河南省2023届高三数学（文）上学期12月摸底考试试卷（Word版附解析）

这是一份河南省2023届高三数学（文）上学期12月摸底考试试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．设集合， 则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
4．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数关于直线对称
C．函数关于点中心对称D．
5．如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
7．一个几何体的三视图如图，它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在上有两个零点，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知正四棱锥的侧棱长为，则该正四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
11．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若满足约束条件，则的最大值为__________.
14．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.
15．已知的所有顶点都在球的表面上，，球的体积为，若动点在球的表面上，则点到平面的距离的最大值为__________.
16．如图所示，在长方体中，，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题:
①四棱锥 的体积恒为定值;
②存在点，使得平面;
③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面;
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是_____________ . （填写所有正确答案的序号）
三、解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分）
17．已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.
18．已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；(2)设点是边的中点，若，求的取值范围.
19．如图，在几何体中，平面，，，.
(1)证明：平面平面；(2)若，，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
21．如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，.
(1)证明：平面ABC；(2)求三棱锥N－ABC的体积.
22．已知，函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若曲线与直线有且只有一个公共点，求.
河南省名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试
参考答案
1．C解析：由，得，解得，
所以，由，得，解得，所以，所以，
2．A解析：充分性：∵，，，∴，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，∴.必要性：当，时，成立，但不成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．
3．D解析：解：根据题意，，，
所以，解得．
4．C解析：∵为偶函数，∴，∴，故即，∴函数的图象关于直线对称.∵为奇函数，∴，
∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；
由及知，，
∴，∴，即，
∴，故∴函数的周期为4，A错误，
，故D错误.
5．A解析：如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ,，由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,
又因为是的中点，所以,所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
设，则，
从而，
故,故异面直线与所成角的余弦值是.
6．D解析：过点作平行于，交于点，
因为，则为的中点，所以且，
因为，所以，
由可得：，所以，
因为，
所以，
7．C解析：由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：
可以该几何体为三棱锥，其中平面，，
，所以，为等边三角形，
如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，且，
可将三棱锥置于内，使得的外接圆为圆，
其中圆的直径为，故三棱锥的外接球直径为，所以，该几何体的外接球的表面积为.
8．D解析：
其中,不妨设
因为是的两个零点,所以
即结合的范围知
所以,即所以
9．D
解析：
如图，连结交于点，连结.根据正四棱锥的性质，可知平面.
设底面正方形边长为，高为，则，.
在中，有，即，则.
则.
设，则，令，解得（舍去负值）.又当时，；当时，.
所以，当时，有唯一极大值，也是最大值.
10．B解析：已知
由正弦定理可知：，，
整理得：，两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，故得：，此时且，
，.
11．A解析：由题意得 ,
令 ，，该函数在R上为单调增函数，且 ，
故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
令即直线与的图象有两个不同交点，
又，当时，递增，当时，递减，
则，当时，，
作出其图象如图：
由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，
12．A解析：设 ，当 时，有 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 是减函数， ，
即 ；当 时，设 ，
单调递增， ，即 ，即 ；
13．8解析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，
在中，是直线的纵截距，向上平移该直线，增大，
平移直线，当它过点时，为最大值．
14．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析：方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得:,
解得：
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二：线段的中点坐标为，即，
直线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，
由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心，
联立，
得交点坐标，
又点O到点A的距离，即半径为，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
15．
解析：因为，
所以，即.
设的外接圆的圆心为的外接圆的半径为，球的半径为，则，
因为平面，所以，则.延长与球交于点，当点与点重合时，点到平面的距离取得最大值.
16．①②④解析：对于①， 由，平面，
可得到平面的距离为定值，
所以四棱锥的体积为定值，故①正确;
对于②，，得对角面为正方形，所以，
易知平面，而平面，
所以，若，
，平面，
所以平面，面，
所以， ，平面，
所以有平面，故②正确;
对于③，可作出过的平面与平行，如图所示：
当点与棱的中点重合时，作的中点，连接，
易知，平面，平面，
所以平面，同理平面，
，平面，
所以平面平面，
易知：当点在线段内时，对应的点在棱上，
而当点在线段内时，对应的点在棱上，故③错误.
对于④，由面面平行的性质定理可得四边形为平行四边形，
所以四边形的周长，
将矩形绕棱向内旋转90度，
使矩形和矩形共面，连接交于点，如下图所示：
此时，四边形的周长取得最小值，
故存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值，故④正确.
综上：①②④正确.
故答案为：①②④.
17．解：（1）①，当时，②，
①②得，即，又时，，
∴为首项，公比的等比数列，故，∴
（2） ， ③
④
③④得
∴
18．解：（1）在中，依题意有，由正弦定理得：，而，即，则有，即，而，所以.
（2）在中，由（1）知，，又，点是边的中点，则,
于是得
，显然，当且仅当时取等号，
因此，，即，
所以的取值范围是.
19．解：（1）若分别为的中点，连接，
所以且，又，，
故、，所以为平行四边形，故，
且、，所以为平行四边形，故且，而，因为平面，则平面，平面，
所以，即，，
在中，，
故△为等腰三角形，则，
平面，平面，故，所以，
，面，故面，而面，
所以面面.
（2）由（1）知：面，故直线与平面所成角的平面角为，
所以，因为，，故，即，
所以，且，
又平面，故，则，而，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.
20．（1）解：当时，，
所以，，
所以，故所求切线方程为．
（2）解：因为在上恒成立，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递减，因为，，由零点存在定理知，存在唯一，使，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，从而．
21．解：（1）取CF的中点D，连接DM，DN，
∵M，N分别是AF，CE的中点，∴，，
又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.
又，∴，同理可得， 平面ABC.
∵平面MND，平面MND，，
∴平面平面ABC.∵平面MND，∴平面ABC.
（2）取AB的中点O，连接OC，OE.
由已知得OAEF且OA=EF，∴OAFE是平行四边形，∴OEAF且OE=AF
∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，
又平面ABEF，∴OC⊥OE.设，，
在Rt△COE中，由，解得，即.
由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离
又平面ABC，∴.
22．解：（1）解：当时，，函数的定义域为，
，令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，且．所以当时，，单调递减，当时，，单调递增．
因此，当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）解：依题意，，的定义域为，.
令，，
所以，在上单调递增，，
，
故存在，使得.当时，，则，此时单调递减，当时，，则，此时单调递增，
当时，取极小值，则也是函数唯一的极值点，
由得，即，①
等式①的两边同时取自然对数，则有，则．②
由①②得，
当且仅当时，等号成立．当时函数取最小值，函数的图象过点，函数与有且只有一个交点．由，可得，即，
令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，
所以，，因此，.
所以曲线与直线有且只有一个交点时，．