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2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共59页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1. 已知，则a+b=【 】
A. ﹣8 B. ﹣6 C. 6 D. 8
2. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6a B. （﹣a3）2=a6 C. 6a÷2a=3a D. （﹣2a）3=﹣6a3
4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 一个圆锥形工艺品，它的高为3cm，侧面展开图是半圆．则此圆锥的侧面积是（ ）
A. 9π B. 18π C. π D. 27π
6. 将二次函数y=x2图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（ ）
A. 极差20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91
9. 如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既没有重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）
A. 矩形ABCD的周长 B. 矩形②的周长 C. AB的长 D. BC的长
10. 如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）
A. 3cm B. cm C. cm D. cm
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_________．
12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为______．
13. 使根式有意义的x的取值范围是___．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．
15. 因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=______．
16. 如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也没有断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．
17. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．
18. 在△ABC中，∠ABC＜20°，三边长分别为a，b，c，将△ABC沿直线BA翻折，得到△ABC1；然后将△ABC1沿直线BC1翻折，得到△A1BC1；再将△A1BC1沿直线A1B翻折，得到△A1BC2；…，若翻折4次后，得到图形A2BCAC1A1C2的周长为a+c+5b，则翻折11次后，所得图形的周长为_____________．（结果用含有a，b，c的式子表示）
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）先化简，再求值：， 其中x=.
20. 解方程与没有等式组：
（1）解方程：
（2）解没有等式组
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______．
（2）探究：在上述损矩形内，是否存在点，使四个点都在以为圆心的同一圆上，若存在，请指出点的具体位置___________________________；若没有存在，请说明理由.
（3）实践：已知如图三条线段，求作相邻三边长顺次为的损矩形（尺规作图，保留作图痕迹）．
22. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率．
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．
24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
26. 如图1，等边△ABC边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若没有能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．
①▱ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若没有存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．
27. 如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的值及S取值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度没有变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有 个．
28. 如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1. 已知，则a+b=【 】
A. ﹣8 B. ﹣6 C. 6 D. 8
【正确答案】B
【详解】非负数的性质，值，算术平方，求代数式的值．
∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7．
∴a+b=1+（﹣7）=﹣6．故选B．
2. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
【正确答案】B
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围.
【详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，
∴，即，
∴，
故选：B.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6a B. （﹣a3）2=a6 C. 6a÷2a=3a D. （﹣2a）3=﹣6a3
【正确答案】B
【分析】A、根据单项式乘单项式的方法判断即可；B、根据积的乘方的运算方法判断即可；C、根据整式除法的运算方法判断即可；D、根据积的乘方的运算方法判断即可．
【详解】解：∵2a•3a=6a2， ∴选项A没有正确；
∵（﹣a3）2=a6， ∴选项B正确；
∵6a÷2a=3， ∴选项C没有正确；
∵（﹣2a）3=﹣8a3，∴选项D没有正确
故选：B
本题考查整式的除法；幂的乘方；积的乘方；单项式乘单项式．
4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】由位似图形中，对应点的连线必过位似（即相交于一点）可知，上述四个选项所涉及的图形中，只有第三个没有是位似图形，其余三个都是，故选C.
5. 一个圆锥形工艺品，它的高为3cm，侧面展开图是半圆．则此圆锥的侧面积是（ ）
A. 9π B. 18π C. π D. 27π
【正确答案】B
【详解】分析：设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
详解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，即展开后的弧长为2πr，
∵展开后侧面积为半圆，
∴侧面积为：
∴侧面积
∴R=2r，
由勾股定理得,
∴R=6，r=3，
∴圆锥的侧面积=18π.
故选B.
点睛：考查圆锥的侧面积，熟记圆锥侧面积的计算公式.
6. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
【正确答案】A
【详解】二次函数图象与平移变换．
据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选A．
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：由主视图和左视图可得此几何体上面为台体，下面为柱体，由俯视图为圆环可得几何体为．故选D．
考点：由三视图判断几何体．
8. 数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（ ）
A. 极差是20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91
【正确答案】D
【详解】试题分析：因为极差为：98﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,98,98，中位数为91，所以B选项正确；
因为98出现了两次,至多,所以众数是98，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
9. 如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既没有重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）
A. 矩形ABCD的周长 B. 矩形②的周长 C. AB的长 D. BC的长
【正确答案】D
【详解】解：设BC的长为x，AB的长为y，矩形②的长为a，宽为b，
由题意可得，①④两块矩形的周长之和是：
故选D．
10. 如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）
A. 3cm B. cm C. cm D. cm
【正确答案】A
【分析】利用垂径定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得结果．
【详解】过O点作OM⊥AB，
∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO=h
∵AO=7-x，
∴h＝7−x，
在Rt△DMO中，
h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，
故选A．
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线，数形，建立等量关系是解答此题的关键．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_________．
【正确答案】12
【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【详解】解：∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故12．
本题考查了多边形的外角，关键是明确多边形的外角和为360°．
12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为______．
【正确答案】7.36×105人．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确的值是易错点，由于736000有6位，所以可以确定n=6-1=5．
【详解】800万×9.2%=736000=7.36×105人．
故答案为7.36×105人．
13. 使根式有意义的x的取值范围是___．
【正确答案】
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．
【正确答案】100°
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案是：100°．
考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它旋转所得的图形中，对应点到旋转的距离相等，任意一组对应点与旋转的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出∠CAE=40°．
15. 因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=______．
【正确答案】．
【详解】解：原式
故答案为．
本题考查因式分解，常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
16. 如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也没有断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．
【正确答案】1
【详解】试题解析：连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且
∴CO⊥AB
则
∵
∴∠DAO=∠COE，
又∵
∴△AOD∽△OCE，
∴
∴
∵点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
∴
∴ 即
∴
又∵
∴
故答案为1．
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
17. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．
【正确答案】4
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；相加即可．
【详解】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO=
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴AQ=2AC,
又∵CQ=,
∴AQ=2
∴OQ=2﹣1=1,则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4
故答案为4.
考点：解直角三角形
18. 在△ABC中，∠ABC＜20°，三边长分别为a，b，c，将△ABC沿直线BA翻折，得到△ABC1；然后将△ABC1沿直线BC1翻折，得到△A1BC1；再将△A1BC1沿直线A1B翻折，得到△A1BC2；…，若翻折4次后，得到图形A2BCAC1A1C2的周长为a+c+5b，则翻折11次后，所得图形的周长为_____________．（结果用含有a，b，c的式子表示）
【正确答案】2a+12b
【详解】如图2,翻折4次时,左侧边长为c,如图2,翻折5次,左侧边长为a,所以翻折4次后,如图1,由折叠得:AC=A= ==,所以图形的周长为:a+c+5b,
因为∠ABC＜20°,所以,
翻折9次后,所得图形的周长为: 2a+10b,故答案为: 2a+10b.
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）先化简，再求值：， 其中x=.
【正确答案】（1）（2）+1
【详解】试题分析:(1)先计算负正指数幂,开平方,三角函数值,值化简,再进行实数加减运算,(2)先将括号里的分式通分计算,再根据分式的除法法则计算,代入数值计算即可.
试题解析:(1),
原式=
=,
(2),
原式=,
=,
=,
把代入上式可得:.
20. 解方程与没有等式组：
（1）解方程：
（2）解没有等式组
【正确答案】（1）x=1（2）
【详解】分析：按照解分式方程的步骤解方程即可,注意检验.
分别解没有等式，找出解集的公共部分即可.
详解：方程两边同时乘以得，
解得：
经检验：是原方程的解.
解没有等式①得，
解没有定时②得
原没有等式组的解集为.
点睛：考查解分式方程，一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.注意检验.
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______．
（2）探究：在上述损矩形内，是否存在点，使四个点都在以为圆心的同一圆上，若存在，请指出点的具体位置___________________________；若没有存在，请说明理由.
（3）实践：已知如图三条线段，求作相邻三边长顺次为的损矩形（尺规作图，保留作图痕迹）．
【正确答案】（1）AC（2）O点为线段AC的中点（3）见解析
【详解】分析：（1）由损矩形直径的定义即可得到答案；
（2）由可判定四点共圆，易得圆心是线段的中点；
（3）首先画线段，再以A为圆心，b长为半径画弧，再以B为圆心，c长为半径画弧，过点B作直线与以B为圆心的弧相交于点C，连接AC，以AC的中点为圆心，
为半径画弧，与以点A为圆心的弧交于点D，连接AD、DC，BC即可得到所求图形．
详解：(1)由定义知，线段AC是该损矩形的直径，
故答案为AC；
(2)∵
∴
∴A、B.C. D四点共圆，
∴在损矩形ABCD内存在点O，
使得A. B. C. D四个点都在以O为圆心的同一个圆上,
∵
∴AC是⊙O的直径，
∴O是线段AC的中点；
(3)如图所示，四边形ABCD即为所求.
点睛：属于新定义题目，根据题意理解损矩形的定义和性质是解题的关键.
22. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率．
【正确答案】（1）的总数是：50（户），6≤x＜7部分的户数是： 6（户），4≤x＜5的户数是：15（户），所占的百分比是：30%．（2）279（户）；（3）.
【分析】(1)根据组的频数是2,百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解：
(2)利用总户数450乘以对应的百分比求解;
(3) 在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解.
【详解】解：（1）的总数是：2÷4%=50（户），
则6≤x＜7部分的户数是：50×12%=6（户），
则4≤x＜5户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：×=30%．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
15
30%
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
6
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．
则抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率是：=．
本题主要考查统计表和条形统计图,树状图求概率,较为容易，需注意频数、频率和总数之间的关系.
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）4．
【分析】（1）证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F，求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得出x的值即可．
【详解】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，∵OB=OE，CB=CE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC于F；
如图所示：设CE=x，
∵CE，CB为⊙O切线
∴CB=CE=x
∵DE，DA为⊙O切线
∴DE=DA=1
∴DC=x+1
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形
∴DF=AB=4， BF=AD=1
∴FC=x﹣1
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
解得：x=4，∴CE=4．
考点：切线的判定与性质．
24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司没有能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(没有合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．
25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
【正确答案】大楼AB的高度大约是（29+6）米．
【详解】试题分析:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,则GH=DE=15米,EG=DH,设BH=x米,则CH=米,在直角三角形BCH中,BC=12米,由勾股定理得出方程,解方程求出BH=6米,CH=6,得出BG,EG的长度,证明三角形AEG是等腰直角三角形,得出AG=EG=6+20(米),即可得出大楼AB的高度.
试题解析: 延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,如图所示:
则GH=DE=15米,EG=DH,因为梯坎坡度=1:,所以BH:CH=1:,
设BH=x米,则CH=米, 在直角三角形BCH中,BC=12米,
由勾股定理得:,解得:x=6,所以BH=6米,CH=6米,
所以BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH=6+20(米),
因为α是45°,所以∠ EAG=,
所以三角形AEG是等腰直角三角形,
所以AG=AG+BG=6+20+9=29+6(米).
26. 如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若没有能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．
①▱ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若没有存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．
【正确答案】（1）没有存在；（2）①存在，6；②3．
【详解】试题分析：（1）根据等边三角形性质可知：由三角形外角的性质可知从而可知：所以点E没有能移动到直线AB上.
（2）因为△ADE的面积所以当AD最短时，△ADE的面积有最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时,△ADE的面积最小.四边形为平四边形，AE为对角线，所以平行四边形的面积是△ADE面积的2倍，所以△ADE的面积最小时，平行四边形的面积最小；
（3）当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，最小值为AD与EF之间的距离．
试题解析：(1)没有存在.
理由：如图1所示：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴点E没有能移动到直线AB上.
(2)①存在：在图(2)中，当AD⊥BC时,△ADE的面积最小.
在Rt△ADB中,
∴△ADE的面积
∵四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，
∴平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍.
∴▱ADEF的面积的最小值
②如图3所示：作点P关于AE的对称点P1，
当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，
过点A作AG∥NP1，
∵AN∥GP1,AG∥NP1，
∴四边形ANP1G为平行四边形.
∴
即MN+MP的最小值为3.
27. 如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的值及S取值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度没有变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有 个．
【正确答案】（1）2个单位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），当t=时，S有值为，此时P（）；（3）2．
【详解】试题分析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时即可求出点P的运动速度.
过P作轴，表示出配方求出值即可.
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时 因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，
点P的运动速度为2个单位/秒．
故答案是：2个单位/秒；
（2）如图①，过P作轴，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即
∵顶点B的坐标为
∴
∴
∴
∴ 又
∴ 即为中OQ边上的高，
而 可得
∴
∵
∴当时，S有值为，此时P.
（3）当点P沿这两边运动时，的点P有2个．
①当点P与点A重合时，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作交y轴于点M，作轴于点H，
由得:
所以，从而
所以当点P在AB边上运动时，的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得，
而构成直角时交y轴于
所以从而的点P也有1个．
所以当点P沿这两边运动时，的点P有2个．
故答案是：2．
28. 如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）9；（3）Q坐标为（﹣）或（4﹣）或（2，1）或（4+，﹣）．
【详解】试题分析：把点代入抛物线，求出的值即可.
先用待定系数法求出直线BE的解析式，进而求得直线AD的解析式，设则表示出,用配方法求出它的值，
联立方程求出点的坐标， 值=，
进而计算四边形EAPD面积的值；
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）∵在抛物线上，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）过点P作轴交AD于点G，
∵
∴直线BE的解析式为
∵AD∥BE，设直线AD的解析式为 代入，可得
∴直线AD的解析式为
设则
则
∴当x=1时，PG的值，值为2，
由 解得 或
∴
∴ 值=
∵AD∥BE，
∴
∴S四边形APDE=S△ADP+
（3）①如图3﹣1中，当时，作于T．
∵
∴
∴
∴
可得
②如图3﹣2中，当时,
当时，
当时，Q3
综上所述，满足条件点点Q坐标为或或或
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 2sin45°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 下列图案中，可以看做是对称图形的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 已知一个反比例函数的图像点A（3，﹣4），那么没有在这个函数图像上的点是（ ）
A. （﹣3，﹣4） B. （﹣3，4） C. （2，﹣6） D. （，﹣12）
4. 如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
7. 已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为（ ）
A. R2 B. R2 C. 6R2 D. 1.5R2
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（5，4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A. （2，3） B. （2，2.5） C. （3，3） D. （3，2.5）
10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
11. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
12. 已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的值为﹣5，则h的值为( )
A. 3﹣或1+ B. 3﹣或3+
C. 3+或1﹣ D. 1﹣或1+
第Ⅱ卷（非选一选）
二．填 空 题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是_____．
14. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
15. 如果圆锥高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____．
16. 小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
17. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB长为_____．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（没有要求证明）．___________________________________．
三．解 答 题（共7小题，满分66分）
19. 解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
20. 在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
21. 如图，直立于地面上电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在函数关系，求y关于x的函数关系式（没有需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得利润，该产品的单价应定为多少？
（3）为保证产品在实际试销中量没有得低于30件，且工厂获得得利润没有得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．
23. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
24. 如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．
（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的值．
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 2sin45°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【正确答案】B
【详解】解：2sin45°=2×
故选：B ．
2. 下列图案中，可以看做是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】个图形没有是对称图形；
第二个图形是对称图形；
第三个图形没有是对称图形；
第四个图形没有是对称图形．
综上所述，可以看做是对称图形的有2个．
故选：B．
3. 已知一个反比例函数的图像点A（3，﹣4），那么没有在这个函数图像上的点是（ ）
A. （﹣3，﹣4） B. （﹣3，4） C. （2，﹣6） D. （，﹣12）
【正确答案】A
【详解】解：设反比例函数的解析式为：（k≠0）．∵反比例函数的图象点（3，﹣4），∴k=3×（﹣4）=﹣12，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣12的点都在函数图象上，四个选项中只有A没有符合．故选A．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4. 如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：从上边看时，圆柱是一个矩形，中间的木棒是虚线，故选C．
考点：简单组合体的三视图．
5. 函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：a＞0时，y=的函数图象位于三象限，y=ax2的函数图象位于二象限且原点，
a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且原点，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
【正确答案】B
详解】试题解析：
在中，
故选B.
7. 已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为（ ）
A. R2 B. R2 C. 6R2 D. 1.5R2
【正确答案】B
【详解】
设O是正六边形的，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=R，
则△OAB是正三角形，
∵OC=OA•sin∠A=R，
∴S△OAB=AB•OC=R2，
∴正六边形的面积为6×R2=R2，
故选B．
点睛：本题考查的正多边形和圆的有关计算，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（5，4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A. （2，3） B. （2，2.5） C. （3，3） D. （3，2.5）
【正确答案】A
【详解】∵，，
∴线段AB的中点坐标为（2，3）.
故选A.
10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【正确答案】A
【详解】【分析】先求出∠BOC=2∠A＝30°，再根据垂径定理得CD=2BC，同时利用含有30〫角直角三角形的性质得BC=OC，可求得结果.
【详解】因为∠A＝15°，所以，∠BOC=2∠A＝30°，
因为，⊙O的直径AB垂直于弦CD，所以，∠ABC=90〫,CD=2BC，
又BC=OC=×2=1,所以，CD=2BC=2
故选A
本题考核知识点：垂径定理，圆心角和圆周角，直角三角形. 解题关键点：推出含有30〫角的直角三角形，并运用垂径定理.
11. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
【正确答案】B
【详解】由旋转的性质，得
BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．
在Rt△PBP′中，由勾股定理，得
PP′=，
故选B．
12. 已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的值为﹣5，则h的值为( )
A. 3﹣或1+ B. 3﹣或3+
C. 3+或1﹣ D. 1﹣或1+
【正确答案】C
【详解】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得值-5，
可得：-（1-h）2+1=-5，
解得：h=1-或h=1+（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得值-5，
可得：-（3-h）2+1=-5，
解得：h=3+或h=3-（舍）．
综上，h的值为1-或3+，
故选C．
点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选一选）
二．填 空 题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是_____．
【正确答案】（4，3）
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，
∴顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．
14. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＞﹣
【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴1+2m＞0，
故m的取值范围是：m＞﹣，
故答案：m＞﹣.
本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
15. 如果圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____．
【正确答案】20π
【详解】∵圆锥的高为3，母线长为5，
∴由勾股定理得，底面半径==4，
∴底面周长=2π×4=8π，
∴侧面展开图的面积=×8π×5=20π．
故答案为20π．
16. 小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
【正确答案】1
【详解】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降×2=1米.
故答案为1.
17. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____．
【正确答案】7
【详解】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．
∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．
∴，即．
∴．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为_____．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（没有要求证明）．___________________________________．
【正确答案】 ①. 2 ②. 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求
【详解】 (1)由勾股定理得AB=；
(2)∵AB，AP=，
∴,
∴ AP:BP=2:1.
取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求；
∵AM∥BN,
∴△AMP∽△BNP,
∴,
∵AM=2,BN=1,
∴,
∴P点符合题意.
故答案为取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求．
三．解 答 题（共7小题，满分66分）
19. 解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
【正确答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=．
详解】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，
开方，得：x+5=0，
解得x=﹣5，
x1=x2=﹣5；
（2）移项，得：x2﹣x=1，
配方，得：x2﹣x+=，
，
开方，得，
．
本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax2+bx+c=0形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax2+bx=-c；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为的形式；④配方：两边同时加上项系数的一半的平方，即；⑤整理：把左边写成完全平方式， ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值.
20. 在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
【正确答案】（1）（2）
【分析】（1）让白球的个数除以球的总数即可；
（2）列出树状图，用符合条件的结果数除以所有可能的结果即可．
【详解】解：（1）摸出白球的概率是；
（2）列举所有等可能的结果，画树状图：
∴两次都摸出白球的概率为P（两白）=．
本题考查了概率的计算，如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
21. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
【正确答案】电线杆的高度为（2+4）米
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．
【详解】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF==2，
由题意得∠E=30°，
∴EF==2，
∴BE=BC+CF+EF=6+4，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，
答：电线杆的高度为（2+4）米．
考点：解直角三角形的应用.
22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在函数关系，求y关于x的函数关系式（没有需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得利润，该产品的单价应定为多少？
（3）为保证产品在实际试销中量没有得低于30件，且工厂获得得利润没有得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．
【正确答案】（1）y=﹣2x+100；（2）当x=35时，w的值为450元（3）30≤x≤35
【详解】试题分析：（1）设y=kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；
（2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润=每件利润×量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；
（3）根据量≥30件、获得的利润≥400元列没有等式组，解没有等式组可得．
试题解析：（1）设y=kx+b，
将x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为：y=-2x+100；
（2）设定价为x元时，工厂获得的利润为w元，
则w=（x-20）•y=-2x2+140x-2000=-2（x-35）2+450
∴当x=35时，w的值为450元．
（3）根据题意得：
解得：30≤x≤35．
23. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【正确答案】（1）详见解析；（2）4
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．
【详解】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
24. 如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．
（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．
【正确答案】（1）（﹣，1）（2）（﹣，）
【详解】试题分析：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，根据旋转角得出∠AOD=30°，进而得到AD=AO=1，DO=，据此可得点A的坐标；
（2）连接BO，过B作BD⊥y轴于D，根据旋转角为75°，可得∠BOD=30°，根据勾股定理可得BO=2，再根据Rt△BOD中，BD=，OD=，可得点B的坐标．
解：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，
∵旋转角为60°，
∴∠AOD=90°﹣60°=30°，
∴AD=AO=1，DO=，∴A（﹣，1）；
（2）连接BO，过B作BD⊥y轴于D，
∵旋转角为75°，∠AOB=45°，
∴∠BOD=75°﹣45°=30°，
∵∠A=90°，AB=AO=2，
∴BO=2，
∴Rt△BOD中，BD=，OD=，∴B（﹣，）．
点睛：本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的值．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（7，0）（3）
【详解】试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式求得点C（0，3），将y=0代入求得x=﹣3，从而得到点A（﹣3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入可求得a=﹣1，从而得到抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）将x=2分别代入直线和抛物线的解析式，求得点D（2，5）、E（2，﹣5），然后根据平行四边形的对角线互相平分可求得点F的坐标；
（3）如图2所示：设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．QP=﹣a2﹣3a，由三角形的面积公式可知：△ACQ的面积=然后利用配方法求得二次函数的值即可
解：（1）∵将x=0代入y=x+3，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入y=x+3得到x=﹣3．
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入得：﹣3a=3．
解得：a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）．
整理得：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵将x=2代入y=x+3得，y=5，
∴点D（2，5）．
将x=2代入y=﹣x2﹣2x+3得：y=﹣5．
∴点E的坐标为（2，﹣5）．
如图1所示：
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴点F的坐标为（7，0）．
（3）如图2所示：
设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．
QP=﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）=﹣a2﹣2a+3﹣a﹣3=﹣a2﹣3a．
∵△ACQ的面积=，
△ACQ的面积=
∴△ACQ的面积的值为．
考点：二次函数综合题．
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1. 已知，则a+b=【 】
A. ﹣8 B. ﹣6 C. 6 D. 8
2. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6a B. （﹣a3）2=a6 C. 6a÷2a=3a D. （﹣2a）3=﹣6a3
4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 一个圆锥形工艺品，它的高为3cm，侧面展开图是半圆．则此圆锥的侧面积是（ ）
A. 9π B. 18π C. π D. 27π
6. 将二次函数y=x2图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（ ）
A. 极差20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91
9. 如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既没有重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）
A. 矩形ABCD的周长 B. 矩形②的周长 C. AB的长 D. BC的长
10. 如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）
A. 3cm B. cm C. cm D. cm
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_________．
12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为______．
13. 使根式有意义的x的取值范围是___．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．
15. 因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=______．
16. 如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也没有断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．
17. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．
18. 在△ABC中，∠ABC＜20°，三边长分别为a，b，c，将△ABC沿直线BA翻折，得到△ABC1；然后将△ABC1沿直线BC1翻折，得到△A1BC1；再将△A1BC1沿直线A1B翻折，得到△A1BC2；…，若翻折4次后，得到图形A2BCAC1A1C2的周长为a+c+5b，则翻折11次后，所得图形的周长为_____________．（结果用含有a，b，c的式子表示）
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）先化简，再求值：， 其中x=.
20. 解方程与没有等式组：
（1）解方程：
（2）解没有等式组
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______．
（2）探究：在上述损矩形内，是否存在点，使四个点都在以为圆心的同一圆上，若存在，请指出点的具体位置___________________________；若没有存在，请说明理由.
（3）实践：已知如图三条线段，求作相邻三边长顺次为的损矩形（尺规作图，保留作图痕迹）．
22. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率．
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．
24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
26. 如图1，等边△ABC边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若没有能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．
①▱ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若没有存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．
27. 如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的值及S取值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度没有变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有 个．
28. 如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1. 已知，则a+b=【 】
A. ﹣8 B. ﹣6 C. 6 D. 8
【正确答案】B
【详解】非负数的性质，值，算术平方，求代数式的值．
∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7．
∴a+b=1+（﹣7）=﹣6．故选B．
2. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
【正确答案】B
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围.
【详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，
∴，即，
∴，
故选：B.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6a B. （﹣a3）2=a6 C. 6a÷2a=3a D. （﹣2a）3=﹣6a3
【正确答案】B
【分析】A、根据单项式乘单项式的方法判断即可；B、根据积的乘方的运算方法判断即可；C、根据整式除法的运算方法判断即可；D、根据积的乘方的运算方法判断即可．
【详解】解：∵2a•3a=6a2， ∴选项A没有正确；
∵（﹣a3）2=a6， ∴选项B正确；
∵6a÷2a=3， ∴选项C没有正确；
∵（﹣2a）3=﹣8a3，∴选项D没有正确
故选：B
本题考查整式的除法；幂的乘方；积的乘方；单项式乘单项式．
4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】由位似图形中，对应点的连线必过位似（即相交于一点）可知，上述四个选项所涉及的图形中，只有第三个没有是位似图形，其余三个都是，故选C.
5. 一个圆锥形工艺品，它的高为3cm，侧面展开图是半圆．则此圆锥的侧面积是（ ）
A. 9π B. 18π C. π D. 27π
【正确答案】B
【详解】分析：设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
详解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，即展开后的弧长为2πr，
∵展开后侧面积为半圆，
∴侧面积为：
∴侧面积
∴R=2r，
由勾股定理得,
∴R=6，r=3，
∴圆锥的侧面积=18π.
故选B.
点睛：考查圆锥的侧面积，熟记圆锥侧面积的计算公式.
6. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
【正确答案】A
【详解】二次函数图象与平移变换．
据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选A．
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：由主视图和左视图可得此几何体上面为台体，下面为柱体，由俯视图为圆环可得几何体为．故选D．
考点：由三视图判断几何体．
8. 数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（ ）
A. 极差是20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91
【正确答案】D
【详解】试题分析：因为极差为：98﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,98,98，中位数为91，所以B选项正确；
因为98出现了两次,至多,所以众数是98，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
9. 如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既没有重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）
A. 矩形ABCD的周长 B. 矩形②的周长 C. AB的长 D. BC的长
【正确答案】D
【详解】解：设BC的长为x，AB的长为y，矩形②的长为a，宽为b，
由题意可得，①④两块矩形的周长之和是：
故选D．
10. 如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）
A. 3cm B. cm C. cm D. cm
【正确答案】A
【分析】利用垂径定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得结果．
【详解】过O点作OM⊥AB，
∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO=h
∵AO=7-x，
∴h＝7−x，
在Rt△DMO中，
h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，
故选A．
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线，数形，建立等量关系是解答此题的关键．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_________．
【正确答案】12
【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【详解】解：∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故12．
本题考查了多边形的外角，关键是明确多边形的外角和为360°．
12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为______．
【正确答案】7.36×105人．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确的值是易错点，由于736000有6位，所以可以确定n=6-1=5．
【详解】800万×9.2%=736000=7.36×105人．
故答案为7.36×105人．
13. 使根式有意义的x的取值范围是___．
【正确答案】
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．
【正确答案】100°
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案是：100°．
考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它旋转所得的图形中，对应点到旋转的距离相等，任意一组对应点与旋转的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出∠CAE=40°．
15. 因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=______．
【正确答案】．
【详解】解：原式
故答案为．
本题考查因式分解，常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
16. 如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也没有断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．
【正确答案】1
【详解】试题解析：连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且
∴CO⊥AB
则
∵
∴∠DAO=∠COE，
又∵
∴△AOD∽△OCE，
∴
∴
∵点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
∴
∴ 即
∴
又∵
∴
故答案为1．
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
17. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．
【正确答案】4
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；相加即可．
【详解】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO=
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴AQ=2AC,
又∵CQ=,
∴AQ=2
∴OQ=2﹣1=1,则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4
故答案为4.
考点：解直角三角形
18. 在△ABC中，∠ABC＜20°，三边长分别为a，b，c，将△ABC沿直线BA翻折，得到△ABC1；然后将△ABC1沿直线BC1翻折，得到△A1BC1；再将△A1BC1沿直线A1B翻折，得到△A1BC2；…，若翻折4次后，得到图形A2BCAC1A1C2的周长为a+c+5b，则翻折11次后，所得图形的周长为_____________．（结果用含有a，b，c的式子表示）
【正确答案】2a+12b
【详解】如图2,翻折4次时,左侧边长为c,如图2,翻折5次,左侧边长为a,所以翻折4次后,如图1,由折叠得:AC=A= ==,所以图形的周长为:a+c+5b,
因为∠ABC＜20°,所以,
翻折9次后,所得图形的周长为: 2a+10b,故答案为: 2a+10b.
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）先化简，再求值：， 其中x=.
【正确答案】（1）（2）+1
【详解】试题分析:(1)先计算负正指数幂,开平方,三角函数值,值化简,再进行实数加减运算,(2)先将括号里的分式通分计算,再根据分式的除法法则计算,代入数值计算即可.
试题解析:(1),
原式=
=,
(2),
原式=,
=,
=,
把代入上式可得:.
20. 解方程与没有等式组：
（1）解方程：
（2）解没有等式组
【正确答案】（1）x=1（2）
【详解】分析：按照解分式方程的步骤解方程即可,注意检验.
分别解没有等式，找出解集的公共部分即可.
详解：方程两边同时乘以得，
解得：
经检验：是原方程的解.
解没有等式①得，
解没有定时②得
原没有等式组的解集为.
点睛：考查解分式方程，一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.注意检验.
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______．
（2）探究：在上述损矩形内，是否存在点，使四个点都在以为圆心的同一圆上，若存在，请指出点的具体位置___________________________；若没有存在，请说明理由.
（3）实践：已知如图三条线段，求作相邻三边长顺次为的损矩形（尺规作图，保留作图痕迹）．
【正确答案】（1）AC（2）O点为线段AC的中点（3）见解析
【详解】分析：（1）由损矩形直径的定义即可得到答案；
（2）由可判定四点共圆，易得圆心是线段的中点；
（3）首先画线段，再以A为圆心，b长为半径画弧，再以B为圆心，c长为半径画弧，过点B作直线与以B为圆心的弧相交于点C，连接AC，以AC的中点为圆心，
为半径画弧，与以点A为圆心的弧交于点D，连接AD、DC，BC即可得到所求图形．
详解：(1)由定义知，线段AC是该损矩形的直径，
故答案为AC；
(2)∵
∴
∴A、B.C. D四点共圆，
∴在损矩形ABCD内存在点O，
使得A. B. C. D四个点都在以O为圆心的同一个圆上,
∵
∴AC是⊙O的直径，
∴O是线段AC的中点；
(3)如图所示，四边形ABCD即为所求.
点睛：属于新定义题目，根据题意理解损矩形的定义和性质是解题的关键.
22. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率．
【正确答案】（1）的总数是：50（户），6≤x＜7部分的户数是： 6（户），4≤x＜5的户数是：15（户），所占的百分比是：30%．（2）279（户）；（3）.
【分析】(1)根据组的频数是2,百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解：
(2)利用总户数450乘以对应的百分比求解;
(3) 在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解.
【详解】解：（1）的总数是：2÷4%=50（户），
则6≤x＜7部分的户数是：50×12%=6（户），
则4≤x＜5户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：×=30%．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
15
30%
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
6
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．
则抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率是：=．
本题主要考查统计表和条形统计图,树状图求概率,较为容易，需注意频数、频率和总数之间的关系.
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）4．
【分析】（1）证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F，求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得出x的值即可．
【详解】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，∵OB=OE，CB=CE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC于F；
如图所示：设CE=x，
∵CE，CB为⊙O切线
∴CB=CE=x
∵DE，DA为⊙O切线
∴DE=DA=1
∴DC=x+1
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形
∴DF=AB=4， BF=AD=1
∴FC=x﹣1
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
解得：x=4，∴CE=4．
考点：切线的判定与性质．
24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司没有能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(没有合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．
25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
【正确答案】大楼AB的高度大约是（29+6）米．
【详解】试题分析:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,则GH=DE=15米,EG=DH,设BH=x米,则CH=米,在直角三角形BCH中,BC=12米,由勾股定理得出方程,解方程求出BH=6米,CH=6,得出BG,EG的长度,证明三角形AEG是等腰直角三角形,得出AG=EG=6+20(米),即可得出大楼AB的高度.
试题解析: 延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,如图所示:
则GH=DE=15米,EG=DH,因为梯坎坡度=1:,所以BH:CH=1:,
设BH=x米,则CH=米, 在直角三角形BCH中,BC=12米,
由勾股定理得:,解得:x=6,所以BH=6米,CH=6米,
所以BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH=6+20(米),
因为α是45°,所以∠ EAG=,
所以三角形AEG是等腰直角三角形,
所以AG=AG+BG=6+20+9=29+6(米).
26. 如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若没有能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．
①▱ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若没有存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．
【正确答案】（1）没有存在；（2）①存在，6；②3．
【详解】试题分析：（1）根据等边三角形性质可知：由三角形外角的性质可知从而可知：所以点E没有能移动到直线AB上.
（2）因为△ADE的面积所以当AD最短时，△ADE的面积有最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时,△ADE的面积最小.四边形为平四边形，AE为对角线，所以平行四边形的面积是△ADE面积的2倍，所以△ADE的面积最小时，平行四边形的面积最小；
（3）当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，最小值为AD与EF之间的距离．
试题解析：(1)没有存在.
理由：如图1所示：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴点E没有能移动到直线AB上.
(2)①存在：在图(2)中，当AD⊥BC时,△ADE的面积最小.
在Rt△ADB中,
∴△ADE的面积
∵四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，
∴平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍.
∴▱ADEF的面积的最小值
②如图3所示：作点P关于AE的对称点P1，
当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，
过点A作AG∥NP1，
∵AN∥GP1,AG∥NP1，
∴四边形ANP1G为平行四边形.
∴
即MN+MP的最小值为3.
27. 如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的值及S取值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度没有变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有 个．
【正确答案】（1）2个单位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），当t=时，S有值为，此时P（）；（3）2．
【详解】试题分析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时即可求出点P的运动速度.
过P作轴，表示出配方求出值即可.
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时 因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，
点P的运动速度为2个单位/秒．
故答案是：2个单位/秒；
（2）如图①，过P作轴，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即
∵顶点B的坐标为
∴
∴
∴
∴ 又
∴ 即为中OQ边上的高，
而 可得
∴
∵
∴当时，S有值为，此时P.
（3）当点P沿这两边运动时，的点P有2个．
①当点P与点A重合时，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作交y轴于点M，作轴于点H，
由得:
所以，从而
所以当点P在AB边上运动时，的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得，
而构成直角时交y轴于
所以从而的点P也有1个．
所以当点P沿这两边运动时，的点P有2个．
故答案是：2．
28. 如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）9；（3）Q坐标为（﹣）或（4﹣）或（2，1）或（4+，﹣）．
【详解】试题分析：把点代入抛物线，求出的值即可.
先用待定系数法求出直线BE的解析式，进而求得直线AD的解析式，设则表示出,用配方法求出它的值，
联立方程求出点的坐标， 值=，
进而计算四边形EAPD面积的值；
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）∵在抛物线上，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）过点P作轴交AD于点G，
∵
∴直线BE的解析式为
∵AD∥BE，设直线AD的解析式为 代入，可得
∴直线AD的解析式为
设则
则
∴当x=1时，PG的值，值为2，
由 解得 或
∴
∴ 值=
∵AD∥BE，
∴
∴S四边形APDE=S△ADP+
（3）①如图3﹣1中，当时，作于T．
∵
∴
∴
∴
可得
②如图3﹣2中，当时,
当时，
当时，Q3
综上所述，满足条件点点Q坐标为或或或
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 2sin45°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 下列图案中，可以看做是对称图形的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 已知一个反比例函数的图像点A（3，﹣4），那么没有在这个函数图像上的点是（ ）
A. （﹣3，﹣4） B. （﹣3，4） C. （2，﹣6） D. （，﹣12）
4. 如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
7. 已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为（ ）
A. R2 B. R2 C. 6R2 D. 1.5R2
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（5，4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A. （2，3） B. （2，2.5） C. （3，3） D. （3，2.5）
10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
11. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
12. 已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的值为﹣5，则h的值为( )
A. 3﹣或1+ B. 3﹣或3+
C. 3+或1﹣ D. 1﹣或1+
第Ⅱ卷（非选一选）
二．填 空 题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是_____．
14. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
15. 如果圆锥高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____．
16. 小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
17. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB长为_____．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（没有要求证明）．___________________________________．
三．解 答 题（共7小题，满分66分）
19. 解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
20. 在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
21. 如图，直立于地面上电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在函数关系，求y关于x的函数关系式（没有需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得利润，该产品的单价应定为多少？
（3）为保证产品在实际试销中量没有得低于30件，且工厂获得得利润没有得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．
23. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
24. 如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．
（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的值．
2022-2023学年福建省龙岩市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一．选一选（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 2sin45°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【正确答案】B
【详解】解：2sin45°=2×
故选：B ．
2. 下列图案中，可以看做是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】个图形没有是对称图形；
第二个图形是对称图形；
第三个图形没有是对称图形；
第四个图形没有是对称图形．
综上所述，可以看做是对称图形的有2个．
故选：B．
3. 已知一个反比例函数的图像点A（3，﹣4），那么没有在这个函数图像上的点是（ ）
A. （﹣3，﹣4） B. （﹣3，4） C. （2，﹣6） D. （，﹣12）
【正确答案】A
【详解】解：设反比例函数的解析式为：（k≠0）．∵反比例函数的图象点（3，﹣4），∴k=3×（﹣4）=﹣12，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣12的点都在函数图象上，四个选项中只有A没有符合．故选A．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4. 如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：从上边看时，圆柱是一个矩形，中间的木棒是虚线，故选C．
考点：简单组合体的三视图．
5. 函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：a＞0时，y=的函数图象位于三象限，y=ax2的函数图象位于二象限且原点，
a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且原点，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
【正确答案】B
详解】试题解析：
在中，
故选B.
7. 已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为（ ）
A. R2 B. R2 C. 6R2 D. 1.5R2
【正确答案】B
【详解】
设O是正六边形的，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=R，
则△OAB是正三角形，
∵OC=OA•sin∠A=R，
∴S△OAB=AB•OC=R2，
∴正六边形的面积为6×R2=R2，
故选B．
点睛：本题考查的正多边形和圆的有关计算，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（5，4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A. （2，3） B. （2，2.5） C. （3，3） D. （3，2.5）
【正确答案】A
【详解】∵，，
∴线段AB的中点坐标为（2，3）.
故选A.
10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【正确答案】A
【详解】【分析】先求出∠BOC=2∠A＝30°，再根据垂径定理得CD=2BC，同时利用含有30〫角直角三角形的性质得BC=OC，可求得结果.
【详解】因为∠A＝15°，所以，∠BOC=2∠A＝30°，
因为，⊙O的直径AB垂直于弦CD，所以，∠ABC=90〫,CD=2BC，
又BC=OC=×2=1,所以，CD=2BC=2
故选A
本题考核知识点：垂径定理，圆心角和圆周角，直角三角形. 解题关键点：推出含有30〫角的直角三角形，并运用垂径定理.
11. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
【正确答案】B
【详解】由旋转的性质，得
BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．
在Rt△PBP′中，由勾股定理，得
PP′=，
故选B．
12. 已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的值为﹣5，则h的值为( )
A. 3﹣或1+ B. 3﹣或3+
C. 3+或1﹣ D. 1﹣或1+
【正确答案】C
【详解】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得值-5，
可得：-（1-h）2+1=-5，
解得：h=1-或h=1+（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得值-5，
可得：-（3-h）2+1=-5，
解得：h=3+或h=3-（舍）．
综上，h的值为1-或3+，
故选C．
点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选一选）
二．填 空 题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是_____．
【正确答案】（4，3）
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，
∴顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．
14. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＞﹣
【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴1+2m＞0，
故m的取值范围是：m＞﹣，
故答案：m＞﹣.
本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
15. 如果圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____．
【正确答案】20π
【详解】∵圆锥的高为3，母线长为5，
∴由勾股定理得，底面半径==4，
∴底面周长=2π×4=8π，
∴侧面展开图的面积=×8π×5=20π．
故答案为20π．
16. 小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
【正确答案】1
【详解】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降×2=1米.
故答案为1.
17. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____．
【正确答案】7
【详解】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．
∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．
∴，即．
∴．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为_____．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（没有要求证明）．___________________________________．
【正确答案】 ①. 2 ②. 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求
【详解】 (1)由勾股定理得AB=；
(2)∵AB，AP=，
∴,
∴ AP:BP=2:1.
取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求；
∵AM∥BN,
∴△AMP∽△BNP,
∴,
∵AM=2,BN=1,
∴,
∴P点符合题意.
故答案为取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求．
三．解 答 题（共7小题，满分66分）
19. 解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
【正确答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=．
详解】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，
开方，得：x+5=0，
解得x=﹣5，
x1=x2=﹣5；
（2）移项，得：x2﹣x=1，
配方，得：x2﹣x+=，
，
开方，得，
．
本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax2+bx+c=0形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax2+bx=-c；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为的形式；④配方：两边同时加上项系数的一半的平方，即；⑤整理：把左边写成完全平方式， ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值.
20. 在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
【正确答案】（1）（2）
【分析】（1）让白球的个数除以球的总数即可；
（2）列出树状图，用符合条件的结果数除以所有可能的结果即可．
【详解】解：（1）摸出白球的概率是；
（2）列举所有等可能的结果，画树状图：
∴两次都摸出白球的概率为P（两白）=．
本题考查了概率的计算，如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
21. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
【正确答案】电线杆的高度为（2+4）米
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．
【详解】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF==2，
由题意得∠E=30°，
∴EF==2，
∴BE=BC+CF+EF=6+4，
∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，
答：电线杆的高度为（2+4）米．
考点：解直角三角形的应用.
22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在函数关系，求y关于x的函数关系式（没有需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得利润，该产品的单价应定为多少？
（3）为保证产品在实际试销中量没有得低于30件，且工厂获得得利润没有得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．
【正确答案】（1）y=﹣2x+100；（2）当x=35时，w的值为450元（3）30≤x≤35
【详解】试题分析：（1）设y=kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；
（2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润=每件利润×量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；
（3）根据量≥30件、获得的利润≥400元列没有等式组，解没有等式组可得．
试题解析：（1）设y=kx+b，
将x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为：y=-2x+100；
（2）设定价为x元时，工厂获得的利润为w元，
则w=（x-20）•y=-2x2+140x-2000=-2（x-35）2+450
∴当x=35时，w的值为450元．
（3）根据题意得：
解得：30≤x≤35．
23. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【正确答案】（1）详见解析；（2）4
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．
【详解】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
24. 如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．
（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．
【正确答案】（1）（﹣，1）（2）（﹣，）
【详解】试题分析：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，根据旋转角得出∠AOD=30°，进而得到AD=AO=1，DO=，据此可得点A的坐标；
（2）连接BO，过B作BD⊥y轴于D，根据旋转角为75°，可得∠BOD=30°，根据勾股定理可得BO=2，再根据Rt△BOD中，BD=，OD=，可得点B的坐标．
解：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，
∵旋转角为60°，
∴∠AOD=90°﹣60°=30°，
∴AD=AO=1，DO=，∴A（﹣，1）；
（2）连接BO，过B作BD⊥y轴于D，
∵旋转角为75°，∠AOB=45°，
∴∠BOD=75°﹣45°=30°，
∵∠A=90°，AB=AO=2，
∴BO=2，
∴Rt△BOD中，BD=，OD=，∴B（﹣，）．
点睛：本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的值．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（7，0）（3）
【详解】试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式求得点C（0，3），将y=0代入求得x=﹣3，从而得到点A（﹣3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入可求得a=﹣1，从而得到抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）将x=2分别代入直线和抛物线的解析式，求得点D（2，5）、E（2，﹣5），然后根据平行四边形的对角线互相平分可求得点F的坐标；
（3）如图2所示：设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．QP=﹣a2﹣3a，由三角形的面积公式可知：△ACQ的面积=然后利用配方法求得二次函数的值即可
解：（1）∵将x=0代入y=x+3，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入y=x+3得到x=﹣3．
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入得：﹣3a=3．
解得：a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）．
整理得：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵将x=2代入y=x+3得，y=5，
∴点D（2，5）．
将x=2代入y=﹣x2﹣2x+3得：y=﹣5．
∴点E的坐标为（2，﹣5）．
如图1所示：
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴点F的坐标为（7，0）．
（3）如图2所示：
设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．
QP=﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）=﹣a2﹣2a+3﹣a﹣3=﹣a2﹣3a．
∵△ACQ的面积=，
△ACQ的面积=
∴△ACQ的面积的值为．
考点：二次函数综合题．
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