广东省四校2023届高三数学上学期第一次联考试卷（Word版附答案）

2023届广东省四校高三第一次联考

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，集合，则(    )

A.  B.

C.  D.

2.设，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知向量，为单位向量，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.已知为常数的展开式中所有项的系数和与二项式的系数和相等，则该展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知随机变量，，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大人们称这一命题为米勒定理已知点的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.设函数，则满足的的取值范围是(    )

A.  B. C.         D.

8.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，为的一条渐近线上一点，延长交轴于点，直线经过其中为坐标原点的中点，且，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二．选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，，，则下列结论正确的是(    )

A. 若其经验回归方程为，当解释变量 x 每增加 1个单位，预报变量 一定增加 0.8个单位
B. 若其经验回归方程必过点，则
C. 若根据这组数据得到样本相关系数，则说明样本数据的线性相关程度较强
D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型1的相关指数，回归模型2的相关指数，则模型1的拟合效果更好

10.为了得到函数的图象，可将函数的图象 (   )

A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍      B.向上平移一个单位长度

C.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍       D.向下平移一个单位长度

11.已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则(  )

A.                            B.

C.的面积为                  D.线段的中点到轴的距离为2

12.如图，在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，为所在平面内的动点，则下列说法正确的是(  )

A.的最小值为

B.若则平面截正方体所得的面积为

C.若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分

D.若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是

三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 已知函数则函数的零点个数为___个

14.的内角的对边分别为，已知，，则的值为_________

15. 是公差为2的等差数列的前项和，若数列也是等差数列，则______.

16. 在中，已知，

则的内接正边长的最小值为_______.

四．解答题: 本题共6小题，共 70 分．

17.（10分）

已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.

18.（12分）

在中，内角所对的边分别为，D为边上一点，若 .

（1）证明：平分；

（2）若为锐角三角形，，，求AD的长.

19.（12分）

每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图．

（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关?

（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为，求的分布列及数学期望;

（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为，求的方差．

参考公式：，其中．

20.（12分）

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，∠，，，，侧面为等边三角形.

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21.（12分）

已知椭圆的左右顶点为，直线.已知为坐标原点，圆过点交直线于两点，直线分别交椭圆于.

（1）记直线的斜率分别为，求的值;

（2）证明直线过定点，并求该定点坐标.

22.（12分）

已知．

（1）求的单调区间;

（2）当时（为自然对数的底数），若对于，不等式                    恒成立，求实数的取值范围.

2023 届广东省四校高三第一次联考

数学试题参考答案

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

9. BC       10. BC       11. AC          12. BD

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13.   1     14.      15.      16.

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分

17.(10分）

（1）当时，即     ---------------------------------------1分

当，   ------------------------------3分

显然不符合上式，所以数列的通项公式为   ---------------------5分

（2）因为在与之间插入个1，所以在中对应的项数为

当时，，当时，

所以，且，  --------------------------------------- 8分

                         ---------------------------------------10分

18.（12分）

解：（1）在三角形中，由正弦定理得，

在三角形中，由正弦定理得，    ---------------------------------------2分

因为与互补，所以，

由题意得，所以，即，

所以平分.   得证；                             ---------------------------------5分

（2）中，由余弦定理 得：

解得或                                ---------------------------------------7分

若,则有：,则B为钝角，不合题意，舍去；  ----------------------------------8分

若 ,则有：,则B为锐角，合题意，所以

由（1）知： ,所以     ---------------------------------------10分

在中，由余弦定理得：

    解得：            

所以                            ---------------------------------------12分

19.（12分）

解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，

则“睡眠不足”的人数为25；

不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,

则“睡眠不足”的人数为45；

列联表如下：

  -----------------------------------------------------------------------------2分

零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关

因为  ---------------------------------------4分

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.  ---------------------------------------5分

（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人-----------------------------------6分

从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2.

，，；

所以分布列为

  ---------------------------------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）

数学期望  --------------------------------------10分

（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为，

 由题意知：             --------------------------------------11分

=        ---------------------------------------12分

20.（12分）

解：（1）取中点，连接，连接.

为等边三角形，，    ----------------------------1分

，
   
又 ，，
又 ，

为等边三角形，

，且

                     ---------------------------------------3分

中

，AE，     

又面，面，且

面，               ---------------------------------------4分
又面，

面面.             ---------------------------------------5分
（2）由（1），以点为坐标原点，建系如图，则，，，，，，

则      --------------------------------------------------6分
假设存在点，使得二面角的大小为，则设

，， --------------------------7分

则，

显然面的一个法向量为，--------------------------------8分

又，，

设面的一个法向量为，则 ，

即

解得 ，--------------------------------------------10分

由题，，

解得 或者（舍）           --------------------------------------------------11分

则 .                           -----------------------------------------------12分

21. (12分）

(1)由已知可得为圆的直径，则

记，则

  ---------------4分

(2) ----------5分

由已知直线存在斜率，记其方程为

代入有

记，则当时有-------------7分

，代入（1）式化简有

当过定点

当时，，过定点，舍去-------------------------11分

综上有，直线过定点-------------------------------------------------------------12分

22. （12分)

解：

(1)当在R上单调递增                --------------------------1分

当时，由，

当 时，，在上单调递减

当 时，，在上单调递增      -----------------------------3分

综上有：当在R上单调递增；

  当时，在上单调递减，在上单调递增.----4分

（2）由已知,

因为对于，

所以

设,则,----------------------7分

,

记,

当在)上单调递增;恒成立.---------9分

当),

在)上单调递减，则与矛盾；---------------11分

综上，当)恒成立，即恒成立.

------------------------------------------12分