2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1. 在下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. 2x+y=2xxy D.
3. 下面几何体的俯视图是 （ ）

A. A B. B C. C D. D
4. 已知一个正多边形的内角是，则这个正多边形的边数是（　　　）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 一组数据-1，0，3，5，x的极差是8，那么x的值可能有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个
6. 若A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=ax+x-2图像上的没有同的两点，记，则当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A. a＜0 B. a＞0 C. a＜-1 D. a＞-1
7. 某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人搬两把椅子，两人搬一张桌子，每人限搬，至多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ）
A. 80 B. 100 C. 120 D. 200
8. 如图，矩形ABCD的顶点A和对称均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（ ）

A. 12 B. 4 C. 3 D. 6
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
9 ＝___________．
10. 已知∠A＝60°，则cosA＝_____．
11. 二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
12. 从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________．
13. 如下图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠1＝20°，则∠2等于_________．

14. 如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．

15. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为_____．
16. 如果关于x的没有等式组的整数解仅有1和2，那么a、的取值范围分别是________．
17. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点E、F分别在AB和AC上，设AE＝x，AF＝y，若线段EF平分△ABC的面积，则用x的代数式表示y＝________．
18. 如右上图，在正方形ABCD中AB=3，，以B为圆心，半径为1画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针方向旋转 90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长的取值范围是______．

三、解 答 题（共10题，共84分）
19. 先化简，再求值：（2m-1）2-（4m+1）（m-2），其中m=-．
20. 解方程和没有等式组：
⑴；
⑵
21. 国民体质监测等机构开展了青少年形体测评.专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况.我们对专家的测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上没有良姿势，我们以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：
(1)请将两幅统计图补充完整；
(2)在这次形体测评中，一共抽查了_____名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有___人；
(3)根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法.


22. 某医院准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士支援救灾．
⑴ 若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；
⑵ 求恰好选中甲和护士A的概率．
23. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD，E为∠BCD平分线上的点，连接BE、DE, 延长BE交CD于点F．
⑴ 求证：△BCE≌△DCE；
⑵ 若DE∥AB，求证：FD＝FC．

24. 某市地铁二号线某工段需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方700m3，现决定向一大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：

租金(单位：元/台·时)
土石方量(单位：m3/台·时)
甲型挖掘机
90
50
乙型挖掘机
100
60
⑴ 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共13台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
⑵ 如果每小时支付租金没有超过1200元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种没有同的租用?
25. 已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝. M为线段AB的中点， 作DM⊥AB交AC于D. 点Q在线段AC上，点P在线段BC上，以PQ为直径的圆始终过点M， 且PQ交线段DM于点E.
⑴ 试说明△AMQ∽△PME；
⑵ 当△PME是等腰三角形时，求出线段AQ的长.

26. ⑴ 阅读理解
问题1：已知a、b、c、d为正数，，ac=bd，试说明a=d，b=c.
我们通过构造几何模型解决代数问题. 注意到条件，如果把a、b、c、d分别看作为两个直角三角形直角边，那么可构造图1所示的几何模型.

∵ac=bd,
∴AB·CD=BC·AD
∴
请你按照以上思路继续完成说明
⑵ 深入探究
问题2：若a＞0，b＞0，试比较和的大小.
为此我们构造图2所示的几何模型，其中AB为直径, O为圆心，点C在半圆上，CD⊥AB 于D，AD＝a，BD＝b.
请你利用图2所示的几何模型解决提出的问题2．

⑶ 拓展运用
对于函数y=x+，求当x＞0时，求y的取值范围．
27. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，连接PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．
⑴ 若tan∠PBC=4，求AP的长；
⑵ 是否存在点P，使得点Q恰好是边CD的中点？若存在，求出AP的长；若没有存在，请说明理由．⑶ 连接BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．

28. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）. 二次函数的图像A、B、C三点．点P沿AC由点A处向点C运动，同时，点Q沿BO由点B处向点O运动，运动速度均为每秒1个单位长度.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与二次函数的图像交于点D，连接PD，PD与BC交于点E． 设点P的运动时间为t秒（t＞0）.
⑴ 求二次函数的表达式； 
⑵ 在点P、Q运动的过程中，当∠PQA＋∠PDQ＝90°时，求t的值； 
⑶ 连接PB、BD、CD，试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形？若存在，请求出此时t的值与点E的坐标；若没有存在，请说明理由.













2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1. 在下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：根据无理数为无限没有循环小数逐一分析即可作答.
详解：在0 、 、 和 中无理数有，故选D.
点睛：本题考查了无理数，无理数是无限没有循环小数，注意带根号的数没有一定是无理数.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. 2x+y=2xxy D.
【正确答案】B

【详解】分析：根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐一分析即可.
详解：A.,本项错误;B.,本项正确;C. 2x与y没有说同类项，没有能合并;D.,故选B.
点睛：本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
3. 下面几何体的俯视图是 （ ）

A. A B. B C. C D. D
【正确答案】A

【详解】分析：找到从上面看所得到的图形即可,注意所有看得到的棱都应表现在俯视图中.详解：从上面看,这个几何体只有一层,且有3个小正方形,故选A.
点睛：本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
4. 已知一个正多边形内角是，则这个正多边形的边数是（　　　）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】D

【分析】可先计算这个正多边形的外角，再根据多边形的外角和求解即可．
【详解】解：∵这个正多边形的内角是，
∴这个正多边形的每一个外角是180°－140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9．
故选：D．
本题考查了正多边形的有关计算，属于基础题目，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键．
5. 一组数据-1，0，3，5，x的极差是8，那么x的值可能有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个
【正确答案】B

【详解】分析：根据极差的定义求解．分两种情况：x为值或最小值．
详解：因为在-1，0，3，5中，最小为-1，为5，它们的差为6，
而全组数据的极差为7，
若最小数据是-1，数据为x，
则有x-(-1)=7，
解得x=6.
若数据为5，最小数据为x，
则有5-x=7，
解得x=-2.
故选B.
点睛：本题考查了一组数据的极差的概念：数据中数据与最小数据的差叫做极差.做题时一定要细心，没有要遗漏x=-2的情况.
6. 若A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=ax+x-2图像上的没有同的两点，记，则当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A. a＜0 B. a＞0 C. a＜-1 D. a＞-1
【正确答案】C

【详解】∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数图象上的没有同的两点，，
∴该函数图象是y随x的增大而减小，
∴a+1<0，
解得a<-1，
故选C.
此题考查了函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.
7. 某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人搬两把椅子，两人搬一张桌子，每人限搬，至多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ）
A. 80 B. 100 C. 120 D. 200
【正确答案】C

【详解】分析：设可搬桌椅x套，即桌子x张、椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据总人数列没有等式求解可得．
详解：设可搬桌椅x套,即桌子x张、椅子x把,则搬桌子需2x人,搬椅子需人，
根据题意,得：2x+⩽300，
解得：x⩽120，
∴至多可搬桌椅120套，
故选C.
点睛：本题主要考查一元没有等式的应用能力，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键.
8. 如图，矩形ABCD的顶点A和对称均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（ ）

A. 12 B. 4 C. 3 D. 6
【正确答案】D

【详解】分析：设点A的坐标为(m,)，则根据矩形的面积与性质得出矩形的纵坐标为，求出的横坐标为m+，根据在反比例函数y＝上，可得出结果.
详解：设点A的坐标为(m,)，
∵矩形ABCD的面积为12，
∴ ，
∴矩形ABCD的对称的坐标为(m+,)，
∵对称在反比例函数上，
∴(m+)×=k，
解方程得k=6，故选D.
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy位定值是解答本题的关键.
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
9. ＝___________．
【正确答案】6

【详解】分析：先把二次根式化简，再利用零指数幂计算即可.
详解：=5+1=6.故答案为;6.
点睛：本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式化简和零指数幂的定义是解答本题的关键.
10. 已知∠A＝60°，则cosA＝_____．
【正确答案】

【详解】分析：根据cos60°=,即可求解.
详解：∵∠A=60°, ∴cosA=,故答案为.
点睛：本题考查了角的三角函数值，属于基础题，熟记角的三角函数值是解题的关键.
11. 二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
【正确答案】（0，-2）

【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点是形式，即可的得出顶点坐标．
【详解】y=-x2-2=-(x+0)2-2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为(0，－2)．
故答案为(0，－2)
本题考查了二次函数的性质，把二次函数配方成顶点式是解题的关键.
12. 从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________．
【正确答案】

【详解】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.
详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个没有同的数，共有5种没有同方法，其中3被抽中的概率为.故答案为.
点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
13. 如下图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠1＝20°，则∠2等于_________．

【正确答案】40°

【详解】分析：过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．
详解：过点A作AD∥l1，如图，

则∠BAD=∠1．
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∵∠DAC=∠1=20°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠2=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣20°=40°．
故答案为40°．
点睛：本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．
14. 如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．

【正确答案】4

【详解】分析：连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由勾股定理即可得出AD的长.
详解：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，∵AC=4∴AD=4 故答案为4.
点睛：本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为_____．
【正确答案】5

【详解】试题解析：∵半径为10的半圆的弧长为：×2π×10=10π
∴围成的圆锥的底面圆的周长为10π
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=10π
解得r=5
16. 如果关于x的没有等式组的整数解仅有1和2，那么a、的取值范围分别是________．
【正确答案】0＜a≤3，4≤b＜6

【分析】先求出没有等式组的解集，再由整数解可得a、b的取值范围.
【详解】解：，由①得：x≥，
由②得：x≤，
没有等式组的解集为：≤x≤，
∵整数解仅有1，2，

∴0＜≤1，2≤＜3，
解得：0＜a≤3，4≤b＜6.
故答案0＜a≤3，4≤b＜6.
本题主要考查了没有等式组的整数解，根据没有等式组整数解的值确定a,b的取值范围是解决问题的关键.
17. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点E、F分别在AB和AC上，设AE＝x，AF＝y，若线段EF平分△ABC的面积，则用x的代数式表示y＝________．
【正确答案】y=

【详解】分析：先利用勾股定理求出BC的长，求出△ABC的面积，正确作出辅助线，利用△AED∽△ABC，求出DE,再利用△AEF的面积为△ABC面积的一半求解即可.
详解：过点E作ED⊥AC,

∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC=3,∴ , ∵∠C＝90°, ED⊥AC, ∴△AED∽△ABC, ∴ ,即 ，∴DE=，∵EF平分△ABC的面积，∴，∴y=.故答案为y=.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式，利用相似得出DE的长是解答本题的关键.
18. 如右上图，在正方形ABCD中AB=3，，以B为圆心，半径为1画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针方向旋转 90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长的取值范围是______．

【正确答案】3-1≤BP′≤3+1

【详解】分析：通过画图发现,点P'的运动路线为以D为圆心,以1为半径的圆,可知:当P'在对角线BD上时,最小,先证明△PAB≌△P′AD,则P′D=PB=1,再利用勾股定理求对角线BD的长,则得出的长,而最长距离则是最短距离加上圆的直径即可.
详解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，

由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴∠PAB+∠BAP′=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAP′+∠DAP′=90°，
∴∠PAB=∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD，
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=，
∴BP′=BD-P′D=3-1，BE=3-1+2=3+1,
即BP′长度的最小值为（3-1）cm,最长距离为：3+1.
故答案为3-1≤BP′≤3+1．
点睛：本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值和值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值和值．
三、解 答 题（共10题，共84分）
19. 先化简，再求值：（2m-1）2-（4m+1）（m-2），其中m=-．
【正确答案】2

【详解】分析：利用完全平方公式把原式化简，然后把m的值代入计算即可.
详解：原式＝
＝
将代入得原式＝
＝2
点睛：本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式是解答本题的关键.
20. 解方程和没有等式组：
⑴；
⑵
【正确答案】（1）x=3（2）x＜-

【详解】分析：分析：（1）观察可得最简公分母是（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．（2）解得①②的解再求公共部分即可．
详解：⑴ 解：去分母：两边乘以得

检验：将代入
∴原分式方程的解为
⑵解没有等式组：
解： 解没有等式①得：
解没有等式②得：
∴ 原没有等式组的解集为．
点睛：本题考查了解没有等式组和分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
21. 国民体质监测等机构开展了青少年形体测评.专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况.我们对专家的测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上没有良姿势，我们以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：
(1)请将两幅统计图补充完整；
(2)在这次形体测评中，一共抽查了_____名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有___人；
(3)根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法.


【正确答案】(1)见解析；（2）500，12000；（3）答案没有，如中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿、站姿、走姿中的没有良习惯，促进身心健康发育.

【分析】（1）扇形统计图中缺少的是第三项：三姿良好，所占的百分比是1减去其它各项的百分比；条形统计图中：求得三姿良好的人数即可表示；
（2）根据坐姿没有良的是100人，占20%，即可求得抽查的人数；利用10万乘以三姿良好的比例即可求解；
（3）根据统计表说明即可，答案没有．
【详解】解：（1）扇形统计图中缺少的是第三项：三姿良好，
其所占的百分比为：-20%-31%-37%=12%，
被的总人数为：人.
所以三姿良好的人数为：500×12%=60（人），
如图所示：

（2）由（1）知一共抽查了500人，
全市10万名初中生中，三姿良好的学生约有100000×12%=12000（人），
故500，12000；
（3）答案没有，如中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿、站姿、走姿中的没有良习惯，促进身心健康发育．

22. 某医院准备从甲、乙、丙三位和A、B两名护士中选取一位和一名护士支援救灾．
⑴ 若随机选一位和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；
⑵ 求恰好选中甲和护士A概率．
【正确答案】（1）6种（2）

【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出甲与护士A的情况数，即可求出所求的概率
【详解】用列表法表示所有可能结果如下：
护士

A
B
甲
（甲，A）
（甲，B）
乙
（乙，A）
（乙，B）
丙
（丙，A）
（丙，B）
（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中和护士A的有1种，概率为：
考点：列表法与树状图法
点评：此题考查了树状图与列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
23. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD，E为∠BCD平分线上的点，连接BE、DE, 延长BE交CD于点F．
⑴ 求证：△BCE≌△DCE；
⑵ 若DE∥AB，求证：FD＝FC．

【正确答案】证明见解析

【详解】分析：(1)由角平分线的性质可得∠BCE=∠DCE，再由BC=CD,CE=CE ，可得出结果;(2) 延长DE交BC于G,由AD∥BC, DE∥AB推出四边形ABGD是平行四边形，再利用ASA证明△DFE≌△BGE，从而得证.
详解：⑴ ∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE
又BC=CD,CE=CE,
∴△BCE≌△DCE
⑵ 延长DE交BC于G

∵AD∥BC, DE∥AB,
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴BG=AD=
可证得△DFE≌△BGE
∴FD=BG= ∴FD=FC.
点睛：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是能正确添加辅助线，属于中考常考题型.
24. 某市地铁二号线某工段需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方700m3，现决定向一大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：

租金(单位：元/台·时)
土石方量(单位：m3/台·时)
甲型挖掘机
90
50
乙型挖掘机
100
60
⑴ 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共13台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
⑵ 如果每小时支付的租金没有超过1200元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种没有同的租用?
【正确答案】⑴甲、乙两种型号的挖掘机分别需8台、5台⑵租用2辆甲型挖掘机和10辆乙型挖据机

【详解】分析：(1) 设甲、乙两种型号的挖掘机分别需要x台、y台,根据甲、乙两种型号的挖掘机共13台，每小时挖掘土石方700m3 ，列出方程组求解即可;(2) 设租用a辆甲型挖掘机，b辆乙型挖掘机,根据题意列出二元方程，求出其正整数解，然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用.
详解：⑴设甲、乙两种型号的挖掘机分别需要x台、y台.
根据题意，得 ,　
解得 　,　
答：甲、乙两种型号的挖掘机分别需8台、5台.
⑵设租用a辆甲型挖掘机，b辆乙型挖掘机.
依题意，得50a+60b=700,所以
所以或
当a=8，b=5时，支付租金：90×8+100×5=1220元>1200元，超出限额；
当a=2，b=10时，支付租金：90×2+100×10=1180元<1200元，符合题意.
故只有一种租车，即租用2辆甲型挖掘机和10辆乙型挖据机.
点睛：本题考查了一元没有等式和二元方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或没有等式）进行求解.
25. 已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝. M为线段AB的中点， 作DM⊥AB交AC于D. 点Q在线段AC上，点P在线段BC上，以PQ为直径的圆始终过点M， 且PQ交线段DM于点E.
⑴ 试说明△AMQ∽△PME；
⑵ 当△PME是等腰三角形时，求出线段AQ的长.

【正确答案】（1）证明见解析（2）5或

【详解】分析：(1) 连接MC ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到MC=MA=AB，由同弧所对的圆周角相等推出∠A=∠EPM ,再利用同角的余角相等，即可求解; (2)分三种情况讨论：当AM=AQ时; 当QA=QM时； 当MQ=AM时.
详解：⑴ 连接MC,
∵∠C=90°,M是AB中点， ∴MC=MA=,
∴∠A=∠MCA,

∵∠MCA=∠EPM， ∴∠A=∠EPM.
∵PQ为直径 ,
∴∠PMQ=90°.
∴∠PME+∠QME =90°.
∵DM⊥AB,
∴∠AMD=90°.∴∠AMQ +∠QME =90°.
∴∠AMQ=∠PME，
∴△AMQ∽△PME
⑵AB=10，M为线段AB的中点，∴AM=5，AD===
当△AMQ等腰三角形时，△MPE也是等腰三角形.
当AM=AQ时，AQ=5;
当QA=QM时，AQ=；
由题意MQ≠.
综上所述,当△MPE是等腰三角形时，线段AQ长为或.
点睛：本题考查了直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，圆周角定理的推论及等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键.
26. ⑴ 阅读理解
问题1：已知a、b、c、d为正数，，ac=bd，试说明a=d，b=c.
我们通过构造几何模型解决代数问题. 注意到条件，如果把a、b、c、d分别看作为两个直角三角形的直角边，那么可构造图1所示的几何模型.

∵ac=bd,
∴AB·CD=BC·AD
∴
请你按照以上思路继续完成说明.
⑵ 深入探究
问题2：若a＞0，b＞0，试比较和的大小.
为此我们构造图2所示的几何模型，其中AB为直径, O为圆心，点C在半圆上，CD⊥AB 于D，AD＝a，BD＝b.
请你利用图2所示的几何模型解决提出的问题2．

⑶ 拓展运用
对于函数y=x+，求当x＞0时，求y的取值范围．
【正确答案】（1）a=d，b=c（2） （3）y≥6

【详解】分析：(1)根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似的判定定理可得△ADC∽△ABC ，再利用△ADC≌△ABC 可得出结论;(2)分两种情况：当O和D没有重合时得出>；当点O和D重合时=即可得出结论;(3)由(2)的结论>,可得，从而得出结果.
详解：⑴又∵∠B=∠D =90°
∴△ADC∽△ABC
∠DAC=∠BAC,
又AC=AC, ∴△ADC≌△ABC ∴AB=AD,BC=DC,
即：a=d， b=c.
⑵连接AC、BC，则由△ADC∽△CDB得
即
过点O作交半圆于点E,连接OE，则半径，
∵OE ≥ CD， ∴
⑶∵，∴
∴ ∴
点睛：本题考查了四边形的综合题，主要考查了勾股定理的应用，利用前面结论类比应用解决问题，本题属于中档题，难度没有大.
27. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，连接PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．
⑴ 若tan∠PBC=4，求AP的长；
⑵ 是否存在点P，使得点Q恰好是边CD的中点？若存在，求出AP的长；若没有存在，请说明理由．⑶ 连接BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】⑴ ⑵存AP=⑶ 存在，∠PBQ=45°

【详解】分析：(1)根据∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°得出∠APB=∠PBC ，再由tan∠PBC=tan∠APB=4= ；(2) 延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x,由 ∠PBC=∠BPQ ，可得EB=EP ，再由△PDQ≌△ECQ 得到QP= ，在Rt△PDQ中根据勾股定理可得出结论;(3) 作BH⊥PQ于点,易证，△PAB≌△PHB，可得∠PBH=∠ABH，再由 Rt△BHQ≌Rt△BCQ，可得∠HBQ=∠HBC，进而得出结论即可.
详解：(1)∵∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°, ∴∠APB=∠PBC=90°,在RT△ABP中，tan∠PBC=tan∠APB=4=;

⑵如图1，存在
延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x．
∵∠PBC=∠BPQ，
∴EB=EP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DPQ=∠E，.
在△PDQ和△ECQ中，，
∴△PDQ≌△ECQ（AAS）.
∴PD=CE，PQ=QE． ∴BE=EP=， ∴QP=．
在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2=PQ2，
∴，解得
∴AP=AD﹣PD=.
⑶存在，∠PBQ=45°．作于点．
易证，△PAB≌△PHB，
∴∠ABP=∠HBP， ∴∠PBH=∠ABH．
易证，Rt△BHQ≌Rt△BCQ，
∴∠HBQ=∠CBQ， ∴∠HBQ=∠HBC，
∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=（∠ABH+∠HBC）=∠ABC=45°．
点睛：本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线构造全等三角形.
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）. 二次函数的图像A、B、C三点．点P沿AC由点A处向点C运动，同时，点Q沿BO由点B处向点O运动，运动速度均为每秒1个单位长度.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与二次函数的图像交于点D，连接PD，PD与BC交于点E． 设点P的运动时间为t秒（t＞0）.
⑴ 求二次函数的表达式； 
⑵ 在点P、Q运动的过程中，当∠PQA＋∠PDQ＝90°时，求t的值； 
⑶ 连接PB、BD、CD，试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形？若存在，请求出此时t的值与点E的坐标；若没有存在，请说明理由.

【正确答案】⑴ ⑵当∠PQA = 90°-∠PDQ时，t的值为 ⑶ 没有存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形

【详解】分析：(1)把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三点代入y=ax²+bx+c即可求解;(2)求出直线AC的解析式，利用二次函数的解析式分别设出点P、D的坐标，作PH⊥DQ,可得DQ=2HQ,利用即可求出t的值;(3)由直线PD与BC相交于E,用含t的代数式设出点E的坐标，点E又在直线BC: y=-x+4上,得到关于t的一元二次方程，再利用根的判别式小于0，判断出方程无解即可.
详解⑴设y=ax²+bx+c，把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三点代入得
，解得
∴
⑵，
作,
∵ ∴
∴=
解得（舍去），,
∴当∠PQA = 90°-∠PDQ时，的值为
⑶没有存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形.
理由：若四边形PBDC是平行四边形, 则BC平分线段PD，

∵点E又在直线BC: 上，
∴
整理得
此方程根的判别式，
∴方程无实数根.
即没有存在某一时刻，四边形PBDC是平行四边形.
点睛：本题考查了待定系数法求解析式，方程的解法与一元二次方程根的判别式，解本题的关键是综合运用二次函数与函数的相关知识解决问题，本题综合性较强.































2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. －5的相反数是（ ）
A. B. ±5 C. 5 D. －
2. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2
3. 化简结果是(    )
A. x+1 B. C. x-1 D.
4. 左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是

A. B. C. D.
5. 如图，直线a∥b，直线与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）

A. 115° B. 65° C. 35° D. 25°
6. 小红随机了50名九年级同学某次知识问卷的得分情况，结果如下表：
问卷得分（单位：分）
65
70
75
80
85
人数（单位：人）
1
15
15
16
3
则这50名同学问卷得分的众数和中位数分别是 （ ）
A. 16，75 B. 80，75 C. 75，80 D. 16，15
7. 若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A. 6 B. －6 C. 12 D. －12
8. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)没有改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)没有改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说确的是：

A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
9. 完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A. 6（m﹣n） B. 3（m+n） C. 4n D. 4m
10. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（ ）

A. ＋3 B. 2－2 C. 2－ D. 2＋3
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
11. 分解因式：x2﹣4=__．
12. 某公司开发一个新的项目，总投入约11500000000元，11500000000用科学记数法表示为_______________.
13. 请写一个随机：___________________________.
14. 若x+y＝1，x﹣y＝5，则xy＝_____．
15. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
16. 已知扇形的圆心角为90º，半径为6cm，则用该扇形围成的圆锥的侧面积为_________cm.
17. 如图，△ABC中，点D是AC中点，点E在BC上且EC＝3BE，BD、AE交于点F，如果△BEF 的面积为2，则△ABC的面积为 _________．

18. 面积为40△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＞90°，半径为1.5的⊙O与AC、BC都相切，则OC的长为_________.

三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. (1) 计算：20180－tan30°＋（﹣）－1 ； （2）化简： （x－y）2－x (x－y)
20. （1）解方程：； （2）解没有等式组.
21. 已知，如图，等边△ABC中，点DBC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC.求证：AD＝BE．

22. 学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且没有能没有选．将得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均没有完整）．

（1）问：在这次中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．
23. 小明在上学路上要多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互的．
（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是　 　．
24. 如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若DC＝2，EF＝，点P是⊙O上没有与E、C重合的任意一点，则∠EPC的度数为 （直接写出答案）．

25. 如图，已知点D、E分别在△ACD的边AB和AC上，已知DE∥BC，DE＝DB．
（1）请用直尺和圆规在图中画出点D和点E（保留作图痕迹，没有要求写作法），并证明所作的线段DE是符合题目要求的；
（2）若AB＝7，BC＝3，请求出DE的长．

26. 已知二次函数＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：交于点C，点A是该二次函数图像与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC∶CO＝1∶2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2．
(1) 求抛物线的函数关系式；
(2) 若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标.

27. 某品牌T恤专营批发店的T恤衫在进价基础上加价m%，每月额9万元，该店每月固定支出1.7万元，进货时还需付进价5%的其它费用.
（1）为保证每月有1万元的利润，m的最小值是多少？（月利润＝总额－总进价－固定支出－其它费用）
（2）经市场调研发现，售价每降低1%，量将提高6%，该店决定自下月起降价以促进，已知每件T恤原价为60元，问：在m取（1）中的最小值且所进T恤当月能够全部完的情况下，价调整为多少时能获得利润，利润是多少？
28. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别边AB、CD上，直线MN交矩形对角线 AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
(2) 如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
(3) 请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.




2022-2023学年湖南省郴州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. －5的相反数是（ ）
A. B. ±5 C. 5 D. －
【正确答案】C

【详解】解：﹣5的相反数是5．故选C．
2. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2
【正确答案】C

【详解】解：由题意得：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故选C．
3. 化简的结果是(    )
A. x+1 B. C. x-1 D.
【正确答案】A

【分析】根据同分母分式相减，分母没有变，将分子相减，再将分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可化简.
【详解】解：原式=.
故答案为A
此题考查分式的加减法，解题关键在于掌握运算法则.
4. 左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是

A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上面看易得一共分为上下两行，下面一行最左边有1个正方形，上面一行有3个正方形．
故选A．
5. 如图，直线a∥b，直线与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）

A. 115° B. 65° C. 35° D. 25°
【正确答案】D

【详解】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠ABC+∠2=180°．又∵BC⊥AB，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°．故选D．
6. 小红随机了50名九年级同学某次知识问卷的得分情况，结果如下表：
问卷得分（单位：分）
65
70
75
80
85
人数（单位：人）
1
15
15
16
3
则这50名同学问卷得分的众数和中位数分别是 （ ）
A. 16，75 B. 80，75 C. 75，80 D. 16，15
【正确答案】B

【详解】解：∵总人数为50人，∴中位数为第25和26人的得分的平均值，∴中位数为（75+75）÷2=75．∵得分为80分的人数为16人，至多，∴众数为80．故选B．
7. 若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A. 6 B. －6 C. 12 D. －12
【正确答案】A

【分析】反比例函数的解析式为，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12
即
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故选A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反函数的性质是解题的关键．
8. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)没有改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)没有改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说确的是：

A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
【正确答案】C

【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.
【详解】∵建议（Ⅰ）是没有改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，
∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是没有改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格没有变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选C．
此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．
9. 完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A. 6（m﹣n） B. 3（m+n） C. 4n D. 4m
【正确答案】D

【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有，
阴影部分的周长：




．
故选D．
10. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（ ）

A. ＋3 B. 2－2 C. 2－ D. 2＋3
【正确答案】B

【详解】解：过E作EM⊥DC于M．∵EM=AB， EG =BF，∴△EMG≌△BAF，∴∠MEG=∠ABF．∵∠MEG+∠GEB=90°，∴∠ABF+∠BEG=90°，∴∠EIB=90°．以BE为直径作半⊙O，连结OD，则OD≤OI+（两边之和大于第三边），当O、I、D三点共线时取等号．∵OI=2，OD==．∴DI≥OD－OI=．故选B．

点睛：本题是四边形综合题．解题的关键是找到I的运动路径．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
11. 分解因式：x2﹣4=__．
【正确答案】(x+2)(x-2)##(x-2)(x+2)

【详解】解：由平方差公式ɑ2-b2=（ɑ+b)(ɑ-b)可得

x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故答案是：（x+2）（x﹣2）．

12. 某公司开发一个新的项目，总投入约11500000000元，11500000000用科学记数法表示为_______________.
【正确答案】1.15×1010

【详解】解：将11500000000用科学记数法表示为：1.15×1010．故答案为1.15×1010．
13. 请写一个随机：___________________________.
【正确答案】随机掷一枚均匀的硬币，正面向上（答案没有）

【详解】解：答案没有，如：随机掷一枚均匀的硬币，正面向上．
故随机掷一枚均匀的硬币，正面向上（答案没有）．
14. 若x+y＝1，x﹣y＝5，则xy＝_____．
【正确答案】－6；

【详解】解：=－24，∴xy=－6．故答案为－6．
15. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
【正确答案】8；

【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
16. 已知扇形的圆心角为90º，半径为6cm，则用该扇形围成的圆锥的侧面积为_________cm.
【正确答案】；

【详解】解：圆锥的侧面积=扇形的面积==9π．故答案为9π．
17. 如图，△ABC中，点D是AC中点，点E在BC上且EC＝3BE，BD、AE交于点F，如果△BEF 的面积为2，则△ABC的面积为 _________．

【正确答案】40；

【详解】解：过D作DG∥AE交BC于G．∵D是AC的中点，∴G是EC的中点，∴EG=GC．∵EC=3BE，∴设BE=2x，则EG=GC=3x．∵EF∥GD，∴△BEF∽△BGD，∴ ．∵S△BEF=2，∴S△BGD=12.5．∵BG：GC=(2x+3x)：3x=5：3，∴S△BGD：S△DGC=5：3，∴S△DGC=7.5，∴S△BCD= S△ABD=12.5+7.5=20，∴S△ABC=20+20=40．故答案为40．

18. 面积为40的△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＞90°，半径为1.5的⊙O与AC、BC都相切，则OC的长为_________.

【正确答案】

【详解】解：过B作BD⊥AC于D，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F．∵⊙O与AC相切，∴F 为切点，OF=半径=1.5．∵S△ABC=AC•BD=40，AC=BC=10，∴BD=8，∴CD=6，∴AB=．∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠A=90°．∵OF ⊥AC，∴∠ACE+∠FOC=90°，∴∠FOC=∠A．∵∠OFC=∠D=90°，∴△COF∽△BAD，∴OF：OC=AD：AB，∴1.5：OC=16：，∴OC=．故答案为．

点睛：本题是相似三角形综合题．所作辅助线较多，难度较大，注意角之间的转换．
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. (1) 计算：20180－tan30°＋（﹣）－1 ； （2）化简： （x－y）2－x (x－y)
【正确答案】（1）－2－；（2）y2－xy

【详解】试题分析：（1）根据零指数幂的意义，角的三角函数值，负整数指数幂的意义解答即可；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项即可．
试题解析：解：（1）原式=；
（2）原式==．
点睛：本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，比较简单．
20. （1）解方程：； （2）解没有等式组.
【正确答案】（1），；（2）1＜x≤3.

【详解】分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）分别解两个没有等式，然后确定没有等式组的解集即可．
试题解析：解：（1）（3x+4）（x-1）=0，解得：；
（2），解①得：x≤3，解②得：x＞1，∴原没有等式组的解集为：1＜x≤3．
21. 已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC.求证：AD＝BE．

【正确答案】证明见解析.

【详解】试题分析：根据等边三角形的性质可以得到∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB，则∠EAB=∠ACD，根据SAS即可证得△ABE≌△CAD，然后根据全等三角形的对应边相等，即可证得：AD=BE．
试题解析：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAB＝∠DCA＝120°．
在△EAB和△DCA中，

∴△EAB≌△DCA，
∴AD＝BE．
22. 学校为了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且没有能没有选．将得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均没有完整）．

（1）问：在这次中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学．
【正确答案】（1）80人
（2）略
（3）520人

【详解】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，
占整个被抽到学生总数的30%，
∴抽取学生的总数为24÷30%=80（人）．
（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%=16人，
直方图如图．
（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80—（24+16+10+4）=26，
∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为人
23. 小明在上学的路上要多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互的．
（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时次遇到红灯概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是　 　．
【正确答案】（1）；（2）

【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．
（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为
【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；

由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时次遇到红灯的结果数为2，
所以到第二个路口时次遇到红灯的概率为；
（2）P（个路口没有遇到红灯）=，
P（前两个路口没有遇到红灯）=，
类似地可以得到P（每个路口都没有遇到红灯）＝ ．
故
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，以矩形ABCD边CD为直径作⊙O，交对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若DC＝2，EF＝，点P是⊙O上没有与E、C重合的任意一点，则∠EPC的度数为 （直接写出答案）．

【正确答案】（1）EF与⊙O相切；（2）60°或120°

【分析】（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：如图，连接OE、OF．通过△EFO≌△CFO（SAS），证得∠FEO=∠FCO=90°，则直线EF与⊙O相切．
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的对应边相等求得FC=EF=，所以通过解直角△BCD来求∠D的度数即可．
【详解】解：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OE、OF．

∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵点F是BC中点，点O是DC的中点，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO与△CFO中，
OE=OC，∠2=∠3，OF=OF，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直线EF与⊙O相切．
（2）如图，连接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=．
∴BC=2
在直角△FDC中，tan∠D=，
∴∠D=60°．
当点P在上时，
∵点E、P、C、D四点共圆，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
当点P在 上时，
∠EPC=∠D=60°，
故填：60°或120°．

本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25. 如图，已知点D、E分别在△ACD的边AB和AC上，已知DE∥BC，DE＝DB．
（1）请用直尺和圆规在图中画出点D和点E（保留作图痕迹，没有要求写作法），并证明所作的线段DE是符合题目要求的；
（2）若AB＝7，BC＝3，请求出DE的长．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）2.1.

【详解】试题分析：(1) ①作∠CBA的平分线交AC于点E ；②作BE的垂直平分线交AB于点D．由线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可得到∠DEB=∠CBE，从而得到结论；
（2）由DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再由相似三角形对应边成比例即可得到结论．
试题解析：解：（1）如图：

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE．∵DM是BE的垂直平分线，∴DE=DB，∴∠DEB=∠DBE，∴∠DEB=∠CBE，∴DE∥BC，DE=DB．
(2) ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∴（7－DB）：7=DE：3，∴（7－DE）：7=DE：3，解得： DE＝2.1．
26. 已知二次函数＞0）对称轴与x轴交于点B，与直线l：交于点C，点A是该二次函数图像与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC∶CO＝1∶2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2．
(1) 求抛物线的函数关系式；
(2) 若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标.

【正确答案】（1）；(2) P1(－4，12) )， P2(－4，)

【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，可得对称轴为直线 x＝－2m，得到C的坐标，由∠DOB＝45°，得到BD=BO=2m，即可得到顶点D坐标．过A作AE⊥x轴于E，可求出A的坐标，由△ACD的面积为2，得到m=2，进一步求得顶点D的坐标，从而得到抛物线的解析式；
(2)过P作PM⊥OA于M，则有PM=OM，由直线OA的解析式为：，设M（n，），得到直线PM的解析式，进而得到P的坐标，因为PM=OM，由两点间的距离公式列方程，求出n的值，即可得到P的坐标．
【详解】解：（1） ，∴对称轴为直线 x＝－2m，∴OB=2m，C(－2m，m)．∵∠DOB＝45°，∴BD=BO=2m，∴则顶点D（－2m，2m）．过A作AE⊥x轴于E．∵AC：CO＝1：2，∴EB：OB=1：2．∵OB=2m，∴EB=m，∴OE=3m，∴A（－3m，）．∵△ACD的面积为2，∴m·m＝2，解得：m＝±2 ．∵m＞0，∴m=2，∴ D（－4，4），∴，解得：a＝，∴．
(2) 如图，过P作PM⊥OA于M．∵∠POC=45°，∴PM=OM．∵直线OA的解析式为：，设M（n，），∴直线PM为，即：，当x=-4时，，∴P（-4，）．∵PM=OM，∴，解得：n=－8或n=，当n=－8时，=12，当n=时，=，∴P(－4，12) )或P(－4，) ．

27. 某品牌T恤专营批发店的T恤衫在进价基础上加价m%，每月额9万元，该店每月固定支出1.7万元，进货时还需付进价5%的其它费用.
（1）为保证每月有1万元的利润，m的最小值是多少？（月利润＝总额－总进价－固定支出－其它费用）
（2）经市场调研发现，售价每降低1%，量将提高6%，该店决定自下月起降价以促进，已知每件T恤原价为60元，问：在m取（1）中的最小值且所进T恤当月能够全部完的情况下，价调整为多少时能获得利润，利润是多少？
【正确答案】（1）m的最小值为50；（2）当x＝4 即售价为60－4＝56元时，W值＝12400元．

【分析】（1）设量为a万件，每件进价为x元，根据月利润＝总额－总进价－固定支出－其它费用，额=单价×数量，列方程和没有等式，可求得m的最小值．
（2）由m的值，得到原量，设每件T恤降价x元，该月产生的利润为W元，根据题意列出二次函数，求值即可．
【详解】解：（1）设量为a万件，每件进价为x元，根据题意得：

解得：m≥50，
∴m的最小值为50．
（2）当m=50时，原量为：＝0.15万件，即1500件，设每件T恤降价x元，则量为1500(1＋)件，设该月产生的利润为W元，根据题意，得：
W＝(60－40×1.05)×1500×(1＋6×)－17000
＝－150x2＋16800x－458000
＝
所以，当x＝4 即售价为60－4＝56元时，W值＝12400元．
答：当售价为56元时，能获得利润，利润是12400元．
本题是二次函数的应用，涉及到列代数式、求函数关系式、二次函数的性质等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键．
28. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线 AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
(2) 如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
(3) 请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.

【正确答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】试题分析：根据折叠的性质，得出≌，推出设 根据正弦即可求得CN的长.
根据折叠的性质，三角函数和勾股定理求出AM的长.
直接写出线段CP的长的取值范围，求得MN的长.
试题解析：（1）∵沿直线MN翻折，点A落在点P处，
∴≌ ，

∵ABCD是矩形，
∴AB// EP，

∵ABCD是矩形，∴AB// DC．∴．
设
∵ABCD是矩形，
，∴． ∴，∴，即．
（2）∵沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴≌ ，

∴．∴．
∴，．∴．

∴，
∴．
在 中，∵，，
∴．∴．
（3）0≤CP≤5，当CP时