2022-2023学年湖南省益阳市高二上学期六校联考数学期末试题（含答案）

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益阳市2022-2023学年六校期末联考数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。（选择性必修1+选择性必修2数列部分）一、选择题（共40分）已知向量 a=1,2,-2，b=-3,-6,6，c=2,1,2，则它们的位置关系是    A． a∥b，a∥c B． a⊥b，a⊥c C． a⊥b，b∥c D． a∥b，b⊥c在三棱锥 P-ABC 中，CP，CA，CB 两两垂直，AC=CB=1，PC=2，在如图所示的坐标系下，下列向量中是平面 PAB 的法向量的是    A．1,1,12 B．1,2,1 C．1,1,1 D．2,-2,1已知等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 q=2，S2=6，则 S3=   A． 8 B． 10 C． 12 D． 14如图，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3），⋯，设第 n 个图形的边长为 an，则数列 an 的通项公式为    A． 13n B． 13n-1 C． 13n D． 13n-1任意三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知 △ABC 的顶点 A2,0，B0,4，若其欧拉线的方程为 x-y+2=0，则顶点 C 的坐标为    A． -4,0 B． -3,-1 C． -5,0 D． -4,-2已知定点 B3,0，点 A 在圆 x+12+y2=4 上运动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是    A． x+12+y2=1 B． x-22+y2=4 C． x-12+y2=1 D． x+22+y2=4已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接 MF1 交双曲线 C 左支于点 N，若 △MNF2 是以 F2 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为    A． 2 B． 3 C． 2 D． 5已知 F1，F2 分别为双曲线 C:x22-y26=1 的左、右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限）．设点 H，G 分别为 △AF1F2，△BF1F2 的内心，则 ∣HG∣ 的取值范围是    A． 22,4 B． 2,463 C． 433,22 D． 22,463二、多选题（共20分）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 AB=2,-1,-4，AD=4,2,0，AP=-1,2,-1．下列结论正确的有    A． AP⊥AB B． AP⊥AD C． AP 是平面 ABCD 的一个法向量 D． AP∥BD数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1=2Snn∈N*，则有    A． Sn=3n-1 B． Sn 为等比数列 C． an=2⋅3n-1 D． an=1,n=12⋅3n-2,n≥2已知双曲线 C 过点 3,2 且渐近线为 y=±33x，则下列结论正确的是    A． C 的方程为 x23-y2=1 B． C 的离心率为 3 C．曲线 y=ex-2-1 经过 C 的一个焦点 D．直线 x-2y-1=0 与 C 有两个公共点定义点 Px0,y0 到直线 l:ax+by+c=0a2+b2≠0 的有向距离为 d=ax0+by0+ca2+b2．已知点 P1，P2 到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2．以下命题不正确的是    A．若 d1=d2=1，则直线 P1P2 与直线 l 平行 B．若 d1=1，d2=-1，则直线 P1P2 与直线 l 垂直 C．若 d1+d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 垂直 D．若 d1⋅d2≤0，则直线 P1P2 与直线 l 相交三、填空题（共20分）如图，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB1 的坐标为 4,3,2，则 BD1 的坐标为．在平面直角坐标系中，经过三点 0,0，1,1，2,0 的圆的方程为．已知等差数列 an 中，a2=4，a6=16，若在数列 an 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第 41 项为．设抛物线 x2=4y 点 F 是抛物线的焦点，点 M0,m 在 y 轴正半轴上（异于 F 点)，动点 N 在抛物线上，若 ∠FNM 是锐角，则 m 的范围为．四、解答题（共70分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥底面ABC，CAB=90∘，AB=AC=2，AA1=3，M 为 BC 的中点，P 为侧棱 BB1 上的动点．（12分）(1) 求证：平面APM⊥平面BB1C1C；(2) 试判断直线 BC1 与 AP 是否能够垂直．若能垂直，求 PB 的长；若不能垂直，请说明理由．设数列 an 满足 a1=2，an+1=an+3⋅22n-1n∈N+．（10分）(1) 求 a2 和 a3 的值．(2) 求数列 an 的通项公式．(3) 令 bn=nan，求数列 bn 的前 n 项和 Sn．已知各项为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn 的通项公式 bn=n,n 为偶数n+1,n 为奇数n∈N*，若 S3=b5+1，b4 是 a2 和 a4 的等比中项．（12分）(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 求数列 an⋅bn 的前 n 项和 Tn．已知直线 l：kx-y+1+2k=0k∈R．（12分）(1) 证明：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3) 若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设 △AOB 的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程．已知圆 C 过点 M0,-2，N3,1，且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上．（12分）(1) 求圆 C 的方程；(2) 设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P2,0 的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆 C 的离心率为 32，长轴的两个端点分别为 A-2,0，B2,0 . （12分）(1) 求椭圆 C 的方程．(2) 过点 1,0 的直线与椭圆 C 交于 M，N（不与 A，B 重合）两点，直线 AM 与直线 x=4 交于点 Q，求证：S△MBNS△MBQ=∣BN∣∣BQ∣答案一、选择题1. D2. A3. D4. D5. A6. C7. B8. D二、多选题9. A；B；C10. A；B；D11. A；C12. B；C；D三、填空题13. (-4,-3,2)14. x2+y2-2x=015. 3116. (0,1)∪(1,9)四、解答题17. (1) 因为在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥底面ABC，CAB=90∘，AB=AC=2，AA1=3，M 为 BC 的中点，P 为侧棱 BB1 上的动点．所以 AM⊥BC，AM⊥BB1，因为 BC∩BB1=B，所以 AM⊥平面BB1C1C，因为 AM⊂平面APM，所以 平面APM⊥平面BB1C1C．(2) 以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，B0,2,0，C12,0,3，A0,0,0，设 BP=t0≤t≤3，则 P0,2,t，BC1=2,-2,3，AP=0,2,t，若直线 BC1 与 AP 能垂直，则 BC1⋅AP=0-4+3t=0，解得 t=433，因为 t=433>BB1=3，所以直线 BC1 与 AP 不能垂直．18. (1) 直线 l：kx-y+1+2k=0k∈R 变形可得 y-1=kx+2，所以直线 l 过定点 -2,1．(2) 将直线方程变形可得 y=kx+1+2k，因为直线 l 不经过第四象限，所以 k≥0,1+2k≥0, 解得 k≥0，所以 k 的取值范围为 0,+∞．(3) 直线 l：kx-y+1+2k=0k∈R，分别令 y=0，x=0，可得点 A-1+2kk,0，B0,1+2k，由 -1+2kk0 解得 k>0．S△AOB=12∣OA∣ ∣OB∣=12⋅1+2kk⋅1+2k=12⋅4k+1k+4≥12⋅24k×1k+4=4.当且仅当 4k=1k，即 k=12（k=-12 舍去）时取等号，此时直线 l 的方程为 12x-y+1+1=0，整理可得 x-2y+4=0，综上可知，S△AOB 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0．19. (1) n=1 时，a2=a1+3⋅21=8；n=2 时，a3=a2+3⋅23=32．所以 a2=8，a3=32．(2) 由题知：an+1-an=3⋅2n-1，所以 a2-a1=3⋅21，a3-a2=3×23，a4-a3=3×25，⋯，an-an-1=3×22n-3，左右分别相加得：an-a1=3×21+3×23+3×25+⋯+3×22n-3=3×2⋅1-4n-11-4=22n-1-2,所以 an=22n-1-2+2=22n-1．(3) bn=n×22n-1，Sn=1×21+2×23+3×25+⋯+n-1×22n-3+n×22n-1, ⋯⋯①4Sn=1×23+2×25+3×27+⋯+n-1×22n-1+n×22n+1, ⋯⋯②① - ②得：-3Sn=21+23+25+27+⋯+22n-1-n×22n+1=2×1-4n1-4-n×22n+1=22n+13-23-n×22n+1,所以 Sn=3n-1×22n+1+29．20. (1) 由 bn=n,n 为偶数n+1,n 为奇数 知 b5=6，b4=4，设 an 的公比为 q，则由 S3=7，得 a1+a2+a3=7，即a1+a1q+a1q2=7, ⋯⋯①又 a32=a2⋅a4=b42=16，所以 a3=4，a1q2=4, ⋯⋯②由 ①② 消去 a1 得 3q2-4q-4=0，解得 q=2 或 q=-23（舍去），将 q=2 代入 ② 得a1=1,所以 an=2n-1．(2) 当 n 为偶数时，有Tn=1+1⋅20+2⋅21+3+1⋅22+4⋅23+5+1⋅24+⋯+n-1+1⋅2n-2+n⋅2n-1=20+2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n-1+20+22+⋯+2n-2,令 Hn=20+2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n-1，则2Hn=21+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+n⋅2n,作差得-Hn=20+21+22+23+⋯+2n-1-n⋅2n=1-2n1-2-n⋅2n=1-n2n-1,故Hn=n-12n+1,所以Tn=Hn+1-4n21-4=n-12n+1+13⋅2n-13=n-232n+23,当 n 为奇数且 n≥3 时，有Tn=Tn-1+n+12n-1=n-532n-1+23+n+12n-1=2n-232n-1+23;经检验知 T1=2 符合上式，所以Tn=2n-232n-1+23,n 为奇数,n-232n+23,n 为偶数.21. (1) 设圆 C 的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有 -D2-E+1=0,4-2E+F=0,10+3D+E+F=0,解得 D=-6,E=4,F=4,所以圆 C 的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0．(2) 设符合条件的实数 a 存在，由于 l 垂直平分弦 AB，故圆心 C3,-2 必在 l 上，所以 l 的斜率 kPC=-2，而 kAB=a=-1kPC，所以 a=12，把直线 ax-y+1=0 即 y=ax+1 代入圆 C 的方程，消去 y，整理得 a2+1x2+6a-1x+9=0，由于直线 ax-y-1=0 交圆 C 于 A，B 两点，故 Δ=36a-12-36a2+1>0，即 -2a>0，解得 a