山东省烟台市2023届高三数学上学期期末学业水平诊断试卷（Word版附解析）

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断

高三数学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

【详解】，

，

故，

.

故选：D.

2. 已知，，则“”的一个充分不必要条件为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

【详解】选项A：取，，满足，但不成立，A错误；

选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若，则；若，可能无意义，所以是的充分不必要条件，B正确；

选项C：取，，满足，但不成立，C错误；

选项D：由指数函数的单调性可得若，则；若，则，所以是的充要条件，D错误；

故选：B

3. 过点且与曲线相切的直线方程为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

【详解】由，则，

设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为，

由切线过点，代入切线方程解得，则切线方程，即.

故选：B

4. 米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（    ）

A. 千克 B. 千克 

C. 千克 D. 千克

【答案】C

【详解】设该正棱台为，其中上底面为正方形，取截面，如下图所示：

易知四边形为等腰梯形，且，，，

分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，

由等腰梯形的几何性质可得，又因为，，

所以，，所以，，

因为，易知，

故四边形为矩形，则，，

所以，，故该正四棱台的高为，

所以，该米斗的体积为，

所以， 该米斗所盛大米的质量为.

故选：C.

5. 设分别为椭圆的左顶点和上顶点，为的右焦点，若到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】由题意可得，

所以直线的方程为，整理得，

所以到直线的距离，所以①，

又因为椭圆中②，③，

所以联立①②③得，解得，

又因为，所以，

故选：A

6. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

【详解】

以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，

 因为，,所以，即，

且所以，

所以，

故选:C.

7. 过直线上一点作圆的两条切线，，若，则点的横坐标为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】D

【详解】如下图，过直线上一点作圆的两条切线，，

设圆心，连接，，

可得，，则，

所以，所以，

因为点在直线上，

所以设，，

，解得：.

故选：D.

8. 已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】因为为偶函数，所以关于对称，

所以当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

……

函数为的图象向左平移个单位，

的图象如下图所示，

均关于对称，有14个交点，

所以函数的所有零点之和为：.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ）

A.  B. 平面

C. 与所成角为60° 

D. 与平面所成角的正弦值为

【答案】BC

【详解】将展开图合成空间图形如下图并连接,,

，

，四边形为平行四边形，，

若，则，显然不成立，故A错误，

，平面，平面，

平面，故B正确，

设正方体棱长为1，则，故为正三角形，

故，而，与所成角为，故C正确，

以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则,

则,

设平面的一个方向量，则，

即，令，则，则，

设与平面所成角为，

则，故D错误.

故选：BC.

10. 已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A. 的最小正周期为

B. 在上单调递增

C. 的图象关于点对称

D. 若，且在上无零点，则的最小值为

【答案】ACD

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

所以，即，解得，

，

且，

对于A，，故A正确；

对于B，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，若，则，

可得或者，，

或，，

且的半周期为，在上无零点，则的最小值为，故D正确.

故选：ACD.

11. 已知，，且，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】ACD

【详解】，，且，

所以，故选项A正确；

，

故选项B正确；

要证，

证，

即证，

由，，且，知，

所以，

故选项C正确；

要证，

即证，

因为，

所以，

前后取得等号条件分别是和，

所以不同时取得等号，故D选项正确；

故选：ACD.

12. 已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 存在使得 D. 存在使得

【答案】ABD

【详解】对于选项A. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于 , 两点,

联立方程组 , 整理可得: , 则 ,

由抛物线的定义: , 故A正确.

对于选项B. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于 , 两点,

联立方程组 整理可得: ，则 , 则 ,

所以 ，由抛物线的定义:

又因为直线 与抛物线的准线 交于点 ,

则，即 ，故B正确.

对于选项C. 设过抛物线 的焦点 的直线方程为: 与抛物线交于 两点,联立方程组 , 整理可得:

则 ,

，

所以 .若 , 则, 故不存在，使得 ,故C不正确.

对于选项D. 设过抛物线 的焦点 的直线 方程为: 与抛物线交于 两点,

联立方程组 , 整理可得 : ,则 ，

,

若 , 因为,, 即 ,

则 , 即: ,可得: ,

即: , 则 , 解得: , 解得: .

故存在使得 , 故D正确;

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则________.

【答案】1

【详解】由可知，，

所以.

故答案为：

14. 已知向量，，若，则的值为______.

【答案】

【详解】已知向量，，若，则有，

∴.

故答案为：

15. “0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______.

【答案】

【详解】依题意，可知经过一次变换，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，

因为数列：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，

所以有项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列中有7个1，8个0；

有项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列中有23个1，22个0；

有项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列中有67个1，68个0；

所以数列的所有项之和为.

故答案为：.

16. 在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱，为侧棱的中点，在侧面矩形内（异于点），则三棱锥体积的最大值为______.

【答案】##

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

，

且和不同时成立，

因为，

所以有，

所以是直角三角形，于是，

设平面的法向量为，

因此有，

取，则，则

，设点到平面的距离为，

，

三棱锥体积为，

因为，

所以当时，有最大值，显然满足和不同时成立，

即，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，，求面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

由正弦定理可得，

因为，所以，

即，

整理得：，

因为，所以，所以，

因为，所以.

【小问2详解】

在中，由余弦定理得：，

即，

整理得，当且仅当时，等号成立.

所以，

因为，所以，

所以面积的最大值为.

18. 已知数列和的各项均不为零，是数列的前项和，且，，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），   

（2）

【小问1详解】

因为，所以，

两式相减得.

又因为，所以，

所以数列和都是以2为公差的等差数列.

因为，所以在中，令，得，

所以，，

所以.

对于数列，因为，且，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.

【小问2详解】

由，

有，

，

两式相减得，，

所以.

19. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，.

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析;   

（2）.

【小问1详解】

取中点，连接，，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以.

因为是等边三角形，所以.

，平面，平面，

所以平面.

因为平面，故.

【小问2详解】

在中，，，，由余弦定理可得，

，故

如图，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

可得，所以，，，

设为平面的一个法向量，

则，即，

令，可得.

设为平面的一个法向量，

则，即，

令，可得.

所以，

故平面与平面夹角的余弦值为.

20. 某工厂拟建造如图所示容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的.

【答案】（1），    （2）见解析

【小问1详解】

设该容器的体积为，则，

又，所以

因为，所以.

所以建造费用，

因此，.

【小问2详解】

由（1）得，.

由于，所以，令，得.

若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.

若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.

综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.

21. 已知双曲线的焦距为，，为的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足.

（1）求双曲线的方程；

（2）过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在定点，使得为定值

【小问1详解】

设，，，则，

又因为点在双曲线上，所以.

于是，对任意恒成立，

所以，即.

又因为，，

可得，，所以双曲线的方程为.

【小问2详解】

设直线的方程为：，，，由题意可知，

联立，消可得，，

则有，，

假设存在定点，

则

令，解得，

此时，

所以存在定点，使得为定值

22. 已知，，，为的导函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【小问1详解】

，则，

当时，方程的根为，

当，即时，当和时，，

单调递增，当时，，单调递减，

当，即，当和时，，

单调递增，当时，，单调递减，

当，即时，恒成立，函数在上单调递增，

综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减；

【小问2详解】

存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，

令，则，

因为，当时，恒成立；当时，，函数在上单调递增，且，，

所以，存在，使得，且在上单调递减，

在上单调递增，所以，

于是，原命题可转化为存在使得在上成立，

又因为，所以，

所以存在，使得成立，

令，，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，所以.