2022-2023学年湖北省武汉市第六中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年湖北省武汉市第六中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．设在处可导，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为在处可导,所以，由导数的定义可得：.故选：A2．已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（    ）A．3 B．14 C．28 D．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等差数列性质求得值.【详解】解：正项等差数列，则若，则，解得或（舍）则.故选：D.3．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及两点的距离公式，利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆上的点到直线的最值问题及三角形的面积公式即可求解.【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点，所以令，得，所以，令，得，所以，所以，因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为,设点到直线的距离为，所以，即，于是有，所以，故面积的取值范围为.故选: A.4．《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】在圆锥中，平面，设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，因为，所以、、、，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：B.5．数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用累乘法可求得；利用错位相减法可求得；分别代入和即可求得结果.【详解】由得：，；设，则，，，，即，.故选：B.6．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的横坐标为，设直线，将代入，得，则，解得，故直线l的方程为．故选：C．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．7．已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦点的直线与两条渐近线分别交于点，，以为直径的圆过点，则下列说法不正确的是（    ）A．双曲线的标准方程为 B．直线的倾斜角为或C．圆的面积等于 D．与的面积之比为【答案】D【分析】设双曲线方程为，代入求出双曲线的标准方程可判断A；，根据渐近线方程和倾斜角可得直线的倾斜角可判断B；根据双曲线的对称性，设的倾斜角为，求出直线的方程分别与两条渐近线方程联立，解得，点坐标，求出得圆的半径，求出圆的面积可判断C； 为与的公共边， 与的面积之比等于可判断D.【详解】对于A，∵双曲线的渐近线为，∴设双曲线方程为，∵双曲线经过点，∴，得.∴双曲线的标准方程为，故A正确；对于B，∵以为直径的圆过点，∴，又渐近线方程为，可得渐近线的倾斜角分别为，，则，，则直线的倾斜角为或，故B正确；对于C，根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由，可得直线的方程为，分别与两条渐近线方程联立，解得，，此时，故圆的半径，其面积为，故C正确；对于D，∵为与的公共边，∴与的面积之比等于，故与的面积之比为，故D错误.故选：D.8．已知数列满足，则数列的前2023项的和（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累加法得到,代入得到,再利用分组求和法计算得到答案.【详解】因为，所以，即，所以所以.所以.故选：D二、多选题9．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则有，解得或，当时数列不是单调数列，所以，所以，故A错误；，故B正确；，故C错误；，，所以成立，故D正确.故选:BD.10．设数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则的最小值为C．若，则数列的前17项和为D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为2023【答案】BC【分析】令时，由求出可判断A；由知，，当时，取得的最小值可判断B；若，求出数列的前项和可判断C；由数列的下标和性质可得，则可判断D.【详解】对于A，由，当时，，由，当时，，所以，A不正确；对于B，若，当时，，则，所以当时，取得的最小值为，所以，B正确；对于C，若 ，设数列的前项和为，所以，故C正确；对于D，数列为等差数列，且，则，所以，当时，的最大值为，所以D不正确.故选：BC.11．设椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为4，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，的周长的最大值为12．过点的直线交椭圆于C，D两点，且C，D关于点M对称，则下列结论正确的有（    ）A．椭圆的方程为B．椭圆的焦距为C．椭圆上存在4个点Q，使得D．直线CD的方程为【答案】ACD【分析】由椭圆定义，利用直角三角形直角边和斜边关系，知AB过点时周长最大为求出，再由短轴得出，可求得椭圆方程，知A正确，由的值可确定焦距，知B错误，由知在以线段为直径的圆上，由知C正确，利用点差法可求得直线方程，知D正确.【详解】对于A，由题意知，当过点时，等号成立，所以，故当过右焦点时，的周长取最大值，所以，又，所以椭圆的方程为，A正确；对于B，由A知，所以，即焦距为，B错误；对于C，由知，在以线段为直径的圆上，由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，即椭圆上存在个点，使得，C正确；对于D，由题意知点为弦的中点，在椭圆内部，设，，则，，两式相减得：．，，则，，直线的方程为：，即，D正确.故选：ACD.12．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ）A．在抛物线的准线上 B．C． D．面积的最小值为4【答案】ACD【分析】对A：根据题意利用导数求切线的方程，进而求交点坐标，结合韦达定理分析运算；对B：利用韦达定理可得，即可得结果；对C：分和两种情况讨论，分析运算可得，即可得结果；对D：根据题意可求面积，分析运算即可.【详解】对A：抛物线的焦点为，准线为.设直线的方程为，联立方程组得，则.因为，所以，故在处切线的斜率，则直线的方程为，即，同理可得：直线的方程为，联立方程，解得，所以，故在抛物线的准线上，A正确；对B：因为，所以，则，故B错误；对C：当时，则直线的斜率不存在，故；当时，则直线的斜率，则，所以；综上所述：.则，所以，C正确；对D：设的中点为，则，∴面积，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为4，D正确.故选：ACD.三、填空题13．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．【答案】##5.5【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，又由直线是曲线在点处的切线，则，所以．故答案为：14．已知在数列中，，，则______．【答案】【分析】由构造法可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，解得．故答案为：.15．已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为______.【答案】【分析】由题知，进而根据得，再根据焦半径公式得，再联立抛物线与直线的方程得，最后根据计算即可.【详解】解：如图，因为为等边三角形，且面积为，所以，，解得，因为，所以，因为由焦半径公式得：，解得，所以，抛物线，直线的方程为：.所以，联立方程得，解得，因为，所以所以故答案为：16．已知数列的前项和为，且满足，若使不等式成立的最大整数为10，则的取值范围是__________.【答案】【分析】构造得，利用累加法得到，分和讨论，再结合等差数列前和公式及二次函数零点分布即可得到关于的不等式组，解出即可.【详解】，两边同除得，，所以，即，化简得，当时，，，，，，故其无最大值，不合题意，舍去；当时，，故是以为首项，公差为的等差数列，，，化简得，,，故，即，令，显然，且两根之积为，设，则有，即，结合，解得，故答案为：.【点睛】关键点睛：本题通过构造得到，然后利用累加法才能得到，即得到表达式，结合等差数列前和公式才能得到的表达式，最后解含参的一元二次不等式，，利用二次函数根的分布才能得到有关不等式组.四、解答题17．已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式；（2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，①，当时，②，①减②得：，当时，成立，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以18．如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.(1)证明：平面；(2)若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.【详解】（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以点在以为直径的圆上，所以.又因为，，平面所以平面.（2）取中点，连接，因为，所以，由（1）得平面，又因为面，所以平面面，因为为两平面交线，所以面，以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，，，，由，得，所以，设平面的法向量为，所以，即，取，则，，所以，又因为平面的法向量，所以,因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.19．已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求椭圆方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向量关系，转化为坐标关系，并利用韦达定理消元整理，并根据，求解.【详解】（1）由题可知 解得故椭圆的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，由，，得，同理，当,时，得，所以，当直线l的斜率存在时，即时，设直线的方程为，联立消去y得.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以，即①.设，则②，则，由，得③，③代入②得，化简整理得④，将④代入①得，化简得，解得或.综上，m的取值范围为.20．已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线．(1)求双曲线的方程；(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件可列出关于 的的方程，解方程组可得的值，即得答案.（2）将直线方程和双曲线方程联立，消去可得根与系数的关系式，然后根据线段的垂直平分线过点，利用斜率之间的关系得到关于k的方程，即求得答案.【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以，因为点在双曲线上，所以，所以，故双曲线的方程为；（2）设，，联立方程组，得，则，，，所以的中点坐标为．由得，且．因为线段的垂直平分线过点，所以 ，可得或（舍去），故直线的方程为．21．记数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得；（2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解.【详解】（1），当时，，两式相减，得，整理得，当时，，经检验，满足，数列是以为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）得，，，两式相减得，，又对于且恒成立，即，等价于对于且恒成立，令，则，则有，所以当时，，当时，，所以，则.22．已知点是焦点为F的抛物线C：上一点．(1)求抛物线C的方程；(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且的内切圆方程为，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入抛物线的方程即可得出答案；（2）首先设，点，点，求出直线的方程，根据圆心到直线的距离为，得到，同理得到，即是关于的方程的两根，再根据韦达定理得到，表示出面积，由均值不等式即可得出答案.【详解】（1）因为点是抛物线C：上一点，所以，解得：，所以.（2）设点，点，点，直线方程为：，化简得．的内切圆方程为，圆心到直线的距离为，即．故．易知，上式化简得，．同理有，，是关于的方程的两根．，．．，，点到直线的距离为，所以面积为，令，则，因为，，当且仅当取等，所以.故面积的最小值为．