2022-2023学年江西省宜春市八校高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题（解析版）

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2022-2023学年江西省宜春市八校高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题一、单选题1．经过点两点的直线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用倾斜角和斜率的关系求倾斜角即可.【详解】，设倾斜角为，则，又，所以.故选：D.2．已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（    ）A．6 B．3 C． D．2【答案】B【分析】由椭圆定义列式即可求解【详解】依题意，，则.故选：B.3．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可【详解】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A4．若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解.【详解】依题意得，，；所以，故选：B.5．点关于直线的对称点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.6．如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.【详解】由题知，四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设,，则,，,.故选:B7．已知四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点.若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的运算法则求解即可.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 .故选：C.8．已知双曲线上的点A，B关于原点对称，若双曲线上的点P(异于点A，B)使得直线，的斜率满足，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用代入法，结合直线斜率公式、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由题意设P(x，y)，，，则，，即，，∵，∴，解得，又双曲线的焦点(c，0)到渐近线的距离为：，故选：B二、多选题9．对于曲线，下列说法正确的有（    ）A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线C．若，则曲线C为椭圆 D．若曲线C为双曲线，则【答案】AD【分析】A选项，令，无解，得到结论；B选项，令，无解，故B错误；C选项，当时，，不表示椭圆；D选项，根据曲线C为双曲线，列出不等式，求出.【详解】变形为，令，无解，故曲线C不可能是圆，A正确；变形为，令，解得：，故曲线C不能表示焦点在y轴上的双曲线，B错误；变形为，当时，，不表示椭圆，故C错误；若曲线C为双曲线，则，解得：，D正确.故选：AD10．已知两个圆：和：相交，则a的值可以是（    ）A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用进行求解.【详解】因为，所以，即圆的圆心为，半径为，且圆的圆心为，半径为，因为两圆相交，所以，即，即，解得，因为，，，，所以符合条件的选项为BCD.故选：BCD.11．已知向量则下列命题中，正确的是（    ）A．若⊥，⊥，，则 B．以，为邻边的平行四边形的面积是C．若，则，之间的夹角为钝角 D．若，则，之间的夹角为锐角【答案】BD【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判断B，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.【详解】选项A，设，由⊥，⊥，得，化简得，因为，所以或，即A错误；选项B，由，，知，，，所以，即，所以，所以以，为邻边的平行四边形的面积，即B正确；选项C，若，则，即，共线反向，故C错误；选项D，若，则，此时，之间的夹角为锐角，故D正确，故选:BD.12．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由条件得出为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长，短半轴，长半焦距的关系，从而得出椭圆的离心率；然后在焦点三角形中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为，半焦距为的关系，从而得出双曲线的离心率，依次对选项验证即可。【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为，则，所以，则．在中，，设，，双曲线的实半轴长为，则（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故，，，，选BD．故选：BD三、填空题13．已知直线x+my+m-2=0在两坐标轴上的截距相等，则实数m的值为_________.【答案】2或1【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，列等式求解.【详解】由题意可知时不符合题意，所以.令，有，令，有，因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，解得或.故答案为：2或1．14．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.【答案】【分析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降米后水面的宽度.【详解】据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：，则如图所示：根据条件可知：，，将代入，解得：，所以抛物线方程为：，又因为，所以，所以，所以，所以，则此时水面宽为：米.故答案为.【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形式.15．写出一个经过三点，，中的两点且圆心在直线：上的圆的标准方程为_____．【答案】或或【分析】选择其中两点，并求出以这两点为端点的线段的垂直平分线方程，与进行联立求得圆心坐标，进而求圆的半径即可得到答案【详解】解：①若选，，所以以这两点为端点的线段的斜率为，中点为，故该线段的垂直平分线的方程为，即，由得，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为；若②若选，，所以以这两点为端点的线段的斜率为，中点为，故该线段垂直平分线的方程为，即，由得，故圆心坐标为，半径，故所求圆的标准方程为；③若选，，所以以这两点为端点的线段的斜率为，中点为，故该线段垂直平分线的方程为 ，即，由得，即圆心坐标为，半径，故所求圆的标准方程为，故答案为：或或16．已知点F为双曲线C：（，）的左焦点，过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为_____．【答案】【分析】设，则， C的右焦点为，可得到，，在和中分别用余弦定理进行整理即可得到答案【详解】解：设，则，设C的右焦点为，因为，所以B，A两点分别在C的左、右支上，则，，所以在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，分别整理得，，所以，整理得，所以，故答案为：四、解答题17．已知直线l的方程为，直线l1的方程为.(1)当时，求过点且与l平行的直线方程；(2)当直线l⊥l1时，求实数m的值.【答案】(1)(2)或2【分析】（1）由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并化简；（2）由垂直的条件列方程求解．【详解】（1）时，直线l的方程为，即.∵所求直线与l平行，.故过点与l平行的直线方程是即.（2）l：，l1：∵l⊥l1，∴解得或2.18．古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 ，记动点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点点距离公式，代入等量关系中化简即可求解方程，（2）联立直线与圆的方程，根据中点坐标公式以及根与系数的关系即可求解.【详解】（1）设，由点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 得，两边平方化简得：，故曲线C的方程（2）当直线无斜率时；此时直线与圆相交P，Q两点，则或者,均不符合P为线段NQ的中点，当直线有斜率时；设： ，联立直线与圆的方程，化简得，，故设，则-① 若为线段的中点，则，所以，将其代入①中得：，进而得，满足，所以，因此的方程为19．已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点).(1)求双曲线C1的标准方程；(2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先设出共渐近线的双曲线方程，再将点代入方程，即可求解；（2）首先设点，利用坐标表示，利用点在双曲线上，即可化简求定值.【详解】（1）设双曲线的方程为，将(4，－)代入可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)，则，，而点P在双曲线上，点，即.故.20．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线C：交于两点.(1)证明：；(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆：，证明：直线恒与圆相交.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据直线位置分类讨论，当直线轴时，得两点坐标，计算从而证得；当直线与轴不垂直时，设的方程为，设交点，根据韦达定理得，结合抛物线方程求，证得；（2）由，关于轴对称，得的坐标为，求得直线的方程，结合（1）中结论可得直线恒过点，根据点与圆的位置关系，即可判断直线恒与圆相交.【详解】（1）证明：当直线轴时，可得此时，所以；当直线与轴不垂直时，设的方程为，设代人得.则，，所以，所以.综上.（2）证明：由于，关于轴对称，故的坐标为.所以直线的方程为，即，又，所以，可得直线恒过点，可得所以点在圆内部，所以直线恒与圆相交.21．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，D为上靠近A的三等分点．(1)若，求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据长度关系先证明线线垂直，再证明线面垂直，从而证明面面垂直；（2）建立坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为是边长为2的正三角形，所以，，又，所以，从而．因为，，所以．又因为D为上靠近A的三等分点，所以，在中，由余弦定理得．因此，所以．因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：由题意当三棱锥的体积最大时，有平面平面．取的中点O，连接，，则，平面平面，平面，从而平面，又，为的中点，所以；以O点为原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，从而，，，设平面的法向量为，则从而，取，则．设平面的法向量为，则从而，取，则．，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．22．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．(1)求C的标准方程；(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【答案】(1)；(2)l恒过定点.【分析】（1）线段RS为通径时最短，再根据的关系即可求解；（2）联立直线AB的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结果.【详解】（1）由线段RS长度的最小值为，得，又，所以，解得所以C的标准方程为．（2）由，可知PF平分，∴．设直线AB的方程为，，，由得，，即，∴，，∴，∴，∴，整理得，∴当时，上式恒为0，即直线l恒过定点．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．