2022-2023学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题（解析版）

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2022-2023学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题一、单选题1．在数列中，，若为等差数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由为等差数列得，解得.故选：A2．已知空间向量，，，若，则（    ）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】利用空间向量平行的性质即可.【详解】因为空间向量，，，如果，则，所以，解得，所以，故选：C.3．两个正数与的等比中项为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据等比中项的定义，即求出结果．【详解】设它们等比中项为，则，所以．故选：C【点睛】本题主要考查等比中项公式的应用，属于基础题．4．在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为；易得椭圆焦点坐标为，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线虚轴长为6可知，所以；所以，双曲线的标准方程为.故选：B.5．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决.【详解】由题知，抛物线开口向右，，所以焦点为，因为焦点与双曲线的一个焦点重合，所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即，所以，所以双曲线的方程为，故选：C6．在等差数列中，若，则的值为（    ）A．6 B．16 C．24 D．60【答案】C【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值,根据通项公式计算即可得出结果.【详解】由等差数列的性质：,而.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查计算能力，属于简单题.7．在数列中，，，则前2022项和的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到该数列周期，根据进行转化即可求和.【详解】因为，所以，，，，，…，所以该数列的周期是3，又因为，，所以.故选：C8．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】设分别是的中点，连接，则，由于是等边三角形，所以，根据直三棱柱的性质可知，平面平面，且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以.根据根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面，平面，所以，由此以为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，设，则，所以，设异面直线与所成角为，则.故选：A9．唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点关于直线对称点的求解方法可求得点关于直线的对称点，将问题转化为点和圆上的点连线的最小值的求解，利用点和圆心之间的距离减圆的半径可得结果.【详解】设点关于直线的对称点为，则，的中点为，，解得：，，要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，即为点和圆上的点连线的最小值，从点到军营最短总路程为点和圆心之间的距离减圆的半径，“将军饮马”的最短总路程为.故选：B.10．已知点是抛物线与双曲线的一个交点，若抛物线的焦点为，且，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（    ）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】求出的坐标，代入双曲线方程求出，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】解：抛物线的焦点为，且，可得，则，点是抛物线与双曲线一个交点，，可得，解得：，则渐近线方程为：，不妨令，则点到这两条渐近线的距离之和为：.故选：A．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题11．若抛物线经过点，则其准线方程是___________.【答案】【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故准线方程为．故答案为：．12．已知倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，并且，则______．【答案】##【分析】根据抛物线的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可.【详解】若角为锐角，如图，设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．过B作于则有，设，则．由勾股定理可知：则．若角为钝角，由对称性可知，故答案为：．13．在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的这个正数的积为_____.【答案】【分析】结合等比数列的性质直接求解即可.【详解】由题意得，等比数列由项，且.根据等比数列性质有，所以插入的这个正数的积为.故答案为:14．已知直线与圆：交于、两点，则的面积为______.【答案】2【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.【详解】由圆C方程：可得：；即圆心C的坐标为（0，-1），半径r=2；联立方程得交点，如下图：可知轴，∴是以为直角的直角三角形，，故答案为：2.15．在正方体中，点为线段的中点．设点在线段不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算直线与平面成角正弦值，根据的表达式判断最大值即可．【详解】解：如图建系，不妨设正方体的棱长，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，设平面的法向量为，所以，令，所以，又,1,，设,0,，则,，所以,,，故，当时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：．16．已知正项等比数列，其前项和为，满足，．若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】根据题意，求出等比数列的通项公式，进而得到该等比数列的前项和，把不等式整理成，根据，分离参数，可得对一切正整数成立，然后研究的最小值，即可得到答案.【详解】因为，，设等比数列公比为，可得，所以．不等式化为，所以对一切正整数成立，，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：三、解答题17．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点.若，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出的坐标，再根据直线与椭圆相切求出之间的关系式，代入可求得,进而求出直线方程.【详解】（1），则过的垂线为，联立椭圆方程得：弦长=又，联立解之得：所以，椭圆的标准方程为（2）由（1）知，将直线与椭圆联立整理得：相切代入解得：解之：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.(1)求的通项公式；(2)已知，（i）求数列前n项和Tn；（ii）证明：当时，.【答案】(1)(2)（i）Tn；（ii）证明见解析【分析】（1）由已知得出数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.分别求出通项公式，合并可得的通项公式；（2）（i）由奇数项和偶数项分别求和可得，从而得出，由裂项相消法求得和；（ii）求出，由不等式的性质放缩为（时等号成立），时，对这个不等式求和，对新不等式两侧一个用错位相减法求得和，另一侧利用此和得出，即可证得不等式成立．【详解】（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.当n为奇数时，；当n为偶数时，（2）（i），，；（ii），       ，则；（时等号成立）当时，设，；综上，当时，.