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初中数学中考复习 精品解析：辽宁省盘锦市2019年大洼区联合校九年级下学期第一次模考数学试卷（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 精品解析：辽宁省盘锦市2019年大洼区联合校九年级下学期第一次模考数学试卷（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年大洼区联合校九年级下学期第一次模考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填写在答题卡上.每小题3分，共30分）
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物，28.3亿吨用科学记数法表示为
A. 28.3×107 B. 2.83×108 C. 0.283×1010 D. 2.83×109
【答案】D
【解析】
试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．可得28.3亿=28.3×108=2.83×109．
故选D．
考点：科学记数法—表示较大的数
3.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
4.下列计算中，不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、同底数幂乘法、去括号和单项式除以单项式分别计算即可.
【详解】解：B. ，原式错误，
A、C、D均正确，
故选B.
【点睛】本题考查完全平方公式、同底数幂乘法、去括号和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键.
5.已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．
6.在五月中旬结束的中考体育测试中，我校取得优异成绩．九年级某班15位女同学的一分钟仰卧起坐成绩(单位：个)如表
成绩
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
4
2
5
1
这次测试成绩的中位数和众数分别是( )
A. 47，49 B. ，49 C. 48，49 D. 48，50
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义求解即可.
【详解】解：中位数是排序后第8个同学的成绩，即48，
49出现次数最多，所以众数是49.
故选C.
【点睛】本题考查求中位数和众数，在求中位数时，一定注意要先排序.
7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. B. C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：k<1且k≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
8.小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
9.已知□ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A. ∠DAE＝∠BAE B. ∠DEA＝ ∠DAB C. DE＝BE D. BC＝DE
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由作法可知AE平分∠DAB，所以∠DAE＝∠BAE，故本选项不符合题意；
B、∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠BAE＝∠DAB，故本选项不符合题意；
C、无法证明DE＝BE，故本选项符合题意；
D、∵∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∵AD＝BC，∴BC＝DE，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法和平行四边形的性质是解答此题的关键．
10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（ ）
A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四边形AFCE的面积为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠EAF＝135°及∠BAD＝90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝1，AC⊥BD，∠ADO＝∠ABO＝45°，
∴OD＝OB＝OA＝，∠ABF＝∠ADE＝135°，
在Rt△AEO中，EO＝，
∴DE＝，故A错误．
∵∠EAF＝135°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝45°，
∵∠ADO＝∠DAE＋∠AED＝45°，
∴∠BAF＝∠AED，
∴△ABF∽△EDA，
∴，
∴，
AF＝，故C正确，
OF=
tan∠AFO＝，故B错误，
∴S四边形AECF＝•AC•EF＝××＝，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠EAF＝135°和∠BAD＝90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出AF的长，然后根据对称性求出四边形的面积．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.分解因式：x3y-xy=______．
【答案】
【解析】
原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1），
故答案为xy（x+1）（x﹣1）
12.如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=46°，则∠2=______．
【答案】157°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠GEB＝∠1＝46°，然后根据EF为∠GEB的平分线可得出∠FEB的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2的度数．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠1＝46°，
∵EF为∠GEB的平分线，
∴∠FEB＝∠GEB＝23°，
∴∠2＝180°−∠FEB＝157°．
故答案为150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
13.如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是 cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【详解】设底面圆的半径是r，则2πr=6π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高==4cm．
故答案为4.
14.如图，直线经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组
0＜kx+b＜x的解集为 ．
【答案】3＜x＜6．
【解析】
如图，作的图象，
知经过A（3，1），则不等式组0＜kx+b＜x的解集即直线在x轴上方和直线下方时x的范围．∴3＜x＜6．
15.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______．
【答案】x=-1．
【解析】
试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．
试题解析：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x=，即x=-1．
考点：抛物线与x轴的交点．
【此处有视频，请去附件查看】
16.如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．
【答案】1.5或3
【解析】
根据矩形的性质，利用勾股定理求得AC==5，由题意，可分△EFC是直角三角形的两种情况：
如图1，当∠EFC=90°时，由∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，可知点F在对角线AC上，且AE是∠BAC的平分线，所以可得BE=EF，然后再根据相似三角形的判定与性质，可知△ABC∽△EFC，即，代入数据可得，解得BE=1.5；
如图2，当∠FEC=90°，可知四边形ABEF是正方形，从而求出BE=AB=3.
故答案为1.5或3.
点睛：此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，利用勾股定理列方程求解是常用的方法，本题难点在于分类讨论，做出图形更形象直观.
17.如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(3，4)，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为______．
【答案】y=
【解析】
试题分析：∵A的坐标为（3，4），
∴OA==5，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB=OA=5，AB∥OC，
∴B（8，4），
把B（8，4）代入得k=8×4=32，
∴反比例函数的表达式为（x＞0）．
考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式．
18.如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（），已知y与t之间的函数图象如图2所示．
给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②=48；③当14＜t＜22时，y=110-5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t=14.5．
其中正确结论的序号是_______．
【答案】①③⑤．
【解析】
解：由图象可以判定：BE=BC=10 cm．DE=4 cm，当点P在ED上运动时，S△BPQ=BC•AB=40cm2，∴AB=8 cm，∴AE=6 cm，∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP=BQ，∴△BPQ是等腰三角形，故①正确；
S△ABE=AB•AE=24 cm2，故②错误；
当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y=110﹣5t，故③正确；
△ABP为等腰直角三角形需要分类讨论：当AB=AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA=BO时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA=PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意，故④错误；
⑤△BPQ与△ABE相似时，只有；△BPQ∽△BEA这种情况，此时点Q与点C重合，即，∴PC=7.5，即t=14.5．
故⑤正确．
综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．
故答案为①③⑤．
点睛：本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．
三、解答题（19小题10分、20小题12分，共22分）
19.先化简，再求值：[-]÷，其中x=tan45°-6sin30°．
【答案】，．
【解析】
试题分析：原式括号中第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式=[﹣]•x=•x=，
当x=tan45°﹣6sin30°=1﹣3=﹣2时，原式=．
20.某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：
(1)在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
【答案】（1）5，20，80；（2）图见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据喜欢跳绳的人数以及所占的比例求得总人数，然后用总人数减去喜欢跳绳、乒乓球、其它的人数即可得；
（2）用乒乓球的人数除以总人数即可得；
（3）用800乘以喜欢篮球人数所占比例即可得；
（4）根据（1）中求得喜欢篮球的人数即可补全条形图；
（5）画树状图可得所有可能的情况，根据树状图求得2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果，根据概率公式进行计算即可.
【详解】（1）调查的总人数为20÷40%=50（人），
喜欢篮球项目的同学的人数=50﹣20﹣10﹣15=5（人）；
（2）“乒乓球”的百分比==20%；
（3）800×=80，
所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；
（4）如图所示，
（5）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率=．
四、解答题（21题10分、22题10分，共20分）
21.小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】（1）y=10x+20；（2）t=40；（3）小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
【解析】
（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值；
（3）利用已知由x=5代入求出饮水机的温度即可．
（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得，解得：，
故此函数解析式为：y=10x+20；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=，
依据题意，得：100=，即m=800，故y=，
当y=20时，20=，解得：t=40；
（3）∵45﹣40=5≤8，
∴当x=5时，y=10×5+20=70，
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
“点睛”本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键，同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．
22.向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB的长度．
【答案】灯杆AB的长度为2.8米．
【解析】
分析】
过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10．设AF=x知EF=AF=x、DF==，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8．
【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10．
由题意得：∠ADE=α，∠E=45°．
设AF=x．
∵∠E=45°，∴EF=AF=x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF=，∴DF==．
∵DE=13.3，∴x+=13.3，∴x=11.4，∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4．
∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°，∴AB=2AG=2.8．
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
五、解答题（23题12分、24题14分，共26分）
23.已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明见解析（2）4.8
【解析】
【分析】
（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】（1）连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=，
∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12﹣r．
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r=2.4．
则圆的直径是4.8．
24.铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y/盒
10
x+6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
【答案】（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元； （3）第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
【解析】
试题分析：（1）设p=kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；
（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．
试题解析：（1）设p=kx+b（k≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴，解得：，所以p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为，
当1≤x≤6时，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴当x=13时，w最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
六、解答题（本题14分）
25.如图，正方形ABCD，点P在射线CB上运动(不包含点B、C)，连接DP，交AB于点M，作BE⊥DP于点E，连接AE，作∠FAD=∠EAB，FA交DP于点F．
(1)如图a，当点P在CB的延长线上时，
①求证：DF=BE；
②请判断DE、BE、AE之间的数量关系并证明；
(2)如图b，当点P在线段BC上时，DE、BE、AE之间有怎样数量关系？请直接写出答案，不必证明；
(3)如果将已知中的正方形ABCD换成矩形ABCD，且AD：AB=：1，其他条件不变，当点P在射线CB上时，DE、BE、AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．
【答案】（1）详见解析；②DE=BE+AE，理由详见解析；（2）DE=AE﹣BE；（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．
【解析】
分析】
（1）①由正方形的性质得到AD＝AB，∠BAD＝90°，判断出△ABE≌△ADF，即可；②由①得到△ABE≌△ADF，并且判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理即可；
（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE≌△ADF，再用判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理即可；
（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE∽△ADF，AF＝AE，DF＝BE，再判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理结合图形可得结论．
【详解】（1）①正方形ABCD中，AD=AB，∠ADM+∠AMD=90°
∵BE⊥DP，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∵∠AMD=∠BME，
∴∠EBM=∠ADM，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴DF=BE；
②DE=BE+AE，
理由：由（1）有△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴EF=AE，
∵DE=DF+EF，
∴DE=BE+AE；
（2）DE=AE﹣BE；
理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∵∠FAD=∠EAB，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵BE⊥DP，
∴∠BEA+∠AEF=90°，
∴∠BEA=∠AFE，
∵∠FAD=∠EAB，AD=AB
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，BE=DF
∵∠EAF=90°
∴EF=AE，
∵EF=DF+DE=AE，
∴DE=AE﹣DF=AE﹣BE；
（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．
①如图1所示时，
正方形ABCD中，∠ADM+∠AMD=90°
∵BE⊥DP，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∵∠AMD=∠BME，
∴∠EBM=∠ADM，
∵∠FAD=∠EAB
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∵AD：AB=：1，
∴，
∴AF=AE，DF=BE
∵∠FAD=∠EAB
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，
∴EF==2AE=DE﹣DF=DE﹣BE，
即：DE=2AE+BE；
②如图2所示，
∵∠DAF=∠BAE，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠DAF=∠BAE，
∴△BAE∽△DAF，
∴，
∵AD：AB=：1，
∴，
∴AF=AE，DF=BE，
∵∠EAF=90°，
根据勾股定理得，EF==2AE=DE+DF=DE+BE，
∴DE=2AE﹣BE．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理得到线段的关系．
七、解答题（本题14分）
26.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG•AE，
=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m，
=（m-）2+，
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=或，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
2019年大洼区联合校九年级下学期第一次模考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填写在答题卡上.每小题3分，共30分）
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物，28.3亿吨用科学记数法表示为
A. 28.3×107 B. 2.83×108 C. 0.283×1010 D. 2.83×109
【答案】D
【解析】
试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．可得28.3亿=28.3×108=2.83×109．
故选D．
考点：科学记数法—表示较大的数
3.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
4.下列计算中，不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、同底数幂乘法、去括号和单项式除以单项式分别计算即可.
【详解】解：B. ，原式错误，
A、C、D均正确，
故选B.
【点睛】本题考查完全平方公式、同底数幂乘法、去括号和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键.
5.已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．
6.在五月中旬结束的中考体育测试中，我校取得优异成绩．九年级某班15位女同学的一分钟仰卧起坐成绩(单位：个)如表
成绩
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
4
2
5
1
这次测试成绩的中位数和众数分别是( )
A. 47，49 B. ，49 C. 48，49 D. 48，50
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义求解即可.
【详解】解：中位数是排序后第8个同学的成绩，即48，
49出现次数最多，所以众数是49.
故选C.
【点睛】本题考查求中位数和众数，在求中位数时，一定注意要先排序.
7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. B. C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：k<1且k≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
8.小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
9.已知□ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A. ∠DAE＝∠BAE B. ∠DEA＝ ∠DAB C. DE＝BE D. BC＝DE
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由作法可知AE平分∠DAB，所以∠DAE＝∠BAE，故本选项不符合题意；
B、∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠BAE＝∠DAB，故本选项不符合题意；
C、无法证明DE＝BE，故本选项符合题意；
D、∵∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∵AD＝BC，∴BC＝DE，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法和平行四边形的性质是解答此题的关键．
10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（ ）
A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四边形AFCE的面积为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠EAF＝135°及∠BAD＝90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝1，AC⊥BD，∠ADO＝∠ABO＝45°，
∴OD＝OB＝OA＝，∠ABF＝∠ADE＝135°，
在Rt△AEO中，EO＝，
∴DE＝，故A错误．
∵∠EAF＝135°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝45°，
∵∠ADO＝∠DAE＋∠AED＝45°，
∴∠BAF＝∠AED，
∴△ABF∽△EDA，
∴，
∴，
AF＝，故C正确，
OF=
tan∠AFO＝，故B错误，
∴S四边形AECF＝•AC•EF＝××＝，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠EAF＝135°和∠BAD＝90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出AF的长，然后根据对称性求出四边形的面积．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.分解因式：x3y-xy=______．
【答案】
【解析】
原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1），
故答案为xy（x+1）（x﹣1）
12.如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=46°，则∠2=______．
【答案】157°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠GEB＝∠1＝46°，然后根据EF为∠GEB的平分线可得出∠FEB的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2的度数．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠1＝46°，
∵EF为∠GEB的平分线，
∴∠FEB＝∠GEB＝23°，
∴∠2＝180°−∠FEB＝157°．
故答案为150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
13.如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是 cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【详解】设底面圆的半径是r，则2πr=6π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高==4cm．
故答案为4.
14.如图，直线经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组
0＜kx+b＜x的解集为 ．
【答案】3＜x＜6．
【解析】
如图，作的图象，
知经过A（3，1），则不等式组0＜kx+b＜x的解集即直线在x轴上方和直线下方时x的范围．∴3＜x＜6．
15.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______．
【答案】x=-1．
【解析】
试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．
试题解析：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x=，即x=-1．
考点：抛物线与x轴的交点．
【此处有视频，请去附件查看】
16.如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．
【答案】1.5或3
【解析】
根据矩形的性质，利用勾股定理求得AC==5，由题意，可分△EFC是直角三角形的两种情况：
如图1，当∠EFC=90°时，由∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，可知点F在对角线AC上，且AE是∠BAC的平分线，所以可得BE=EF，然后再根据相似三角形的判定与性质，可知△ABC∽△EFC，即，代入数据可得，解得BE=1.5；
如图2，当∠FEC=90°，可知四边形ABEF是正方形，从而求出BE=AB=3.
故答案为1.5或3.
点睛：此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，利用勾股定理列方程求解是常用的方法，本题难点在于分类讨论，做出图形更形象直观.
17.如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(3，4)，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为______．
【答案】y=
【解析】
试题分析：∵A的坐标为（3，4），
∴OA==5，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB=OA=5，AB∥OC，
∴B（8，4），
把B（8，4）代入得k=8×4=32，
∴反比例函数的表达式为（x＞0）．
考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式．
18.如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（），已知y与t之间的函数图象如图2所示．
给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②=48；③当14＜t＜22时，y=110-5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t=14.5．
其中正确结论的序号是_______．
【答案】①③⑤．
【解析】
解：由图象可以判定：BE=BC=10 cm．DE=4 cm，当点P在ED上运动时，S△BPQ=BC•AB=40cm2，∴AB=8 cm，∴AE=6 cm，∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP=BQ，∴△BPQ是等腰三角形，故①正确；
S△ABE=AB•AE=24 cm2，故②错误；
当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y=110﹣5t，故③正确；
△ABP为等腰直角三角形需要分类讨论：当AB=AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA=BO时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA=PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意，故④错误；
⑤△BPQ与△ABE相似时，只有；△BPQ∽△BEA这种情况，此时点Q与点C重合，即，∴PC=7.5，即t=14.5．
故⑤正确．
综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．
故答案为①③⑤．
点睛：本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．
三、解答题（19小题10分、20小题12分，共22分）
19.先化简，再求值：[-]÷，其中x=tan45°-6sin30°．
【答案】，．
【解析】
试题分析：原式括号中第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式=[﹣]•x=•x=，
当x=tan45°﹣6sin30°=1﹣3=﹣2时，原式=．
20.某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：
(1)在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
【答案】（1）5，20，80；（2）图见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据喜欢跳绳的人数以及所占的比例求得总人数，然后用总人数减去喜欢跳绳、乒乓球、其它的人数即可得；
（2）用乒乓球的人数除以总人数即可得；
（3）用800乘以喜欢篮球人数所占比例即可得；
（4）根据（1）中求得喜欢篮球的人数即可补全条形图；
（5）画树状图可得所有可能的情况，根据树状图求得2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果，根据概率公式进行计算即可.
【详解】（1）调查的总人数为20÷40%=50（人），
喜欢篮球项目的同学的人数=50﹣20﹣10﹣15=5（人）；
（2）“乒乓球”的百分比==20%；
（3）800×=80，
所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；
（4）如图所示，
（5）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率=．
四、解答题（21题10分、22题10分，共20分）
21.小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】（1）y=10x+20；（2）t=40；（3）小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
【解析】
（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值；
（3）利用已知由x=5代入求出饮水机的温度即可．
（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得，解得：，
故此函数解析式为：y=10x+20；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=，
依据题意，得：100=，即m=800，故y=，
当y=20时，20=，解得：t=40；
（3）∵45﹣40=5≤8，
∴当x=5时，y=10×5+20=70，
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
“点睛”本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键，同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．
22.向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB的长度．
【答案】灯杆AB的长度为2.8米．
【解析】
分析】
过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10．设AF=x知EF=AF=x、DF==，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8．
【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10．
由题意得：∠ADE=α，∠E=45°．
设AF=x．
∵∠E=45°，∴EF=AF=x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF=，∴DF==．
∵DE=13.3，∴x+=13.3，∴x=11.4，∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4．
∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°，∴AB=2AG=2.8．
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
五、解答题（23题12分、24题14分，共26分）
23.已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明见解析（2）4.8
【解析】
【分析】
（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】（1）连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=，
∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12﹣r．
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r=2.4．
则圆的直径是4.8．
24.铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y/盒
10
x+6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
【答案】（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元； （3）第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
【解析】
试题分析：（1）设p=kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；
（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．
试题解析：（1）设p=kx+b（k≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴，解得：，所以p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为，
当1≤x≤6时，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴当x=13时，w最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
六、解答题（本题14分）
25.如图，正方形ABCD，点P在射线CB上运动(不包含点B、C)，连接DP，交AB于点M，作BE⊥DP于点E，连接AE，作∠FAD=∠EAB，FA交DP于点F．
(1)如图a，当点P在CB的延长线上时，
①求证：DF=BE；
②请判断DE、BE、AE之间的数量关系并证明；
(2)如图b，当点P在线段BC上时，DE、BE、AE之间有怎样数量关系？请直接写出答案，不必证明；
(3)如果将已知中的正方形ABCD换成矩形ABCD，且AD：AB=：1，其他条件不变，当点P在射线CB上时，DE、BE、AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．
【答案】（1）详见解析；②DE=BE+AE，理由详见解析；（2）DE=AE﹣BE；（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．
【解析】
分析】
（1）①由正方形的性质得到AD＝AB，∠BAD＝90°，判断出△ABE≌△ADF，即可；②由①得到△ABE≌△ADF，并且判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理即可；
（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE≌△ADF，再用判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理即可；
（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE∽△ADF，AF＝AE，DF＝BE，再判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理结合图形可得结论．
【详解】（1）①正方形ABCD中，AD=AB，∠ADM+∠AMD=90°
∵BE⊥DP，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∵∠AMD=∠BME，
∴∠EBM=∠ADM，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴DF=BE；
②DE=BE+AE，
理由：由（1）有△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴EF=AE，
∵DE=DF+EF，
∴DE=BE+AE；
（2）DE=AE﹣BE；
理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∵∠FAD=∠EAB，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵BE⊥DP，
∴∠BEA+∠AEF=90°，
∴∠BEA=∠AFE，
∵∠FAD=∠EAB，AD=AB
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，BE=DF
∵∠EAF=90°
∴EF=AE，
∵EF=DF+DE=AE，
∴DE=AE﹣DF=AE﹣BE；
（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．
①如图1所示时，
正方形ABCD中，∠ADM+∠AMD=90°
∵BE⊥DP，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∵∠AMD=∠BME，
∴∠EBM=∠ADM，
∵∠FAD=∠EAB
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∵AD：AB=：1，
∴，
∴AF=AE，DF=BE
∵∠FAD=∠EAB
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，
∴EF==2AE=DE﹣DF=DE﹣BE，
即：DE=2AE+BE；
②如图2所示，
∵∠DAF=∠BAE，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠DAF=∠BAE，
∴△BAE∽△DAF，
∴，
∵AD：AB=：1，
∴，
∴AF=AE，DF=BE，
∵∠EAF=90°，
根据勾股定理得，EF==2AE=DE+DF=DE+BE，
∴DE=2AE﹣BE．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理得到线段的关系．
七、解答题（本题14分）
26.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG•AE，
=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m，
=（m-）2+，
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=或，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
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