2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题（解析版）

2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用并集运算即可求解.

【详解】，

所以

故选：.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二倍角的正切公式，化简求值.

【详解】.

故选：D

3．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ）

A．10米/秒 B．9米/秒

C．7米/秒 D．5米/秒

【答案】B

【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度.

【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.

故选：B

4．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据选项，代入求的范围，根据正弦函数的性质，判断选项.

【详解】A.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故A错误；

B. 当时，，函数在区间单调递增，在区间单调递减，故B错误；

C. 当时，，函数在区间单调递增，故C正确；

D.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故D错误.

故选：C

5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据外接球半径求法和球的表面积公式即可求解.

【详解】根据题意，体对角线的长度为外接球的直径，

所以，

故该球的表面积为.

故选：A.

6．若随机变量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果.

【详解】因为，，

则，解得，

所以.

故选：D.

7．设，，，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过作差法分别比较与，与的大小，从而得出，，的大小关系.

【详解】因为，所以，

所以，

，

所以，即.

故选：C.

8．如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线相交 B．直线与直线平行

C．直线平面 D．直线平面

【答案】C

【分析】根据中位线定理证明平行，再由线面平行的判定定理即可求解.

【详解】直线与直线既不平行，也不相交，故选项A错误，选项B错误；

根据题意，是中位线，所以，

面，而面，

所以直线平面，故选项C正确，选项D错误.

故选：C.

9．用清水冲洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过，则至少要洗的次数是（    ）

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】B

【分析】设洗的次数是，根据题意列出关于n的不等式，再解不等式即可作答.

【详解】设洗的次数是，令原有污垢为1，因为每次能洗去污垢的，则每次洗后留存的污垢为，

于是得次冲洗后存留的污垢为，由得：，而，则，

所以至少要洗的次数是10.

故选：B

10．“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】求出不等式恒成立的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为，，则有，解得，

而，

所以“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A

11．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在处取得最大值 D．在处取得极大值

【答案】D

【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.

【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，

当时，，当且仅当时取等号，

因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；

在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.

故选：D

12．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在椭圆上，则周长的最大值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】设椭圆的左焦点为，连接，进而结合椭圆定义得的周长为，再根据求解即可.

【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接

由椭圆定义知，故，

所以的周长为，

因为当且仅当三点共线时，等号成立，

所以，，

所以周长的最大值为，

故选：D

二、填空题

13．双曲线的焦点坐标是______．

【答案】，

【分析】将方程化为双曲线的标准方程，再求焦点坐标.

【详解】双曲线方程化简为标准方程为，

由方程可知焦点在轴，其中，则，

所以焦点坐标是.

故答案为：

14．已知是正项等比数列，且，则______．

【答案】3

【分析】根据等比数列的下标和性质结合对数的定义与运算求解.

【详解】.

故答案为：3.

15．函数的部分图像如图所示，则=______．

【答案】1

【分析】根据函数的最值，周期，最小值点等信息代入即可求解.

【详解】根据函数图像，

，,解得

所以.

又，所以，

所以，所以，

又因为，

所以令，则，

所以，

所以.

故答案为：1.

16．若某几何体为一个棱长为2的正方体被过顶点P的平面截去一部分后所剩余的部分，且该几何体以图①为俯视图，其正视图和侧视图为图②③④⑤中的两个，则正视图和侧视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）．

【答案】②⑤(答④③也正确)

【分析】根据点P的位置排除不可能为正视图的选项③和⑤，分正视图为②④时，分别讨论即可.

【详解】由截面过顶点可知，正视图不可能为③和⑤，正视图为②时，侧视图为⑤，其直观图如图所示：

当正视图为④时，侧视图为③，其直观图如图所示：

故答案为：②⑤(答④③也正确)

三、解答题

17．已知是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和的最小值．

【答案】(1)

(2)-30

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项性质即可求解；（2）根据等差数列的求和是二次函数即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则．

∵是和的等比中项，

∴，解得．

∴．

（2）由（Ⅰ）可知，

当n=5或6时

的最小值为．

18．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【分析】根据给出公式计算即可

【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为.

（2）,

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

19．如图，四边形是正方形，平面，，，．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理作答.

（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.

【详解】（1）四边形是正方形，有，而平面，平面，则，

又，平面，

所以平面.

（2）由（1）知，两两垂直，以为原点分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

即有，，，

由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，

则，令，得，设平面与平面夹角为，

则有

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点．

【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合，即可进一步求解.

【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离为4，得，解得，

∴抛物线的标准方程为．

（2）由消去得．

∴，．

设直线和直线的斜率分别为，，

以线段为直径的圆过原点，∴，∴．

∵，，

∴，．

∴，即．

∴直线．

∴直线恒过定点．

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上只有一个零点，求实数的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；

（2）分和两种情况讨论，根据题意结合导数与单调性的关系分析求解.

【详解】（1）∵，∴，

则，．即切点坐标为，切线斜率，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）∵，，则有：

当，则在上恒成立，

故函数在上单调递增，则，

即在无零点，不合题意，舍去；

当，令，则在上单调递增，则，

令，则在上恒成立，

则在上单调递增，则，

故在上恒成立，

∴，

（ⅰ）当，即时，则，则函数在上单调递增，则，

故函数在上单调递增，则，

即在无零点，不合题意，舍去；

（ⅱ）当，即时，则函数在存在唯一的零点，

可得：当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，则，

∵，即，

∴，

①当，即时，则在上恒成立，

故函数在上单调递增，则，

即函数在无零点，不合题意，舍去；

②当，即时，

结合①可得：若时，在上恒成立，

故，

故在内有两个零点，不妨设为，

可得：当或时，，当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

若函数在上只有一个零点，且，

∴，

又∵，即，

∴，解得，

故；

综上所述：.

【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)已知射线与曲线的交点为，求点的直角坐标．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式即可将参数方程化为普通方程，再利用极坐标方程方法即可求解；（2）根据极坐标方程代入即可求解.

【详解】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

∴曲线的普通方程为，

根据转化为极坐标方程为，

∴曲线的极坐标方程为．

（2）当时，，

∴．

∴点的极坐标为．

∴点的直角标为．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由题知，进而平方解不等式即可；

（2）由绝对值三角不等式得，进而解即可得答案.

【详解】（1）解：因为即为，

所以，即，解得，

所以，不等式的解集为

（2）解：因为对任意实数恒成立，，

所以对任意实数恒成立，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，解得或，

所以，实数的取值范围为.