连云港市赣马高级中学2022-2023学年高二数学上学期第一次检测试卷（Word版附解析）

连云港市赣马高级中学2022-2023学年第一学期第一次检测

高二数学试题

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）

1．过点且与直线平行的直线方程是                           （    ）

A．    B．      C．    D．

2．已知直线与平行，则的值是               （    ）

A．              B．              C．或              D．或

3．直线截圆所得的弦长                      （    ）

A．            B．              C．            D．

4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是                              （    ）

A．相交            B．内含               C．外切              D．内切

5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线与线段AB没有交点，

则a的取值范围是                                                        （    ）

A．       B．    C．       D．

6．双曲线的焦距等于                                              （    ）

A．                 B．             C．                 D．

7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是           （    ）

A．          B．          C．              D．

8．满足条件，的面积的最大值是                      （    ）

A．                 B． C．                 D．

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全对的5分，部分对的2分，有选错的0分．）

9．下列说法中，正确的有                                                          （    ）

A．直线过定点     

B．直线在y轴上的截距为

C．点（1，3）到直线的距离为1          

D．直线x＝－2与x－y＋1＝0的夹角为

10．已知直线和圆：，则             （    ）

A．直线与圆相交

B．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，

C．当时，圆上的点到直线的最远距离为

D．若直线与圆相交于两点，则的中点的轨迹是圆的一部分

11．已知直线，圆，点在直线上运动，

直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是                             （    ）

A．最短时，弦直线方程为         

B．最短时，弦长为

C．的面积最小值为                         

D．四边形的面积最小值为

12．设椭圆左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，

则下列结论正确的是                                                            （    ）

A．以线段为直径的圆与直线相切     B．△面积的最大值为

C．                                 D．离心率

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知直线，则其倾斜角为    ▲    ．

14．设为实数，双曲线焦距为    ▲    ．

15．若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A(2,0)，B(－2，－4)的距离之和最小，则点P的坐标为    ▲    ．

16．如图，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，，则椭圆的标准方程是    ▲    ．

四、解答题（共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分．）

17．（本小题10分）已知的三个顶点分别为，，，

求：（1）AB边中线所在的直线方程；  （2）的外接圆的方程.

18．（本小题12分）

（1）若实数m满足的方程表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）若实数m满足的方程表示双曲线，求实数m的取值范围．

19．（本小题12分）已知直线．

（1）若直线不经过第四象限，求取值范围；

（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），

求的最小值和此时直线的方程．

20．（本小题12分）椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距为2，

过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

（1）求椭圆C的方程；（2）若AB⊥x轴，求△ABF2的面积．

21．（本小题12分）

河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？

（参考数据，精确0.01m. ）

22．（本小题12分）

已知椭圆的离心率为，上顶点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且，求的值．

答案

1．A．解：设所求直线方程为x－2y＋c＝0. 把点(2，2)代入可得2－2×2＋c＝0，所以c＝2，

所求直线的方程为x－2y＋2＝0. 故选A．

2．B．

3．C．解：（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心(1,2)到直线的距离为

d＝＝，则.

（方法2：两点距离公式）由，消去得，

解得或，直线与圆的交点,，则．

（方法3：韦达定理）由，消去得，

由韦达定理得，，，又，

则．故选C．

4．D．解：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4，圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，

半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．故选D．

5．A．解：直线恒过点，且斜率为，因为，，画图可知且，所以. 故选A．

6．C．

7．C．解：由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆，如图，

（1）当直线与半圆相切时，，则，此时直线．

（2）当直线过点时，，此时直线．

当直线夹在与之间（包括）时，直线与曲线C有两个公共点，

b的取值范围是．故选C．

8．D．解：以AB所在的直线为轴，AB中垂线为轴建系，，设，

由得，，化简得，

即C在以为圆心，为半径的圆上运动，．故选D．

9．BC

10．ACD．

11．BC．

12．ACD．

13．．解：直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0,π)，则α＝.

14．8．

15．(－2,3)解：设点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)．则，

解得，故A1(－2,8)．则直线A1B的方程为x＝－2．

当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，PA＋PB最小，

将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2,3)．

16．.【解析】将代入，解得，所以，

由题意得，即，解得，所以椭圆方程为.

17．解：（1）设AB中点为，，，，（1分）

直线CM斜率，               （3分）

由点斜式得AB边中线方程为：.    （5分）

（2）设外接圆的方程为： ，（6分）

把，，代入圆的方程得：

，（7分）              解得，（9分）

所求圆的一般方程为：，（10分）

化为标准方程为：.（10分）（圆的方程写为一般方程或标准方程都正确）

18．解：（1）由题意得，      （3分）

解得，即实数m的取值范围是．（6分）

（2）由题意得，                        （9分）

解得或，即实数m的取值范围是． （12分）

19．解：（1）方程可化为，（2分）

要使直线不经过第四象限，则，（4分）

解得，所以k的取值范围为．（6分）

（2）令得，取得，（8分）

所以，（10分）

当且仅当时，即时取等号，         （11分）

此时，直线的方程为.  （12分）

20．解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，（3分）

由焦距为2，所以c＝1，所以b2＝22－1＝3，（5分）

所以椭圆C的方程为＋＝1．（6分）

(2)设直线AB的方程为x＝－1，

由＋＝1，x＝－1，得y2＝，       （8分）

解得y1＝，y2＝－，               （10分）

所以＝c·|y1－y2|＝3              （12分）

21．解：（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，

过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系．

设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为．（2分）

桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为．

为直角三角形，依题意得，（4分）

解得，，则．

圆的方程为，             （6分）

当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为，

则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上．

当时，．即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82，（8分）

正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则，

即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m．（10分）

又水位暴涨了．所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞．（11分）

答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.38m．（12分）

（方法2）

22．解：（1）由离心率，则，（1分）

又上顶点，知，（2分）

又，可知，，（4分）

∴椭圆的方程为；（5分）

（2）设直线l：，设，，

则，整理得：，（7分）

，即，

∴，，（8分）

∴，（10分）

即，解得：或（舍去）.

∴.（12分）