2022-2023学年山东省临沂市兰陵四高高二上学期线上期末考试数学试题（含解析）

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兰陵四高2022-2023学年高二上学期线上期末考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1．如果且，那么直线不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（    ）A．1 B． C．2 D．3．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ）A．B．C．D．4．已知等差数列的前项和为，若，则=（    ）A．12 B．24 C．36 D．485．若函数，则的值为（    ）A． B． C． D．6．设、，向量，，且，，则（      ）A． B． C． D．7．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．.8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）A．103 B．107 C．109 D．105二、多选题（每小题5分，共20分。至少2个选项正确，全对得5分，部分选对得2分，选了错误答案得0分）9．下列导数运算正确的有（    ）A．B．C．D．10．设抛物线：（）的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（    ）A． B． C． D．11．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（    ）A．三棱锥的体积不变B．平面C．D．平面平面12．设数列{}是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．和均为的最大值第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13．直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=___________.14．已知数列的首项，则_________．15．曲线在点处的切线方程为__________．16．已知双曲线：（，），矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则双曲线的标准方程是______．四、解答题17．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．18．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19．已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．20．在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知是等差数列的前n项和，，___________.(1)求；(2)设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．22．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．参考答案：1．C【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C.2．C【详解】，故，，，则．3．A【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：，4．C【详解】因为是等差数列，且，故可得：；又.5．B【详解】因为，则，所以，，解得.6．D【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.7．B【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.8．B【详解】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即，则，∴，9．BC【详解】对于A，，故错误；对于B， ，故正确；对于C， ，故正确；对于D， ，故错误.10．BD【详解】由可得，设，则，则，设以为直径的圆上任一点，则，，则，所以以为直径的方程为，将代入得：，因为，即，解得：，由得：，解得：或，则方程为或，11．ABD【详解】解：对于A，的面积是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；对于B，，∴平面平面，平面，平面，故B正确；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P在上，故可设，则，，，则不一定为0，和不垂直，故C错误；对于D，设，则，，，，，设平面平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正确.12．ACD【详解】由得，即，又，，，故C正确；，故A正确；对于B，，而，故，，故， B错误；由以上分析可知： ，故 ,均为的最大值，故D正确；13．1【详解】直线MN的方程可化为，由，得，所以直线MN过定点A（1，1），因为，即点A在圆内.当时，|MN|取最小值，由，得，∴，14．【详解】由，则，以此类推可知，对任意的，都有，即数列是以为周期的周期数列，因为，所以.15．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．16．【详解】由题意得，．如图所示，设，的中点分别为，，在中，，故．由双曲线的定义可得，则，又，所以，．所以双曲线的标准方程是．17．（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.18．【详解】解：（1）设数列的公比为，因为于是，解得或，因为，所以，所以．（2）由（1）可得，，.19．【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，∴椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，可设直线，即，由直线与曲线相切可得，解得，联立，得，则，，∴.20．(1)解：选条件①：设等差数列的公差为d，则由得，将代入，解得或，因为，所以，所以；选条件②：设等差数列的公差为d，则，由数列的前3项和为6及得，解得，所以；选条件③：设等差数列的公差为d，则由，，成等比数列得，将代入得，解得或，因为，所以，所以；(2)解：由（1）得，所以.21．【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，，同理：，由题意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．22．【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是.（ⅱ）设，由根与系数的关系：，所以.即直线OA,OB斜率之和为定值.