2023届广东省深圳市高级中学（集团）高三上学期期末数学试题 Word版含解析

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高级中学（集团）高三期末测试一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为，所以，又因为，所以则，故选：C2. 已知复数，其中i是虚数单位，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】可假设，则代入原式中，利用进行复数运算即可求解.【详解】设，，则，故，，，故选：C．3. 已知非零向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，结合向量平行的坐标表示判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，故，即充分性成立，由，若时必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．故选：C．5. 屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典概型去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为故选：C6. 已知函数的周期为1，则（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，函数的周期为1，则的周期为4，依次分析选项即可.【详解】因函数的周期为1，则.令，则，得的周期为4，则.，故A正确，C错误.又由，可得，故B，D错误.故选：A7. 已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】本题利用函数的奇偶性及单调性求得函数的值域，然后利用均值不等式判断与的大小关系从而进行判断．【详解】，均为偶函数，故函数为偶函数，，令，，，，故单调递增，即单调递增，又，∴在恒成立，故在函数递增，且，故函数在递减，在递增，且函数恒成立，，，成等比数列，当，均为正数时，由均值不等式有：，①，当，均为负数时，由均值不等式有：，②，由①②有：，又，，互不相等，故，故，，故选：D．8. 如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（    ）A B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】是正方体， 当底面与平面所成的角与底面对角线所成的角相等时，顶点到平面的距离的最大；最大值 作截平面图， 由题知 ,利用平面几何知识求得即可【详解】如图所示，当直线与面所成角等于面ABCD与面所成角时顶点到平面的距离最大，取截图，如下图所示：作，，，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选:B.【押题点】二面角大小；点面距最值问题【点睛】本题考查正方体翻转求面距离最值问题.求解翻折(转)问题的关键及注意事项：求解平面图形翻折(转)问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折(转)后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意：(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的有（）A. 若随机变量，，则B. 若随机变量，则C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 的第百分位数为【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布的概率求解、二项分布的方差、相关系数的性质，以及百分位数的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：，故正确；对：，所以，故错误；对：样本相关系数的范围在和之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误；对：先把原数据按从小到大排列，计算第百分位数为故正确；故选：.10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可能为（）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出对称轴，即可得到的取值情况.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象关于直线对称 又当时，；当时，；当时，；故选：AD.11. 第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（）A. B. C. 如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则D. 由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】BCD【解析】【分析】由离心率相同及已知得到、，即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得判断D.【详解】A：由且，则，即，故错误；B：由，得，则，所以，故正确；C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确；D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确.故选：BCD.12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（）A. P1、P2两点的横坐标之积为定值B. 直线P1P2的斜率为定值C. 线段AB的长度为定值D. 三角形ABP面积的取值范围为(0，1]【答案】ABC【解析】【分析】A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，讨论的位置，即可判断；B.由两点的坐标，表示直线的斜率，即可判断；C.分别求切线方程，并表示点的坐标，即可求线段的长度；D.根据切线方程，求交点的横坐标，因为为定值，即转化为求点的横坐标的取值范围.【详解】因为，所以，当时，；当时，，不妨设点，的横坐标分别为，且，若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.所以或，则，，由题意可得，可得，若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；对于选项B，易知点，，所以，直线的斜率为，选项B对；对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，直线的方程为，令可得，即点，所以，，选项C对；对于选项D，联立可得，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，所以，，选项D错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在的展开式中，的系数是______．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】用乘以展开式的项再加上乘以展开式的项，最后合并同类项即可求解【详解】展开式的第项展开式中项的系数为：．故答案为：14. 已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，区间递减，；在区间递增，.所以的解集.故答案为：15. 已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】设，表示出，后利用辅助角公式得答案.【详解】因为R是圆上的动点，则设，其中.则，得，其中满足，则，当且仅当时取等号.故答案为：.16. 已知抛物线，，过点P作斜率为正的直线l与抛物线交于点M，N，点M，N在y轴上的射影为，，若，则直线l的斜率为__________．【答案】##【解析】【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据两角和的正切公式代入即可化简求解.【详解】设，，且，，则，，设直线，联立得，，则，，由，设，，则，，由，即，解得，（舍去），故斜率，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列前n项和为，且满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，若数列的前m项和，求m的值.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用题意可整理得，即可得到，又，可得到的通项公式，即可求解；（2）利用裂项相消法可得到，即可求解【小问1详解】由，变形得.因为，所以.因为，所以，又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，则数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）可得，所以.则，解得.18. 2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．（1）若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；（2）我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（，）【答案】（1）方案一工作量更少，理由见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据题干，分别得出两种方案中每组的化验次数的可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求解数学期望，比较两种方案中哪种方案化验次数最少即可.（2）根据已知条件，利用条件概率的计算公式求解即可.【小问1详解】解：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，∴，，∴的分布列为：111p0.9700.030．故方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9，，∴的分布列为：12p0.9760.024∴．∴方案二的化验总次数的期望为次．∵260<298，∴方案一工作量更少．故选择方案一.【小问2详解】设事件A：核酸检测呈阳性，事件B：被感染，则由题意得，由条件概率公式可得，∴该人被感染的概率为.19. 在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角，又于，于.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，根据求出点的坐标，进而可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标运算求解面面夹角的余弦值.【小问1详解】过作，则四边形为矩形，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，因为与平面所成角，所以，所以，所以,，，设，所以，即,因为，所以,解得，所以，又因为，所以，即，又因为，，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）可知平面，则为平面的一个法向量.,所以,即，又因为平面，平面,所以，又因为平面，所以平面，则为平面的一个法向量.则所以二面角的余弦值为.20. 中，.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的运算可得，求解可得，再根据余弦定理求解即可；（2）法一：根据二倍角公式可得，结合可得，进而求得，由正弦定理与倍角公式可得，结合，再利用三角形面积公式求解即可；法二：在上取点，使得，则，再根据题意，结合可证明，再根据余弦定理可得，进而利用面积公式求解即可.【小问1详解】，由，得.∴，∴.【小问2详解】法一：∵，∴，∴，又，又，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由正弦定理得，，又，，∴，又，，∴，∴.法二：在上取点，使得，∴，∴，∴，又，∴.∴，∴，∴.又，∴，∴，，∴.21. 如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．（1）若，求证：；（2）若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．【答案】（1）证明见解析；（2）定值，7.【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线的方程为，与双曲线联立得，同理得，由斜率公式及（1）中的结论可得结论.【小问1详解】由等轴双曲线知离心率，，及，可得，所以双曲线方程为，.当直线斜率不存在时，，，直线的斜率存在时，，，整理得，综上所述，成立；【小问2详解】依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入双曲线并化简得：，①由于，则代入①并化简得：，设，则，解得，代入，得，即，同理可得，所以，所以是定值.22. 已知函数，.（1）讨论在上的单调性；（2）当时，讨论在上的零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）有3个零点.【解析】【分析】（1）求，然后根据，和，判断原函数在上的单调性即可（2）把代入原函数，转化为，然后构造函数，判断函数奇偶性，然后计算，探讨函数的单调性，最后进行计算即可.【详解】（1），，当时，恒成立，则在上单调递减；当时，令，则，令，则，若，即时，在上单调递增；若，即时，在上单调递减；在上单调递增；（2）当时，，令，得，令，则，所以为奇函数，且，所以0是的一个零点，令，则，当，，则在上单调递增，令，则在上单调递增，在上单调递减，令，则恒成立，所以在上单调递减，所以，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，则当时，恒成立，即当时，恒成立，所以当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，，所以在上单调递增，又，，所以在上有且只有一个零点，设该零点为，因为为奇函数，所以在上的零点为，所以在上有3个零点，分别为，0，，所以在上有3个零点.【点睛】方法点睛：含参数的函数单调性判断：（1）求导；（2）讨论参数范围；（3）判断的符号.利用导数判断函数在区间的零点个数：（1）构造函数；（2）求导（可能用到二阶导）；（3）判断原函数的单调性；（4）得出结论.