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2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：
1. 拒绝“餐桌浪费”，刻没有容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为
A. 0.5×1011千克 B. 50×109千克 C. 5×109千克 D. 5×1010千克
2. 如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个没有透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（ ）
A 60° B. 80° C. 85° D. 90°
6. 若+mx+16是一个完全平方式,则m的取值是（ )
A. B. -8 C. 8 D.
7. 如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
8. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A. 115° B. 120°
C. 145° D. 135°
9. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
10. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
11. 为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意，再决定买哪种水果.下面的数据中，他最应该关注的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数
12. 如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．
下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值没有存在；
④使得M=1的x值是或．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：
13. 在数：4，5，6，－1中，是没有等式x－2＜3的解的有________．
14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.
15. 若函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
16. 分解因式：ab3-ab=_______．
17. 如图，若▱ABCD周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．
18. △ABC是边长为18正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.
三、解 答 题：
19. 解方程：
20. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？
21. 九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会，并根据学生做家务的时间来评价他们在中的表现.老师了全班50名学生在这次中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅没有完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次中学生做家务时间的中位数所在的组是____________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由．
22. 已知港口位于观测点的东向，且其到观测点正向的距离的长为千米，一艘货轮从港口以千米/时的速度沿如图所示的方向航行，分后到达处，现测得处位于观测点北偏东方向，求此时货轮与观测点之间的距离的长（大千米）
（参考数据：，，，）
23. 某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．
（1）第20天的总用水量为多少米3？
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数关系式；
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？
24. 如图，已知正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F. 求证：DE=DF.
25. 如图,⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．
（1）求证：PA是⊙O切线；
（2）若AB=，BC=4，求AD的长．
26. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C没有重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．
（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）
（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；
（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分的面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：
1. 拒绝“餐桌浪费”，刻没有容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为
A. 0.5×1011千克 B. 50×109千克 C. 5×109千克 D. 5×1010千克
【正确答案】D
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．
【详解】解：50 000 000 000一共11位，从而50 000 000 000=5×1010．
故选：D．
2. 如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：圆柱的主（正）视图为矩形．
故选C．
点睛：画物体视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据同类二次根式，二次根式的乘法和化简二次根式逐项计算判断即可．
【详解】A选项：没有是同类二次根式，没有能直接加，故该选项错误，没有符合题意；
B选项：，故该选项正确，符合题意；
C选项：，故该选项错误，没有符合题意；
D选项：，故该选项错误，没有符合题意；
故选B．
本题考查同类二次根式的判断，二次根式的乘法和化简二次根式．熟练掌握各知识点和运算法则是解题关键．
4. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个没有透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】一共四个小球，随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
5. 如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（ ）
A. 60° B. 80° C. 85° D. 90°
【正确答案】D
【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD．
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选D．
本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
6. 若+mx+16是一个完全平方式,则m的取值是（ )
A. B. -8 C. 8 D.
【正确答案】A
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵x2+mx+16=x2+mx+42，
∴mx=±2x×4，
解得m=±8.
故选A.
本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的概念.
7. 如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵A（4，0）、C（0，4），
∴OA=AB=BC=OC=4，
①当P由点A向点B运动，即0≤t≤4，S=OA·AP=2t；
②当P由点A向点B运动，即4＜t≤8，S=OA·AP=8；
③当P由点A向点B运动，即8＜t≤12，S=OA·AP=2（12﹣t）=﹣2t+24；
图象可知，符合题意的是A．
故选A．
8. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A. 115° B. 120°
C. 145° D. 135°
【正确答案】D
【分析】由下图三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形思想的应用．
9. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
10. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
【正确答案】A
【详解】试题分析：由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．
故选A．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
11. 为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意，再决定买哪种水果.下面的数据中，他最应该关注的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数
【正确答案】A
【分析】众数、中位数、平均数从没有同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看吃哪种水果的人至多，故应当用众数．
【详解】此问题应当看吃哪种水果的人至多，应当用众数．
故选A．
本体考查了众数、中位数、平均数的意义，解题时要注意题目的实际意义．
12. 如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．
下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值没有存在；
④使得M=1的x值是或．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵当y1=y2时，即-2x2+2=2x+2时，
解得：x=0或x=-1，
∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当-1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②错误；
∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，值为2，故M大于2的x值没有存在；
∴使得M大于2的x值没有存在，
∴③正确；
抛物线与x轴的交点为（-1，0）（1，0），
由图可知，-1＜x＜0时，M=2x+2，
当M=1时，2x+2=1，
解得x=-，
x＞0时，M=-2x2+2，
当M=1时，-2x2+2=1，
解得x=-，
所以，使得M=1的x值是−或，故④正确，
综上所述，③④都正确．
故选B．
考点：二次函数的性质；函数的性质．
二、填 空 题：
13. 在数：4，5，6，－1中，是没有等式x－2＜3的解的有________．
【正确答案】4 -1
【详解】解没有等式x-2＜3得
x＜5；
∴4、5、6、-1中，4、-1是没有等式的解．
故答案是：4,-1.
14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.
【正确答案】AB=DC(答案没有)
【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可．
【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB，
∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC，
故答案：AB=DC(答案没有)．
本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键．
15. 若函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
【正确答案】﹣3
【详解】∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，
∴
解得m=-3．
故答案是：-3.
16. 分解因式：ab3-ab=_______．
【正确答案】ab（b+1）（b-1）.
【详解】试题解析：ab3-ab，
=ab（b2-1），
=ab（b+1）（b-1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
17. 如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．
【正确答案】40
【详解】试题分析：由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．
解：∵▱ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC=18cm①，
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，
∴4AB=5BC②，
由①②得：AB=10cm，BC=8cm，
∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．
故答案为40．
考点：平行四边形的性质．
18. △ABC是边长为18的正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.
【正确答案】
【详解】如图，作BL⊥AC于L交DE于H，交FG于K．
∵△ABC是等边三角形，AC=BC=AB=18，
∴∠B=90°，BL=BC•sin60°=9，
∵BE=BD，
∴△BED是等边三角形，
∴BE=BD=DE=6，BH=EB•sin60°=3，
∵HK=EF=6，
∴BK=3+6，
∴KL=BL-BK=9-（3+6）=6-6，
∵∠BED=∠C=60°，
∴DE∥AC，
∵DE∥FG，
∴FG∥AC，
∴点F到AC的距离=6-6．
故答案是：6-6.
考查正方形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.
三、解 答 题：
19. 解方程：
【正确答案】x=-4
【详解】解：
去分母得，4（2x-1）-3（3x-4）=12，
去括号得，8x-4-9x+12=12，
移项得，8x-9x=12-12+4，
合并同类项得，-x=4
把x的系数化为1得，x=-4.
20. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？
【正确答案】见解析
【详解】设这个班有x个学生
3x+20=4x-25
x=45
图书：3x+20=3×45+20=155(本)
答这个班有45名学生，图书有155本.
21. 九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会，并根据学生做家务的时间来评价他们在中的表现.老师了全班50名学生在这次中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅没有完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次中学生做家务时间的中位数所在的组是____________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由．
【正确答案】（1）C组；（2）作图见解析；（3）符合，理由见解析
【分析】（1）可根据中位数的概念求值；
（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；
（3）根据中位数的意义判断．
【详解】解：（1）C组的人数是：50×40%=20（人），
B组的人数是：50-3-20-10-2=15（人），
把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C组；
故答案为C组；
（2）根据（1）得出的数据补图如下：
（3）符合实际．
设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2，
∵小明帮父母做家务的时间大于中位数，
∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．
22. 已知港口位于观测点的东向，且其到观测点正向的距离的长为千米，一艘货轮从港口以千米/时的速度沿如图所示的方向航行，分后到达处，现测得处位于观测点北偏东方向，求此时货轮与观测点之间的距离的长（大千米）
（参考数据：，，，）
【正确答案】此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.7km．
【详解】试题分析：根据在Rt△ADB中，sin∠DAB=，得出AB的长，进而得出tan∠BAH= ，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案．
试题解析：
BC=48×=12，
在Rt△ADB中，sin∠DAB=＝，
∴AB= = ，
如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，
在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC-∠DAB=75°-45°=30°，
tan∠BAH==，
∴AH=BH，
BH2+AH2=AB2，BH2+（BH）2=（16）2，∴BH=8，∴AH=8，
在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴CH=4，
∴AC=AH-CH=8-4≈15.7km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.7km．
23. 某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．
（1）第20天的总用水量为多少米3？
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数关系式；
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？
【正确答案】（1）1000；（2）y=300x﹣5000；（3）40
【分析】根据题意得出第20天的总用水量；y与x的函数关系式为分段函数，则需要分两段分别求出函数解析式；将y=7000代入函数解析式求出x的值．
【详解】（1）第20天的总用水量为1000米3
当0＜x＜20时，设y=mx ∵函数图象点（20，1000），（30，4000） ∴m=50
y与x之间的函数关系式为：y=50x
当x≥20时，设y=kx+b ∵函数图象点（20，1000），（30，4000）
∴解得∴y与x之间的函数关系式为：y=300x﹣5000
（3）当y=7000时， 有7000=300x﹣5000，解得x=40
考点：函数的性质
24. 如图，已知正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F. 求证：DE=DF.
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG=BD=E，所以∠EBD=30°，条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．
试题解析：
证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO=AC=BD=BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
25. 如图,⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=，BC=4，求AD长．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OA交BC于点E，根据垂径定理的推论求得OA⊥BC，然后根据平行线的性质证得∠PAO=90°，即可证得结论．
（2）根据勾股定理求得AE，得出tan∠C=，根据∠D=∠C，得出tan∠D=，从而求得AD的长．
试题解析：
（1）证明：连接OA交BC于点E，如图所示：
由AB=AC可得OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴∠PAO=∠BEO=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线．
（2）解：根据（1）可得CE=BC=2．
Rt△ACE中，AE＝＝1，
∴tan∠C=
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
又∵∠D=∠C，
∴tan∠D=，
∴AD=2．
运用了切线的判定、勾股定理、正切函数等；半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．
26. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C没有重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．
（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）
（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；
（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）1800-2α．（2）1；（3）S=
【详解】试题分析：（1）首先在Rt△ABC中，判断出∠ABC=90°-∠BAC=90°-α；然后根据翻折的性质，可得∠EFB=∠EBF；根据三角形外角的性质，可得∠AEF=∠EFB+∠EBF，据此解答即可．
（2）当点F与点C重合时，BD=CD时，判断出AC∥ED，即可判断出AE=BE；然后根据三角形中位线定理，求出线段DE的长度是多少即可．
（3）根据题意，分两种情况：①当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时；②当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时；然后分类讨论，求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围即可．
试题解析：（1）如图①，
，
在Rt△ABC中，
∠ABC=90°-∠BAC=90°-α，
∵将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2（900-∠BAC）=1800-2α．
（2）如图②，
，
当点F与点C重合时，BD=CD时，
∵ED⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥ED，
∴AE=BE，
∴DE=AC=×2=1．
（3）当点F与点C重合时，
BD=CD=BC=×4=2．
①如图③，
，
当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时，重叠部分是△EDF．
∵AC∥ED，
∴△ABC∽△EDB，
∴，
即，
∴ED=，
∴S△EDF=×ED×DF=××x=x2，（0＜x≤2）．
②如图④，
，
当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时，
设EF与AC相交于点M，
则重叠部分是四边形EDCM．
∴FC=FD-CD=x-（4-x）=2x-4
∵∠ACB=∠MCF=90°，∠EFB=∠EBF，
∴△ABC∽△MFC，
∴，
即，
∴MC=x-2，
∴S四边形EDCF=S△EDF-S△EDF
=×x×-×（x-2）×（2x-4）
=-x2+4x-4，（2＜x＜4）．
综上，可得
S=
考点：函数综合题．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下各题后面给出的4个选项中，只有1项符合题目要求，请将其选出用2B铅笔涂抹答题卡对应题目的标号．多选、没有选、错选均没有给分．
1. 2018的相反数（ ）
A. 2018 B. -2018 C. |-2018| D.
2. 将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2没有一定互补的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的
A. B. C. D.
4. 下列变形中没有正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2 (c有理数) B. 由得
C. 由得 D. 由得
5. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
6. 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜60° C. 60°＜∠A＜90° D. 30°＜∠A＜45°
7. 八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数没有到8棵若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A. B.
C D.
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
9. 如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k的值为( )
A. 3 B. 6 C. D.
10 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
A B. 2 C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 的倒数是_____________．
12. 当x=2时，二次根式的值是_________．
13. 某学生7门学科考试成绩的平均分是80分，其中门学科都考了78分，则另外4门学科成绩的平均分是_____________.
14. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．
15. 已知，如图，半径为1的⊙M直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为( ， 0 )，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝________.
16. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，点E在CD上，CD＝5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是_____．
三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
17. 计算：
18. 若没有等式的解集是x＞3，则a的取值范围是_______．
19. 先化简，再求值：，其中．
四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
20. 如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△C；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
21. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
22. 某商场用36万元购进A、B两种商品，完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数没有变，而购进A种商品的件数是次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折．若两种商品完毕，要使第二次经营获利没有少于81600元，B种商品售价为每件多少元?
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23. 如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
24. 已知：关于x的一元二次方程：为实数．
若方程有两个没有相等的实数根，求m的取值范围；
若是此方程的实数根，抛物线与x轴交于A、B，抛物线的顶点为C，求的面积．
六、（本大题共2小题，25题12分，26题13分，共25分）
25. 如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
26. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下各题后面给出的4个选项中，只有1项符合题目要求，请将其选出用2B铅笔涂抹答题卡对应题目的标号．多选、没有选、错选均没有给分．
1. 2018的相反数（ ）
A. 2018 B. -2018 C. |-2018| D.
【正确答案】B
【详解】2018的相反数是-2018，
故选B.
2. 将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2没有一定互补的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】A选项：
∠1+∠2=360°－90°×2=180°；
B选项：
∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°；
C选项：
∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，
∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；
D选项：∠1和∠2没有一定互补.
故选D.
点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.
3. 已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】用这个小组的人数除以全班人数即可求得结果．
【详解】根据题意得：．
故选C．
本题主要考查了有理数除法的应用，掌握理数除法法则是解题的关键．
4. 下列变形中没有正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2 (c为有理数) B. 由得
C. 由得 D. 由得
【正确答案】A
【详解】分析: 根据没有等式的性质进行判断.
详解: A、当c为0时,没有符合题意；
B、由得，正确；
C、由得, 正确；
D、由得，正确；
故选A.
点睛: 考查了没有等式的性质．要认真弄清没有等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在没有等式两边同乘以（或除以）同一个数时，没有仅要考虑这个数没有等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，没有等号的方向必须改变.
5. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
【正确答案】D
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，
，
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的上方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方；
故选D．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
6. 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜60° C. 60°＜∠A＜90° D. 30°＜∠A＜45°
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵cos60°=， cos30°=，
∴30°＜∠A＜60°．
故选B．
7. 八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数没有到8棵若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】没有到8棵意思是植树棵树在0棵和8棵之间，包括0棵，没有包括8棵，关系式为：植树总棵树位同学植树的棵树，植树的总棵树位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
【详解】位同学植树棵树为，
有1位同学植树的棵数没有到8棵植树的棵数为棵，
可列没有等式组：，
即．
故选C．
本题考查了列一元没有等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数没有到8棵”是解决本题的突破点．
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
【正确答案】A
【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形思想解题是本题的解题关键．
9. 如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k值为( )
A. 3 B. 6 C. D.
【正确答案】D
【详解】
∵将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y=x+4，
分别过点A、 B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥BE于点F,设A(3x,x)，
∵OA=3BC,BC∥OA,CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=OD，
∵点B在直线y=x+4上，
∴B(x, x+4)，
∵点A. B在双曲线y=上，
∴3x⋅x=x⋅(x+4)，解得x=1，
∴k=3×1××1=.
故选D.
10. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意易得AB=3，然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可．
【详解】解： AH=2，HB=1，BC=5，
AB=3，
，
；
故选A．
本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 的倒数是_____________．
【正确答案】-7
【分析】根据倒数定义可知，−的倒数是-7.
【详解】−的倒数是-7．
故-7.
本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
12. 当x=2时，二次根式的值是_________．
【正确答案】1
【详解】试题分析：将x=2代入代数式可得：原式＝．
13. 某学生7门学科考试成绩的平均分是80分，其中门学科都考了78分，则另外4门学科成绩的平均分是_____________.
【正确答案】81.5
【详解】根据题意可得，用7门学科考试成绩的总分-3门学科的总分即为4门学科成绩的总分，再用4门学科成绩的总分除以门数即得4门学科成绩的平均分．由此可得另外4门学科成绩的平均分为：（80×7-78×3）÷4=81.5分．
14. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．
【正确答案】.
【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
【详解】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP最小值，
∵AE=，P2E=1，
∴AP2=.
故答案为.
15. 已知，如图，半径为1的⊙M直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为( ， 0 )，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝________.
【正确答案】30°
【详解】∵AB=2，OA= ，
∴cos∠BAO= = ，
∴∠OAB=30°，∠OBA=60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC=∠BAO=30°，
∴∠ACO=∠OBA-∠BOC=30°．
故答案是：30°．
16. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，点E在CD上，CD＝5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是_____．
【正确答案】(3,0)
【详解】试题解析：由题意得：，
解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
将A（1，6）代入得：k=6，
则反比例解析式为；
设E（x，0），则DE=x-1，CE=6-x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD-S△ADE-S△BCE
=（BC+AD）•DC-DE•AD-CE•BC
=×（1+6）×5-（x-1）×6-（6-x）×1
=-x=10，
解得：x=3，
则E（3，0）．
故答案为（3，0）
三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
17. 计算：
【正确答案】4
【详解】分析: 根据值的概念、负整数指数幂、零指数幂的法则、锐角三角函数计算．
详解:原式
=
=1+3
=4
点睛: 本题考查了实数运算，解题的关键掌握相关运算法则.
18. 若没有等式的解集是x＞3，则a的取值范围是_______．
【正确答案】a≤3．
【详解】化简没有等式组可知 ．
∵解集为x＞3，
∴根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）”法则，得a≤3．
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】
【详解】分析: 约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
详解:
解：原式=
=
=
当时，
原式
点睛: 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
20. 如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△C；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）由垂直定义得∠AMC =∠BNC=90°，再根据同角的余角相等得∠MAC=∠NCB，再由AAS证明△AMC≌△C.
(2)由△AMC≌△C得出CM=BN=5，再利用勾股定理就能计算BC，从而算出AB.
解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，
∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180﹣90°=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△C中，
∴△AMC≌△C（AAS）；
（2）由（1）知 △AMC≌△C，
∴CM=BN=5，
∴Rt△ACM中，AC=，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=，
∴AB===2．
点睛：（1）证明三角形全等常运用以下判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
（2）第（1）小题的结论是在大前提下得到，所以后续证明计算都可用. 第（2）问就是要利用全等的性质：对应角、对应边相等去求解.
（3）找全等三角形对应元素规律：
①对应角所对的边是对应边，对应边所对的角也是对应角；
②公共角、公共边一般都是对应角对应边；
③对顶角一般都是对应角；
④边(角)、最小边（角）是对应边（角）.
21. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【正确答案】（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1.
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）56÷20%=280（名），
答：这次的学生共有280名；
（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中结果知：学生关注至多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．
22. 某商场用36万元购进A、B两种商品，完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数没有变，而购进A种商品的件数是次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折．若两种商品完毕，要使第二次经营获利没有少于81600元，B种商品售价为每件多少元?
【正确答案】（1）该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）B种商品售价为每件1080元．
【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出方程组即可求得 ．
（2）由（1）得A商品购进数量，再利用没有等关系“第二次经营获利没有少于81600元”可得出B商品的售价．
【详解】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
解得
故该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400=72000（元）
从而B商品售完获利应没有少于81600﹣72000=9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
故B种商品售价为每件1080元．
本题主要考查了二元方程组的应用和一元没有等式的应用，构建数学模型是解答本题的关键.
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23. 如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）如图，利用△ABC的内心和同弧所对的圆周角相等可证得∠1=∠3，利用平行线的性质可证∠4=∠6，再根据AAS即可判定△BOC≌△CDA；
（2）先判定△ABC是等边三角形，即可得O是△ABC的内心也是外心，所以OA=OB=OC．在Rt△OCE中，CE=1，∠OCE=30º，可求得OA=OB=OC=，求出扇形AOB和△AOB的面积即可得求得阴影部分的面积．
【详解】解：（1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∵四边形OADC为平行四边形
∴AD∥CO，AD=CO，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴△BOC≌△CDA（AAS）；
（2）∵△BOC≌△CDA，
∴BC=AC，
∵∠4=∠3，
∴∠3=∠4=∠6，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴O是△ABC的内心也是外心，
∴OA=OB=OC，
设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC．
在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30º，
∴OA=OB=OC=．
∵∠AOC=120º，
∴．
24. 已知：关于x的一元二次方程：为实数．
若方程有两个没有相等的实数根，求m的取值范围；
若是此方程的实数根，抛物线与x轴交于A、B，抛物线的顶点为C，求的面积．
【正确答案】 或；
【分析】根据与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程为实数的解的情况；
把代入方程，求出m的值，得出函数的解析式，求出A、B、C的坐标，求出AB，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】根据题意，得，即，
解得或，
又，
，
由，得或；
是此方程的实数根，
，
解此方程得：，
抛物线的解析式为，
化成顶点式是：，
顶点C的坐标为，
令，得，
解得：或，
得，
所以．
本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解等知识点，能求出对应的二次函数的解析式是解此题的关键．
六、（本大题共2小题，25题12分，26题13分，共25分）
25. 如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.
【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE-HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1．
【详解】解：（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM=∠CBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠CBM=∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE=CE=BC=2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴，即，解得r=，
即设⊙O的半径为；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE=OM=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣=，
∵OH⊥BG，
∴BH=HG=，
∴BG=2BH=1．
26. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【正确答案】（1） ，；（2）；（3）
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设， 得 ,再由点坐标公式得出方程，求解即可；
（3）分两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1）解：设直线的解析式为（）
∵，
∴ 解得
∴直线的解析式为
∵抛物线点，
∴ 解得
∴
（2）∵轴，
∴设，
∴，
∵点是的中点
∴
∴
解得，（没有合题意，舍去）
∴
（3）∵，，
∴，
∴
∵
∴当与相似时，存在以下两种情况：
①
∴ 解得
∴
②
∴ ,解得
∴点M的坐标为
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：
1. 拒绝“餐桌浪费”，刻没有容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为
A. 0.5×1011千克 B. 50×109千克 C. 5×109千克 D. 5×1010千克
2. 如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个没有透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（ ）
A 60° B. 80° C. 85° D. 90°
6. 若+mx+16是一个完全平方式,则m的取值是（ )
A. B. -8 C. 8 D.
7. 如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
8. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A. 115° B. 120°
C. 145° D. 135°
9. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
10. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
11. 为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意，再决定买哪种水果.下面的数据中，他最应该关注的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数
12. 如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．
下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值没有存在；
④使得M=1的x值是或．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：
13. 在数：4，5，6，－1中，是没有等式x－2＜3的解的有________．
14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.
15. 若函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
16. 分解因式：ab3-ab=_______．
17. 如图，若▱ABCD周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．
18. △ABC是边长为18正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.
三、解 答 题：
19. 解方程：
20. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？
21. 九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会，并根据学生做家务的时间来评价他们在中的表现.老师了全班50名学生在这次中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅没有完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次中学生做家务时间的中位数所在的组是____________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由．
22. 已知港口位于观测点的东向，且其到观测点正向的距离的长为千米，一艘货轮从港口以千米/时的速度沿如图所示的方向航行，分后到达处，现测得处位于观测点北偏东方向，求此时货轮与观测点之间的距离的长（大千米）
（参考数据：，，，）
23. 某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．
（1）第20天的总用水量为多少米3？
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数关系式；
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？
24. 如图，已知正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F. 求证：DE=DF.
25. 如图,⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．
（1）求证：PA是⊙O切线；
（2）若AB=，BC=4，求AD的长．
26. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C没有重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．
（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）
（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；
（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分的面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：
1. 拒绝“餐桌浪费”，刻没有容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为
A. 0.5×1011千克 B. 50×109千克 C. 5×109千克 D. 5×1010千克
【正确答案】D
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．
【详解】解：50 000 000 000一共11位，从而50 000 000 000=5×1010．
故选：D．
2. 如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：圆柱的主（正）视图为矩形．
故选C．
点睛：画物体视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据同类二次根式，二次根式的乘法和化简二次根式逐项计算判断即可．
【详解】A选项：没有是同类二次根式，没有能直接加，故该选项错误，没有符合题意；
B选项：，故该选项正确，符合题意；
C选项：，故该选项错误，没有符合题意；
D选项：，故该选项错误，没有符合题意；
故选B．
本题考查同类二次根式的判断，二次根式的乘法和化简二次根式．熟练掌握各知识点和运算法则是解题关键．
4. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个没有透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】一共四个小球，随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
5. 如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（ ）
A. 60° B. 80° C. 85° D. 90°
【正确答案】D
【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD．
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选D．
本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
6. 若+mx+16是一个完全平方式,则m的取值是（ )
A. B. -8 C. 8 D.
【正确答案】A
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵x2+mx+16=x2+mx+42，
∴mx=±2x×4，
解得m=±8.
故选A.
本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的概念.
7. 如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵A（4，0）、C（0，4），
∴OA=AB=BC=OC=4，
①当P由点A向点B运动，即0≤t≤4，S=OA·AP=2t；
②当P由点A向点B运动，即4＜t≤8，S=OA·AP=8；
③当P由点A向点B运动，即8＜t≤12，S=OA·AP=2（12﹣t）=﹣2t+24；
图象可知，符合题意的是A．
故选A．
8. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A. 115° B. 120°
C. 145° D. 135°
【正确答案】D
【分析】由下图三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形思想的应用．
9. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
10. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
【正确答案】A
【详解】试题分析：由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．
故选A．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
11. 为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意，再决定买哪种水果.下面的数据中，他最应该关注的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数
【正确答案】A
【分析】众数、中位数、平均数从没有同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看吃哪种水果的人至多，故应当用众数．
【详解】此问题应当看吃哪种水果的人至多，应当用众数．
故选A．
本体考查了众数、中位数、平均数的意义，解题时要注意题目的实际意义．
12. 如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．
下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值没有存在；
④使得M=1的x值是或．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵当y1=y2时，即-2x2+2=2x+2时，
解得：x=0或x=-1，
∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当-1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②错误；
∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，值为2，故M大于2的x值没有存在；
∴使得M大于2的x值没有存在，
∴③正确；
抛物线与x轴的交点为（-1，0）（1，0），
由图可知，-1＜x＜0时，M=2x+2，
当M=1时，2x+2=1，
解得x=-，
x＞0时，M=-2x2+2，
当M=1时，-2x2+2=1，
解得x=-，
所以，使得M=1的x值是−或，故④正确，
综上所述，③④都正确．
故选B．
考点：二次函数的性质；函数的性质．
二、填 空 题：
13. 在数：4，5，6，－1中，是没有等式x－2＜3的解的有________．
【正确答案】4 -1
【详解】解没有等式x-2＜3得
x＜5；
∴4、5、6、-1中，4、-1是没有等式的解．
故答案是：4,-1.
14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.
【正确答案】AB=DC(答案没有)
【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可．
【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB，
∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC，
故答案：AB=DC(答案没有)．
本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键．
15. 若函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
【正确答案】﹣3
【详解】∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，
∴
解得m=-3．
故答案是：-3.
16. 分解因式：ab3-ab=_______．
【正确答案】ab（b+1）（b-1）.
【详解】试题解析：ab3-ab，
=ab（b2-1），
=ab（b+1）（b-1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
17. 如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．
【正确答案】40
【详解】试题分析：由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．
解：∵▱ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC=18cm①，
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，
∴4AB=5BC②，
由①②得：AB=10cm，BC=8cm，
∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．
故答案为40．
考点：平行四边形的性质．
18. △ABC是边长为18的正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.
【正确答案】
【详解】如图，作BL⊥AC于L交DE于H，交FG于K．
∵△ABC是等边三角形，AC=BC=AB=18，
∴∠B=90°，BL=BC•sin60°=9，
∵BE=BD，
∴△BED是等边三角形，
∴BE=BD=DE=6，BH=EB•sin60°=3，
∵HK=EF=6，
∴BK=3+6，
∴KL=BL-BK=9-（3+6）=6-6，
∵∠BED=∠C=60°，
∴DE∥AC，
∵DE∥FG，
∴FG∥AC，
∴点F到AC的距离=6-6．
故答案是：6-6.
考查正方形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.
三、解 答 题：
19. 解方程：
【正确答案】x=-4
【详解】解：
去分母得，4（2x-1）-3（3x-4）=12，
去括号得，8x-4-9x+12=12，
移项得，8x-9x=12-12+4，
合并同类项得，-x=4
把x的系数化为1得，x=-4.
20. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？
【正确答案】见解析
【详解】设这个班有x个学生
3x+20=4x-25
x=45
图书：3x+20=3×45+20=155(本)
答这个班有45名学生，图书有155本.
21. 九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会，并根据学生做家务的时间来评价他们在中的表现.老师了全班50名学生在这次中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅没有完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次中学生做家务时间的中位数所在的组是____________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由．
【正确答案】（1）C组；（2）作图见解析；（3）符合，理由见解析
【分析】（1）可根据中位数的概念求值；
（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；
（3）根据中位数的意义判断．
【详解】解：（1）C组的人数是：50×40%=20（人），
B组的人数是：50-3-20-10-2=15（人），
把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C组；
故答案为C组；
（2）根据（1）得出的数据补图如下：
（3）符合实际．
设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2，
∵小明帮父母做家务的时间大于中位数，
∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．
22. 已知港口位于观测点的东向，且其到观测点正向的距离的长为千米，一艘货轮从港口以千米/时的速度沿如图所示的方向航行，分后到达处，现测得处位于观测点北偏东方向，求此时货轮与观测点之间的距离的长（大千米）
（参考数据：，，，）
【正确答案】此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.7km．
【详解】试题分析：根据在Rt△ADB中，sin∠DAB=，得出AB的长，进而得出tan∠BAH= ，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案．
试题解析：
BC=48×=12，
在Rt△ADB中，sin∠DAB=＝，
∴AB= = ，
如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，
在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC-∠DAB=75°-45°=30°，
tan∠BAH==，
∴AH=BH，
BH2+AH2=AB2，BH2+（BH）2=（16）2，∴BH=8，∴AH=8，
在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴CH=4，
∴AC=AH-CH=8-4≈15.7km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.7km．
23. 某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．
（1）第20天的总用水量为多少米3？
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数关系式；
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？
【正确答案】（1）1000；（2）y=300x﹣5000；（3）40
【分析】根据题意得出第20天的总用水量；y与x的函数关系式为分段函数，则需要分两段分别求出函数解析式；将y=7000代入函数解析式求出x的值．
【详解】（1）第20天的总用水量为1000米3
当0＜x＜20时，设y=mx ∵函数图象点（20，1000），（30，4000） ∴m=50
y与x之间的函数关系式为：y=50x
当x≥20时，设y=kx+b ∵函数图象点（20，1000），（30，4000）
∴解得∴y与x之间的函数关系式为：y=300x﹣5000
（3）当y=7000时， 有7000=300x﹣5000，解得x=40
考点：函数的性质
24. 如图，已知正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F. 求证：DE=DF.
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG=BD=E，所以∠EBD=30°，条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．
试题解析：
证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO=AC=BD=BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
25. 如图,⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=，BC=4，求AD长．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OA交BC于点E，根据垂径定理的推论求得OA⊥BC，然后根据平行线的性质证得∠PAO=90°，即可证得结论．
（2）根据勾股定理求得AE，得出tan∠C=，根据∠D=∠C，得出tan∠D=，从而求得AD的长．
试题解析：
（1）证明：连接OA交BC于点E，如图所示：
由AB=AC可得OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴∠PAO=∠BEO=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线．
（2）解：根据（1）可得CE=BC=2．
Rt△ACE中，AE＝＝1，
∴tan∠C=
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
又∵∠D=∠C，
∴tan∠D=，
∴AD=2．
运用了切线的判定、勾股定理、正切函数等；半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．
26. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C没有重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．
（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）
（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；
（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）1800-2α．（2）1；（3）S=
【详解】试题分析：（1）首先在Rt△ABC中，判断出∠ABC=90°-∠BAC=90°-α；然后根据翻折的性质，可得∠EFB=∠EBF；根据三角形外角的性质，可得∠AEF=∠EFB+∠EBF，据此解答即可．
（2）当点F与点C重合时，BD=CD时，判断出AC∥ED，即可判断出AE=BE；然后根据三角形中位线定理，求出线段DE的长度是多少即可．
（3）根据题意，分两种情况：①当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时；②当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时；然后分类讨论，求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围即可．
试题解析：（1）如图①，
，
在Rt△ABC中，
∠ABC=90°-∠BAC=90°-α，
∵将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2（900-∠BAC）=1800-2α．
（2）如图②，
，
当点F与点C重合时，BD=CD时，
∵ED⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥ED，
∴AE=BE，
∴DE=AC=×2=1．
（3）当点F与点C重合时，
BD=CD=BC=×4=2．
①如图③，
，
当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时，重叠部分是△EDF．
∵AC∥ED，
∴△ABC∽△EDB，
∴，
即，
∴ED=，
∴S△EDF=×ED×DF=××x=x2，（0＜x≤2）．
②如图④，
，
当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时，
设EF与AC相交于点M，
则重叠部分是四边形EDCM．
∴FC=FD-CD=x-（4-x）=2x-4
∵∠ACB=∠MCF=90°，∠EFB=∠EBF，
∴△ABC∽△MFC，
∴，
即，
∴MC=x-2，
∴S四边形EDCF=S△EDF-S△EDF
=×x×-×（x-2）×（2x-4）
=-x2+4x-4，（2＜x＜4）．
综上，可得
S=
考点：函数综合题．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下各题后面给出的4个选项中，只有1项符合题目要求，请将其选出用2B铅笔涂抹答题卡对应题目的标号．多选、没有选、错选均没有给分．
1. 2018的相反数（ ）
A. 2018 B. -2018 C. |-2018| D.
2. 将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2没有一定互补的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的
A. B. C. D.
4. 下列变形中没有正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2 (c有理数) B. 由得
C. 由得 D. 由得
5. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
6. 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜60° C. 60°＜∠A＜90° D. 30°＜∠A＜45°
7. 八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数没有到8棵若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A. B.
C D.
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
9. 如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k的值为( )
A. 3 B. 6 C. D.
10 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
A B. 2 C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 的倒数是_____________．
12. 当x=2时，二次根式的值是_________．
13. 某学生7门学科考试成绩的平均分是80分，其中门学科都考了78分，则另外4门学科成绩的平均分是_____________.
14. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．
15. 已知，如图，半径为1的⊙M直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为( ， 0 )，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝________.
16. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，点E在CD上，CD＝5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是_____．
三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
17. 计算：
18. 若没有等式的解集是x＞3，则a的取值范围是_______．
19. 先化简，再求值：，其中．
四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
20. 如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△C；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
21. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
22. 某商场用36万元购进A、B两种商品，完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数没有变，而购进A种商品的件数是次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折．若两种商品完毕，要使第二次经营获利没有少于81600元，B种商品售价为每件多少元?
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23. 如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
24. 已知：关于x的一元二次方程：为实数．
若方程有两个没有相等的实数根，求m的取值范围；
若是此方程的实数根，抛物线与x轴交于A、B，抛物线的顶点为C，求的面积．
六、（本大题共2小题，25题12分，26题13分，共25分）
25. 如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
26. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下各题后面给出的4个选项中，只有1项符合题目要求，请将其选出用2B铅笔涂抹答题卡对应题目的标号．多选、没有选、错选均没有给分．
1. 2018的相反数（ ）
A. 2018 B. -2018 C. |-2018| D.
【正确答案】B
【详解】2018的相反数是-2018，
故选B.
2. 将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2没有一定互补的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】A选项：
∠1+∠2=360°－90°×2=180°；
B选项：
∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°；
C选项：
∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，
∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；
D选项：∠1和∠2没有一定互补.
故选D.
点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.
3. 已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】用这个小组的人数除以全班人数即可求得结果．
【详解】根据题意得：．
故选C．
本题主要考查了有理数除法的应用，掌握理数除法法则是解题的关键．
4. 下列变形中没有正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2 (c为有理数) B. 由得
C. 由得 D. 由得
【正确答案】A
【详解】分析: 根据没有等式的性质进行判断.
详解: A、当c为0时,没有符合题意；
B、由得，正确；
C、由得, 正确；
D、由得，正确；
故选A.
点睛: 考查了没有等式的性质．要认真弄清没有等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在没有等式两边同乘以（或除以）同一个数时，没有仅要考虑这个数没有等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，没有等号的方向必须改变.
5. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
【正确答案】D
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，
，
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的上方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方；
故选D．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
6. 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜60° C. 60°＜∠A＜90° D. 30°＜∠A＜45°
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵cos60°=， cos30°=，
∴30°＜∠A＜60°．
故选B．
7. 八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数没有到8棵若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】没有到8棵意思是植树棵树在0棵和8棵之间，包括0棵，没有包括8棵，关系式为：植树总棵树位同学植树的棵树，植树的总棵树位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
【详解】位同学植树棵树为，
有1位同学植树的棵数没有到8棵植树的棵数为棵，
可列没有等式组：，
即．
故选C．
本题考查了列一元没有等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数没有到8棵”是解决本题的突破点．
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
【正确答案】A
【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形思想解题是本题的解题关键．
9. 如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝ (k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k值为( )
A. 3 B. 6 C. D.
【正确答案】D
【详解】
∵将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y=x+4，
分别过点A、 B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥BE于点F,设A(3x,x)，
∵OA=3BC,BC∥OA,CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=OD，
∵点B在直线y=x+4上，
∴B(x, x+4)，
∵点A. B在双曲线y=上，
∴3x⋅x=x⋅(x+4)，解得x=1，
∴k=3×1××1=.
故选D.
10. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意易得AB=3，然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可．
【详解】解： AH=2，HB=1，BC=5，
AB=3，
，
；
故选A．
本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 的倒数是_____________．
【正确答案】-7
【分析】根据倒数定义可知，−的倒数是-7.
【详解】−的倒数是-7．
故-7.
本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
12. 当x=2时，二次根式的值是_________．
【正确答案】1
【详解】试题分析：将x=2代入代数式可得：原式＝．
13. 某学生7门学科考试成绩的平均分是80分，其中门学科都考了78分，则另外4门学科成绩的平均分是_____________.
【正确答案】81.5
【详解】根据题意可得，用7门学科考试成绩的总分-3门学科的总分即为4门学科成绩的总分，再用4门学科成绩的总分除以门数即得4门学科成绩的平均分．由此可得另外4门学科成绩的平均分为：（80×7-78×3）÷4=81.5分．
14. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．
【正确答案】.
【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
【详解】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP最小值，
∵AE=，P2E=1，
∴AP2=.
故答案为.
15. 已知，如图，半径为1的⊙M直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为( ， 0 )，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝________.
【正确答案】30°
【详解】∵AB=2，OA= ，
∴cos∠BAO= = ，
∴∠OAB=30°，∠OBA=60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC=∠BAO=30°，
∴∠ACO=∠OBA-∠BOC=30°．
故答案是：30°．
16. 如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，点E在CD上，CD＝5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是_____．
【正确答案】(3,0)
【详解】试题解析：由题意得：，
解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
将A（1，6）代入得：k=6，
则反比例解析式为；
设E（x，0），则DE=x-1，CE=6-x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD-S△ADE-S△BCE
=（BC+AD）•DC-DE•AD-CE•BC
=×（1+6）×5-（x-1）×6-（6-x）×1
=-x=10，
解得：x=3，
则E（3，0）．
故答案为（3，0）
三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
17. 计算：
【正确答案】4
【详解】分析: 根据值的概念、负整数指数幂、零指数幂的法则、锐角三角函数计算．
详解:原式
=
=1+3
=4
点睛: 本题考查了实数运算，解题的关键掌握相关运算法则.
18. 若没有等式的解集是x＞3，则a的取值范围是_______．
【正确答案】a≤3．
【详解】化简没有等式组可知 ．
∵解集为x＞3，
∴根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）”法则，得a≤3．
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】
【详解】分析: 约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
详解:
解：原式=
=
=
当时，
原式
点睛: 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
20. 如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△C；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）由垂直定义得∠AMC =∠BNC=90°，再根据同角的余角相等得∠MAC=∠NCB，再由AAS证明△AMC≌△C.
(2)由△AMC≌△C得出CM=BN=5，再利用勾股定理就能计算BC，从而算出AB.
解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，
∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180﹣90°=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△C中，
∴△AMC≌△C（AAS）；
（2）由（1）知 △AMC≌△C，
∴CM=BN=5，
∴Rt△ACM中，AC=，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=，
∴AB===2．
点睛：（1）证明三角形全等常运用以下判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
（2）第（1）小题的结论是在大前提下得到，所以后续证明计算都可用. 第（2）问就是要利用全等的性质：对应角、对应边相等去求解.
（3）找全等三角形对应元素规律：
①对应角所对的边是对应边，对应边所对的角也是对应角；
②公共角、公共边一般都是对应角对应边；
③对顶角一般都是对应角；
④边(角)、最小边（角）是对应边（角）.
21. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【正确答案】（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1.
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）56÷20%=280（名），
答：这次的学生共有280名；
（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中结果知：学生关注至多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．
22. 某商场用36万元购进A、B两种商品，完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数没有变，而购进A种商品的件数是次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折．若两种商品完毕，要使第二次经营获利没有少于81600元，B种商品售价为每件多少元?
【正确答案】（1）该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）B种商品售价为每件1080元．
【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出方程组即可求得 ．
（2）由（1）得A商品购进数量，再利用没有等关系“第二次经营获利没有少于81600元”可得出B商品的售价．
【详解】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
解得
故该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400=72000（元）
从而B商品售完获利应没有少于81600﹣72000=9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
故B种商品售价为每件1080元．
本题主要考查了二元方程组的应用和一元没有等式的应用，构建数学模型是解答本题的关键.
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23. 如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）如图，利用△ABC的内心和同弧所对的圆周角相等可证得∠1=∠3，利用平行线的性质可证∠4=∠6，再根据AAS即可判定△BOC≌△CDA；
（2）先判定△ABC是等边三角形，即可得O是△ABC的内心也是外心，所以OA=OB=OC．在Rt△OCE中，CE=1，∠OCE=30º，可求得OA=OB=OC=，求出扇形AOB和△AOB的面积即可得求得阴影部分的面积．
【详解】解：（1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∵四边形OADC为平行四边形
∴AD∥CO，AD=CO，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴△BOC≌△CDA（AAS）；
（2）∵△BOC≌△CDA，
∴BC=AC，
∵∠4=∠3，
∴∠3=∠4=∠6，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴O是△ABC的内心也是外心，
∴OA=OB=OC，
设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC．
在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30º，
∴OA=OB=OC=．
∵∠AOC=120º，
∴．
24. 已知：关于x的一元二次方程：为实数．
若方程有两个没有相等的实数根，求m的取值范围；
若是此方程的实数根，抛物线与x轴交于A、B，抛物线的顶点为C，求的面积．
【正确答案】 或；
【分析】根据与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程为实数的解的情况；
把代入方程，求出m的值，得出函数的解析式，求出A、B、C的坐标，求出AB，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】根据题意，得，即，
解得或，
又，
，
由，得或；
是此方程的实数根，
，
解此方程得：，
抛物线的解析式为，
化成顶点式是：，
顶点C的坐标为，
令，得，
解得：或，
得，
所以．
本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解等知识点，能求出对应的二次函数的解析式是解此题的关键．
六、（本大题共2小题，25题12分，26题13分，共25分）
25. 如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.
【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE-HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1．
【详解】解：（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM=∠CBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠CBM=∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE=CE=BC=2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴，即，解得r=，
即设⊙O的半径为；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE=OM=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣=，
∵OH⊥BG，
∴BH=HG=，
∴BG=2BH=1．
26. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【正确答案】（1） ，；（2）；（3）
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设， 得 ,再由点坐标公式得出方程，求解即可；
（3）分两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1）解：设直线的解析式为（）
∵，
∴ 解得
∴直线的解析式为
∵抛物线点，
∴ 解得
∴
（2）∵轴，
∴设，
∴，
∵点是的中点
∴
∴
解得，（没有合题意，舍去）
∴
（3）∵，，
∴，
∴
∵
∴当与相似时，存在以下两种情况：
①
∴ 解得
∴
②
∴ ,解得
∴点M的坐标为
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