2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：依题意有，解得，所以.【解析】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知：，该双曲线的焦点坐标为：，双曲线的渐近线方程为：，所以焦点到渐近线的距离为：，故选：A3．已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，因此直线的倾斜角的取值范围是．故选：C5．已知是等比数列，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D6．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是A． B． C． D．【答案】D【详解】由题，为可导函数， ，即曲线在点处的切线的斜率是 ，选D【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．7．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以的最小值为.故选：C.8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B．3 C．2 D．【答案】D【分析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值．【详解】由双曲线的定义可得，由，可得，，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，结合，可得，，，代入上式子中，得到，即，结合离心率满足，即可得出，故选：D．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、多选题9．直线和圆的位置关系是（    ）A．相离​ B．相切或相离 C．相交​ D．相切【答案】CD【分析】直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率不存在或存在且不为0，结合图形判断直线和圆的关系．【详解】∵  圆可化为∴  圆心为（0，1），半径为1，∵直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，∴直线和圆的关系是相交或相切，故选：CD．10．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（    ）A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是180C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为【答案】ABC【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，故C正确；由此可得，故A正确；，故B正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，故D错误．故选：ABC．11．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）A．椭圆的长轴长为4B．椭圆的离心率为C．椭圆的方程可以为D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ACD【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，由图象可得， ∴ ，又，，∴  ，∴ 椭圆的长轴长为4，A对，椭圆的离心率为，B错，圆的方程可以为，C对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，故选：ACD.12．已知函数的定义域为，则（    ）A．为奇函数B．在上单调递增C．有且仅有4个极值点D．恰有4个极大值点【答案】BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为的定义域为，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，又，当时，，则在上单调递增，显然，令，得，分别作出，y在区间上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点，故选： BC．三、填空题13．直线：，：，若，则________．【答案】2【分析】由两直线平行的判定列方程求参数，注意验证排除重合的情况.【详解】由题设，，则，所以或，当，：，：重合，不合题设；当，：，：平行，满足题设；故.故答案为：214．函数的单调减区间为__________．【答案】【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.【详解】解：，，由，即，解得 ，，即函数的单调减区间为，故答案为：15．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．【答案】【分析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以故答案为：.16．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.【答案】【分析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.四、解答题17．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．(1)求圆A的标准方程；(2)求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；（2）分别讨论直线l与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.【详解】（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切得，∴圆A的标准方程为.（2）i. 当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；ii. 当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，Q是MN的中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.∴直线l的方程为或.18．在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】(Ⅰ)或 .(Ⅱ)【详解】试题分析：(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解．试题解析：（Ⅰ）∵成等比数列，∴，整理得，解得或，当时，;当时，．所以或 ．（Ⅱ）设数列 前项和为 ，∵ ，∴ ，当 时，，∴；当时， ．综上 19．已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，故当时，，两式相减得，又由题设可得，从而的通项公式为：；（2）因为，，两式相减得：所以.20．已知函数f（x）=x3（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点．【答案】（1）递增区间为（-∞，+∞）；（2）见解析【分析】（1）先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间；（2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况.【详解】（1）当a=1时，．∵=x22x+1=（x1）2≥0，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．（2）∵=x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（xa2）[x（a+2）]，①当a=1或a=2时，a2=a+2，∵≥0恒成立，函数为增函数，无极值；②当a＜1或a＞2时，a2＞a+2，可得当x∈（∞，a+2）时，＞0，函数为增函数；当x∈（a+2，a2）时，＜0，函数为减函数；当x∈（a2，+∞）时，＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．③当1＜a＜2时，a2＜a+2．可得当x∈（-∞，a2）时，＞0，函数为增函数；当x∈（a2，a+2）时，＜0，函数为减函数；当x∈（a+2，+∞）时，＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．综上可得：当a=1或a=2时，函数无极值点；当a＜1或a＞2时，函数有极大值点a+2，函数有极小值点a2；当1＜a＜2时，函数有极大值点a2，函数有极小值点a+2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值点问题，函数的极值点为导数的变号零点，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，判断是否为定值?若是，求出定值：若不是，说明理由，【答案】(1)(2)是；【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出，结合关系式得出，即可得出椭圆的方程；（2）由平行于轴特殊情况求出，即；当平行于轴时，设过的直线为，联立椭圆方程，令化简得关于的二次方程，由韦达定理即可求解.【详解】（1）由题可知，，解得，又，解得，故椭圆的标准方程为：；（2）如图所示，当平行于轴时，恰好平行于轴，，，；当不平行于轴时，设，设过点的直线为，联立得，令得，化简得，设，则，又，故，即.综上所述，.22．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，求实数a的最小值；(2)若当a＞0时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的取值范围.【答案】(1)-1(2)【分析】（1）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的最小值.（2）先求得，然后对进行分类讨论，结合在区间上的最小值求得的取值范围.【详解】（1）在上恒成立，即在上恒成立，设，，所以在递增；在递减.，所以，即的最小值为.（2），当时，在递增，所以，符合题意.当，即时，在递减；在，递增.所以，不符合题意.当，即时，在递减，所以，不符合题意.综上所述，的取值范围是.