2022-2023学年江西省余干中学高二上学期（3—26班）第三次半月考（网课）数学试题（解析版）

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2022-2023学年江西省余干中学高二上学期（3—26班）第三次半月考（网课）数学试题一、单选题1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（  　）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解.【详解】设直线的倾斜角为，由题得直线的斜率为，因为，所以.故选：D.2．已知向量，，，若共面，则等于（   ）A． B．1 C．1或 D．1或0【答案】A【分析】根据向量共面可得，进而可得，即得答案.【详解】因为共面，所以存在实数，使，所以，∴，解得.故选：A.3．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（    ）．A．7 B．3 C．3或7 D．5【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可得得实数得值.【详解】解：圆的圆心为，半径为圆的圆心，半径为所以，因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切，所以或，所以或或（舍）.故选：C．4．已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（    ）A．252 B． C．210 D．【答案】B【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．由二项式定理得展开通项为，当时为常数项，故选：B5．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为.故选：.6．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆易知，根据椭圆定义可知，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：B.7．如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】解法一，解法二：设直三棱柱的底面边长为2，，利用勾股定理求出m的值，再作辅助线，找到异面直线与所成的角或其补角，解三角形即可得解；解法三：设高为h，利用空间向量和列方程得到，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可.【详解】解法一：如图，设直三棱柱的底面边长为2，，连接，则，，，因为，所以在中，由勾股定理可得，得.连接，交于点P，取的中点Q，连接PQ，AQ，则，，所以为异面直线与MN所成的角或其补角.易知，故为等边三角形，，所以异面直线与MN所成角的大小为60°.解法二：设直三棱柱的底面边长为2，，连接，则，，，因为，所以在中，由勾股定理可得，得.如图，把三棱柱补成一个四棱柱，连接，，则，，故为异面直线与所成的角或其补角.连接AD，易知，故为等边三角形，，所以异面直线与所成角的大小为60°.解法三  由题可以A为坐标原点，分别以AB，所在直线为y，z轴，在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直三棱柱的底面边长为2，高为h，则，，，，所以，，，由可得，所以，得，所以，，则，因为异面直线所成角的取值范围为，所以异面直线与MN所成角的大小为60°.故选：C8．设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.【详解】因为抛物线的焦点，由题可知，，即抛物线方程为，令代入抛物线方程，可得，代入双曲线方程，可得，可设，，，由有 两边平方相减可得， ，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D错误.故选：C.二、多选题9．[多选题]下列说法正确的是（    ）A．可表示为B．若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次D．老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有种【答案】ABC【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D．【详解】A项，，正确；B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确；C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确；D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确．故选：ABC.10．若圆：与圆：的交点为，，则（    ）A．线段中垂线方程为B．公共弦所在直线方程为C．公共弦的长为D．在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【答案】BD【分析】有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断A；联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断B；根据圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断C；根据圆心在公共弦上即可判断D【详解】解：对于A选项，圆，其圆心为，，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，故A错误；对于B选项，圆与圆，两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，故B正确；对于C选项，圆，即，其圆心为，，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，故C错误；对于D选项，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，故D正确.故选：BD11．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（    ）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为C． D．【答案】BC【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，双曲线的离心率，A不正确；双曲线的渐近线方程为，B正确；，C正确；，，则，有，D不正确.故选：BC12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（    ）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【分析】在选项A中，推导出，，从而直线平面；在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由△的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；在选项C中，异面直线与所成角转化为直线与直线的夹角，可求取值范围；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A，正方体中，，，且，平面，平面，平面，，同理，，，且，平面，直线平面，A选项正确；对于选项B，正方体中，平面，平面，平面，点在线段上运动，到平面的距离为定值，又△的面积是定值，三棱锥的体积为定值，B选项正确；对于选项C，， 异面直线与所成角为直线与直线的夹角．易知△为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为．故异面直线与所成角的取值范围是，C选项错误；对于选项D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，点竖坐标为，，则，，，，所以，．由选项A正确：可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D选项正确．故选：ABD．三、填空题13．若，则______.【答案】【分析】利用二项式定理先将展开，即可求解.【详解】由，所以的系数.故答案为：.14．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __．【答案】【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可.【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．由贝叶斯公式得，P（A1|A2）．故答案为：．15．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为：，，令得：又点B到平面的距离为：.故答案为：.16．设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】.【分析】由已知可得：，进而可得到，结合基本不等式可求椭圆的离心率范围.【详解】由题意可知：，则（当且仅当，也即时等号成立）所以，则，又因为椭圆的离心率，所以，故答案为：.四、解答题17．在的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和．【答案】(1)；(2)1；(3)；；(4)；；(5)；．【分析】（1）（3）根据二项式系数的和公式即得；（2）（4）（5）设，利用赋值法结合条件即得.【详解】（1）二项式系数的和为；（2）令，则各项系数和为；（3）奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；（4）设，令，得到，令，得，所以，即奇数项系数和为，所以，即偶数项系数和为；（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为．18．学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C，3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.(1)问有多少种不同的分配方案？(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）【答案】(1)81(2)36(3)14【分析】（1）由分步乘法原理，可得答案；（2）由分组分配的计数方法，可得答案；（3）由分类加法原理结合分组分配，可得答案.【详解】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有（种）.（2）先把4个同学分3组，有种方法；再把这3组同学分到A，B，C，3个工厂，有种方法，则不同的分配方案有（种）.（3）同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有（种）情况；②另外2名同学中有一名去工厂A，有（种）情况.所以不同的分配方案共有2＋12＝14（种）.19．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，，，．(1)证明：A1B∥平面AMC1；(2)求异面直线与所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)取的中点G，证明平面和平面平行，可得A1B∥平面AMC1(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角即可【详解】（1）取的中点G，连接，和GM，由直三棱柱ABC-A1B1C1，和都是中点，可得四边形和是平行四边形，，，又，，平面平面，而平面，A1B∥平面AMC1（2），，，由余弦定理得，解得，在中满足，，如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，因为异面直线的夹角范围在，所以异面直线与所成的角为.20．已知直线经过点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若的方程是，直线与相切，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线垂直可设直线方程，求出参数即可.（2）根据直线l的斜率是否存在分为两类，然后利用直线和圆相切的位置关系可知点到直线的距离等于半径便可求得.【详解】（1）解：由题意得：因为直线l与直线垂直，故设直线l的方程为因为直线l过点，所以，解得．所以直线l的方程为．（2）的方程化为标准形式是，圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，由直线l与相切，得，解得，所以直线l的方程是，即．综上所述，直线l的方程是或．21．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在侧棱上.(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，从而证明出平面PBC，得到面面垂直；（2）方法一：在第一问的基础上，得到是二面角的平面角，得到，再计算得到，求出，根据互余得到，求出；方法二：建立空间直角坐标系，设出，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到.【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.∵四边形ABCD是直角梯形，，，，∴，取AB中点为F,连接，∵四边形ABCD是直角梯形，，，，∴，，，，∴四边形ADCF为矩形，，∴.∴⊥，又，平面，∴平面PBC.∵平面EAC，∴平面平面PBC.（2）方法一：由（1）知平面PBC，又∵平面PBC，∴⊥，由（1）知，所以是二面角的平面角.由图知平面PAC与平面ACE的夹角即为二面角，∵平面PAC与平面ACE的夹角的余弦值为，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.在中，由，得：，∴，∴，，∵∠CPB与∠CBP互余，∠PCE与∠ECB互余，∴，，∴；方法二：如图，以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，显然平面PAC的一个法向量为，则，设，，则，∴，∴，当时，重合，此时平面与平面的夹角为90°，此时余弦值为1，不合要求，当时，设为平面EAC的法向量，，则，即，得，取得，∴，设平面与平面的夹角为，，则，解得：.∴，∴.22．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．(1)求双曲线的方程；(2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，定值为1，【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得的只，再根据焦距，求得即可求解；(2)假设存在满足条件的点，先在直线垂直于轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于轴时，求得此定值的情况，从而得出结论.【详解】（1）原点到直线的距离，，，双曲线的方程为；（2）假设存在点满足条件，①当直线方程为时，则，；②当直线方程不是时，可设直线，代入整理得，由得，设方程的两个根为，，满足，，当且仅当时，为定值1，解得，不满足对任意，，不合题意，舍去．而且满足；综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值1．