2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A．{6,5,3} B．{6,5} C．{3,1} D．{5,3,1}

【答案】A

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：A

2．函数的定义域为（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式、分母不为零的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.

【详解】由函数的解析式可知，

故选：B

3．已知，，则（    ）

A．0 B．2 C．0.5 D．0或2

【答案】C

【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.

【详解】因为，所以，

所以由得，

故选：C

4．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ）

A．10米/秒 B．9米/秒

C．7米/秒 D．5米/秒

【答案】B

【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度.

【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.

故选：B

5．下列函数中，既是偶函数又在（0,＋∞）上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用奇偶性定义判断奇偶性（可从图象的对称性、定义域的对称性进行排除），再确定单调性得出结论．

【详解】的图象是由指数函数向下平移一个单位得到的，它不关于轴对称，不是偶函数，

函数的定义域是，无奇偶性，

函数的定义域是，无奇偶性，

的定义域是，关于原点对称，且，是偶函数，

又时，是增函数，满足题意．

故选：C．

6．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据外接球半径求法和球的表面积公式即可求解.

【详解】根据题意，体对角线的长度为外接球的直径，

所以，

故该球的表面积为.

故选：A.

7．下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的有（    ）

A．样本，，…，的方差 B．样本，，…，的中位数

C．样本，，…，的众数 D．样本，，…，的平均数

【答案】A

【分析】根据样本的数字特征的知识确定正确答案.

【详解】能度量样本离散程度、波动程度、稳定性的是方差.

故选：A

8．设，，，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过作差法分别比较与，与的大小，从而得出，，的大小关系.

【详解】因为，所以，

所以，

，

所以，即.

故选：C.

9．如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线相交 B．直线与直线平行

C．直线平面 D．直线平面

【答案】C

【分析】根据中位线定理证明平行，再由线面平行的判定定理即可求解.

【详解】直线与直线既不平行，也不相交，故选项A错误，选项B错误；

根据题意，是中位线，所以，

面，而面，

所以直线平面，故选项C正确，选项D错误.

故选：C.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】D

【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.

【详解】根据导函数的图象可知，在区间上递减，

在区间上，递增，

所以D选项正确，ABC选项错误.

故选：D

11．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.

【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，

当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.

当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.

综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.

12．已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，可得，利用，即可求得答案.

【详解】由题意知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，

若，则 ，即，

设椭圆的离心率为,则，

故选：D

二、填空题

13．双曲线的焦点坐标是______．

【答案】

【分析】将双曲线方程化为标准形式，即可得答案.

【详解】，得，

则，则焦点坐标为.

故答案为：

14．已知是正项等比数列，且，，则______．

【答案】8

【分析】根据等比数数列的性质可得：，代入数据即可求解.

【详解】因为数列是正项等比数列，由等比数列的性质可得：

，也即，所以，

故答案为：.

15．函数的最小正周期是______．

【答案】

【分析】由倍角公式化简函数，即可由求得周期.

【详解】，故最小正周期为.

故答案为：

16．如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向，且与它相距海里，则此船的航行速度是______海里/小时．

【答案】

【分析】利用三角形的外角和定理及正弦定理，结合匀速运动的速度公式即可求解.

【详解】因为在中，

所以

由正弦定理，得,即，

又因为从A到 B处匀速航行的时间为半小时，

所以速度为海里/小时.

故答案为：.

三、解答题

17．已知等差数列的公差为d，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得公差，由此求得.

（2）根据等差数列的前项和公式求得.

【详解】（1）依题意．

∵，

∴，解得．

∴．

（2）∵，，

∴．

18．近年来中国航天事业发展迅速，中国自行建造的空间站已经开启了有人长期驻留时代．某中学为了调查学生对航天科普知识了解程度，从该校学生中随机抽取了50名同学回答航天科普知识问题，结果如下：

(1)从得分在80分以上的同学中用分层抽样方法抽取5名同学，求在得分超过90分的学生中应抽取几人？

(2)在（1）中抽取的5名同学中，随机抽取2名同学，求这2名同学的得分都超过90的概率．

【答案】(1)2人

(2)

【分析】（1）求出两层的比例，按比例抽取.

(2)列出所有的基本事件，再算出得分都超过90的基本事件为，按照古典概型概率求解.

【详解】（1）∵15：10＝3：2，

∴在得分超过90分的学生中应抽取2人．

（2）由（1）知，得分在（80,90]中的抽取3人（记作a，b，c），得分在（90,100]中的抽取2人（记作D，E）．所有基本事件为：（a,b），（a,c），（a,D），（a,E），（b,c），（b,D），（b,E），（c,D），（c,E），（D,E），共10种，其中2名同学的得分都超过90的基本事件为这1种，

∴所求概率为．

19．如图，四边形是正方形，平面，，．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可；

（2）通过图形中的垂直关系得到三棱锥的底面积和高，利用三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，

因为平面，平面，所以，

又因为，平面，所以平面．

（2）因为平面，平面，所以，

因为，所以点到的距离为4，，

因为，，，平面，

所以平面,

所以点到平面的距离为4，

所以．

20．已知函数在x＝1处取得极值．

（1）求a的值；

（2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值．

【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5.

【分析】（1）求出导函数，利用在处取得极值，，求解即可．

（2）求出．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可．

【详解】解：（1）因为，

所以．

因为在x＝1处取得极值，

所以，即，解得

经检验，符合题意．

（2）由（1）得．

所以．

令，得或；

令，得．

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．

所以的极大值为，极小值为

又， ，

所以

所以的最大值为76，最小值为

21．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点．

【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合，即可进一步求解.

【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离为4，得，解得，

∴抛物线的标准方程为．

（2）由消去得．

∴，．

设直线和直线的斜率分别为，，

以线段为直径的圆过原点，∴，∴．

∵，，

∴，．

∴，即．

∴直线．

∴直线恒过定点．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)已知射线与曲线的交点为，求点的直角坐标．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式即可将参数方程化为普通方程，再利用极坐标方程方法即可求解；（2）根据极坐标方程代入即可求解.

【详解】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

∴曲线的普通方程为，

根据转化为极坐标方程为，

∴曲线的极坐标方程为．

（2）当时，，

∴．

∴点的极坐标为．

∴点的直角标为．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由题知，进而平方解不等式即可；

（2）由绝对值三角不等式得，进而解即可得答案.

【详解】（1）解：因为即为，

所以，即，解得，

所以，不等式的解集为

（2）解：因为对任意实数恒成立，，

所以对任意实数恒成立，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，解得或，

所以，实数的取值范围为.