河南省皖豫2022-2023学年高二数学上学期阶段测试（一）试卷（Word版附解析）

2022-2023学年（上）高二年级阶段性测试（一）

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A. -7 B. -5 C. -2 D. 2

【答案】A

【解析】

【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，

则，即

故选:A.

2. 已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设，

，，

解得：（舍）或，.

故选：A.

3. 已知向量，分别为平面的法向量，则平面与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】，

又平面与平面的夹角的取值范围为，平面与的夹角为.

故选：C.

4. 若直线，，能围成一个三角形，则须满足（    ）

A. 且 B. 且

C. 且 D. 且

【答案】D

【解析】

【详解】由已知可得三条直线两两均不平行，

所以且，即且，

又直线与直线的交点为，

且直线不过恒成立，

故选：D.

5. 若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由直线过点，

则，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以直线方程为，即，

故选：C.

6. 如图所示，在平行六面体中，分别为的中点．若，则向量可用表示为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】

.

故选：B

7. 在三棱锥中，，，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由已知的，

所以，

所以，

故选：C.

8. 已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（    ）

A. 4 B.  C.  D. 8

【答案】B

【解析】

【详解】因为平面，平面，所以，

又为矩形，则，所以建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由，

得，

则，

设平面的法向量为，

则，令，

得，，所以，

又，与平面的线面角的正弦值为，

所以，

解得，则，又，

所以.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在空间直角坐标系中，已知点则与垂直的向量的坐标可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【详解】，

设与垂直，

则有，

即有，

由选项可知：只有BD满足上式.

故选：BD

10. 关于直线，下列说法正确的是（    ）

A. 当值变化时，总过定点

B. 存在，使得与轴平行

C. 存在，使得经过原点

D. 存在，使得原点到的距离为3

【答案】AC

【解析】

【详解】，

A.其方程可变形为，令，得，即直线恒过定点.故选项A正确.

B.时，直线方程变为，此时直线与轴垂直.时，直线方程变为，其斜率，则直线与轴不可能平行. 故选项B不正确.

C.当，即时，直线过原点. 故选项C正确.

D.若原点到的距离 ，则.因为，则方程无解，即原点到的距离.故选项D不正确.

故选：AC

11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，点与点在同一平面内，则点到点的距离可能为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】CD

【解析】

【详解】连接，因为为的中点，则也为的中点.

由题意，，且，故四边形为平行四边形，故，故.

又，，故.

设点到平面的距离为，则，解得.

又点与点在同一平面内，则点到点的距离大于等于.

选项中CD满足.

故选：CD

12. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．

阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（    ）

A. 平面与垂直

B. 平面与所成角余弦值为

C. 直线与平面平行

D. 直线与是异面直线

【答案】AD

【解析】

【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；

对于A，，，则平面与垂直，A正确；

对于B，，

平面与所成角的余弦值为，B错误；

对于C，，，直线平面或直线平面，

直线过点，又满足，直线平面，C错误；

对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，

由得：，此时无解，直线与直线无交点，

直线与直线是异面直线，D正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若直线与直线互相平行，则实数_____．

【答案】

【解析】

【详解】当时，，两直线不平行；

当时，由，得，解得.

故答案为：-2.

14. 已知直线，直线经过点，若以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线的方程为_____．

【答案】

【解析】

【详解】因为以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线与的倾斜角互补，则直线与的的斜率互为相反数，即.所以直线的方程为，即.

故答案为：.

15. 已知四点在平面内，且任意三点都不共线，点为平面外的一点，满足，则_____．

【答案】2

【解析】

【详解】因为四点在平面内，

且点为平面外的一点，

则有，

其中，

而，

所以，解得.

故答案为：2

16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的棱形，，．，，则_____．

【答案】##0.5

【解析】

【详解】如图所示，

取中点，连接，，

，，

又，，

，，

，

又，且，平面，

平面，

又平面，

，

，，

，

设，，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

即，解得，

所以，

故答案为：.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：

（1）经过直线和的交点，且与直线垂直；

（2）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．

【答案】（1）   

（2）或．

【解析】

【小问1详解】

由，解得∴和的交点为．

∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，

∴直线l的方程为，即．

【小问2详解】

当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的方程为；

当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为．

综上可得l的方程为或．

18. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且平面，分别为棱的中点．

（1）用向量表示；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

.

【小问2详解】

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为.

19. 已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．

（1）若与关于直线对称，求和的倾斜角

（2）若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时．求的方程．

【答案】（1），的倾斜角分别为和   

（2）．

【解析】

【小问1详解】

直线的倾斜角为60°．

∵，关于直线对称，且，

∴，与直线的夹角均为，

∴，倾斜角分别为和．

【小问2详解】

∵，，，∴四边形为矩形．

设，，则，

，当且仅当时取等号．

若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到的距离为，

令，得（负值舍去）．

∴当的面积最大时，的方程为．

20. 在中，已知的平分线所在的直线方程为．

（1）求点的坐标；

（2）求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

设关于的平分线的对称点为，则直线为线段的中垂线，

∴解得即，

再由，B直线BC上，可得，

所以直线BC的方程为，即．

由解得可得点C的坐标为，

【小问2详解】

∵，，∴，

∴直线AB方程为，即，

则点C到直线AB的距离为，

而，

∴的面积为．

21. 如图所示，在三棱锥中，平面，点分别在棱上，满足，且．

（1）求实数的值；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【小问1详解】

∵平面ABC，平面，∴，

又∵，，平面，∴平面PCD，平面，∴．

由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．

所以，

因为，所以，，，

所以，∴．

∵，，

∴.

∴．

由，

解得．

【小问2详解】

由（1）及条件可得，，，，．

设平面PDE的法向量为，

则令，得，，所以．

又，

∴，

∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．

22. 如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面平面且，棱与的中点分别为．

（1）证明：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【小问1详解】

由题意得上底面面积为，下底面面积为，

设三棱台的高为h，则，得．

设DF的中点为I，如图，连接GB，GI，由条件可知GB，GC，GI两两互相垂直，

以G为坐标原点，以GB，GC，GI所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由已知可得，，，

∴，，

设平面FGH的法向量为，

则,令，可得．

由，可得，

∴，又平面FGH，∴平面FGH．

【小问2详解】

由（1）知平面FGH，直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d．

∵，∴．

【小问3详解】

设平面BCF的法向量为，

由，，可得，，

∴，令，得．

∴，

∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为．