2，双曲线C的一条渐近线与圆F相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为( )A. B. C.2 D.11. 已知数列满足，且对任意都有，则t的取值范围为( )A. B. C. D.12. 已知抛物线的焦点是F，点是其准线上一个动点，其中过点T且斜率为的直线与拋物线C交于A，B两点，过点F的直线交拋物线C于P，Q两点.若则直线的斜率k的取值范围为( )A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，平面ABC，.M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______.已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆C的离心率的取值范围是________.已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，，则______.将等差数列按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵中第20 行从左至右的第5个数是________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）试判断数列为等差数列是(为常数,且,)的什么条件？并说明理由.18.（12分）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且.（1）求证：；（2）求EF与所成角的余弦值.19.（12分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列.（2）求数列的前n项和.20.（12分）河道上有一抛物线形拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m，拱圈内水面宽24m，一条船在水面以上部分高65m，船顶部宽6m.（1）试建立适当的平面直角坐标系，求拱圈所在的抛物线的标准方程；（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少?（精确到0.1m）21.（12分）已知椭圆的上顶点A,右焦点为是坐标原点,是等腰直角三角形,且周长为(1)求椭圆方程;(2)若直线l与垂直,且直线l交椭圆于两点,求面积的最大值.22.（12分）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线C上一点.若第一象限的点P，Q是双曲线C上不同的两点，且.（1）求C的离心率；（2）设A，B分别是C的左、右顶点，证明：.数学（理）参考答案1、答案：A解析：因为，所以，因为向量，，所以，解得，所以x的值为4，故选：A.2、答案：C解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，.，，，BE与SA所成角的余弦值为.故选C.3、答案：D解析：圆的标准方程为，圆心.因为点为弦MN的中点，所以.又AP的斜率，直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.4、答案：D解析：由，得，故，是周期为6的数列.，，所以，，，，故，故选D.5、答案：D解析：点，，圆化为，圆心，半径是.直线AB的方程为，圆心到直线AB的距离为.直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是.面积的最小值为.故选：D.6、答案：D解析：因为，所以，所以或.故选：D7、答案：C解析：的圆心坐标，因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线对称，所以直线经过圆心，所以，解得，所以圆的方程为：，即，所以圆的半径为3.故选C.8、答案：D解析：方法一：由题意可设，结合条件可知，，故离心率.方法二：由可知P点的横坐标为c，将代入椭圆方程可得，所以.又由可得，故，变形可得，等式两边同除以，得，解得或(舍去).9、答案：C解析：设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列，共n排座位，故得到首项，公差，，由可得，所以座位总数为，故该礼堂的座位总数共有340个，故选：C.10、答案：B解析：双曲线，右焦点，一条渐近线，F到渐近线的距离，，所以，离心率.故选：B11、答案：D解析：数列满足，时，，时，，可得.，数列为等比数列，首项为，公比为..对任意都有，则t的取值范围为故选：D.12、答案：C解析：由题可得，所以抛物线C的方程为直线的方程为，设直线的方程为由消去x，得所以则.由消去x，得所以所以因为，所以，结合点在抛物线C上可得，即所以，即因为，所以即所以或故选C.13、答案：解析：易知,,，故以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由M为PC的中点可得，则，，设为平面MBA的一个法向量，则即令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.14、答案：解析：因为四边形是平行四边形，则且，则若，即所以，即，同除以可得：，解得.因为，所以.故答案为：.15、答案：4解析：设，，而，则，①，，，由，得，所以，②联立①②得：.故答案为：4.16、答案：583解析：记每一行的第1个数组成数列则累加得所以则第20行从左到右的第5个数是17、答案：若数列为等差数列,公差为0时,(为常数),不满足(为常数,且,）；公差不为0时,(其中,且为常数),满足(为常数,且,)；所以由“为等差数列”,不能推出“(为常数,且,)”；若(为常数,且,),则,所以数列为等差数列,因此,由“(为常数,且,)”能推出“为等差数列”.所以,数列为等差数列是(为常数,且,)的必要非充分条件.解析：18、（1）答案：见解析解析：证明：设，则..，，.（2）答案：解析：由(1)知，又，.，与所成角的余弦值为.19、（1）答案：见解析解析：证明：(常数)，又，是首项为-1，公比为-1的等比数列.（2）答案：见解析解析：由(1)知，，..当n为偶数时，；当n为奇数时，.20、答案：（1）设抛物线形拱桥与水面两交点分别为A,B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，设拱圈所在抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，解得，故拱圈所在抛物线的方程是.（2）在中，当时，，，故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低0.6m，才能安全通过桥洞.解析：21、答案：(1)在中,因为是等腰直角三角形,且周长为所以,解得因此椭圆方程为(2)由(1)知,,因为直线l与垂直,所以可设直线l的方程为,代入,得,得设,则又点A到直线l的距离所以令则令,则或令,则或因此在和上是增函数,在和是减函数又所以,即因此面积的最大值是.解析： 22、答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意知，即，所以.将代入双曲线的方程得，解得，所以，故C的离心率.（2）由（1）可知双曲线C的方程为，，.不妨设点P在Q的上方，，，则，，又，，所以，，则.又，，所以，所以，又，，所以.