山东省烟台市2022届高三数学下学期三模试卷（Word版附答案）

2022年模拟试题

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的

1 若集合，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

2. 复数的共轭复数为

A.  B.  C.  D.

3. 若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（    ）

A  B.  C.  D.

5. 过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

6. 若，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

7. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 1

8. 已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（    ）

A. 平均数为2，中位数为3 B. 平均数为1，方差大于0.5

C. 平均数为2，众数为2 D. 平均数为2，方差为3

10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 满足的的取值范围为（）

C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴

D. 函数与的图象关于直线对称

11. 二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数，其中（），记.如，，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.  

C.  D.

12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司员工，则下列说法正确的有（    ）

A. 甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

B. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

C. 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高

D. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若为奇函数，则的表达式可以为___________.

14. 若展开式中第6项的系数为1792，则实数的值为___________.

15. 已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.

16. 某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角；

（2）若，求的取值范围.

18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：

计算得到一些统计量的值为：，其中，.

（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；

（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望.

参考公式：对于一组数据（），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

19. 已知数列的前项和为，，当时，.

（1）求；

（2）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.

20. 如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.

21. 已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

（1）求椭圆标准方程；

（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

22. 已知函数（）.

（1）证明：当时，函数存在唯一的极值点；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围.

答案

1-8 BBACD  DAB  9.AD  10.ABD  11.BD  12.BCD

13. ，，，，等（答案不唯一）

14.

15. 或1##1或

16. ①.     ②.

17.（1）解：因为，

由正弦定理得，

即，

即，

因为，所以，

所以.

因为，所以，

所以，因为，所以.

（2）解：由正弦定理得，

所以

，

所以.

因为，所以，

所以，所以.

18.（1）解：因为两边取对数可得，即，

令，所以，由，

，.

所以，

又，即，

所以，所以.

所以关于的经验回归方程为.

（2）解：由题知，甲获得的积分的所有可能取值为5，7，9，12，

所以，，

，，

所以的分布列为

所以

19.（1）当时，，

所以，，

整理得：，即.

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.

所以，即.

（2）由（1）知，，

所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，，

所以，即，即，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以.

20. 解：（1）证明：取的中点，连接，.

则，.

因为面，面，

所以，面，面，

因为，

所以，面面，

因为面，所以面.

（2）取的中点，连接，，

因为为正三角形，，所以且，

在直角梯形中，，，，

所以，且，

又因为，

所以在中，，即，

所以，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

.

因为，即，，

所以，，

所以，.

设为平面的一个法向量，

则，即，取.

又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，

.

21.（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.

又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.

又，所以，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，

将直线代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

所以以为直径的圆为，

整理得：.①

因为，

令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.

22.（1）函数定义域为，

.

令，，则，

因为，所以，，

当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，

由.又当时，，

所以，存在唯一的，使得，

当时，，即，所以函数在上单调递减，

当时，，即，所以函数在上单调递增.

所以函数存在唯一的极值点.

（2）不等式恒成立，

即在上恒成立.

令，，所以，

所以在上单调递增，

又，则时有.

所以，当时，恒成立，

即，则有.

令，则

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则在时取得最小值

则（当且仅当时取等号）.

令，则

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则在时取得最小值

则（当且仅当时取等号）.

因为，

当时，，

（当且仅当时取等号）.

令，

当时，，所以即在上单调递增，

且，，

所以，使，即，即，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

.

所以，的取值范围为.