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初中数学中考复习 精品解析：内蒙古赤峰市2020年中考数学试题（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 精品解析：内蒙古赤峰市2020年中考数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题 .等内容，欢迎下载使用。
2020年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷
数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合愿意，请将符合题章的选项序号，在答题卡的对应.位上按要求涂黑.每小题3分，共42分)
1. 实数，-3，0，中，最小的数是（ ）
A. B. -3 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
去掉A、D选项中的绝对值和根式符号，再将四个选项的实数进行对比，即可求出答案．
【详解】解：A选项：|-5|=5，D 选项：=2，
∵-3＜0＜2＜5，
∴-3＜0＜＜|-5|，其中的最小值为-3，
故选：B．
【点睛】根据实数的大小比较法则，可得：负数＜0＜正数，两负数相比，绝对值大的反而小，两正数相比，绝对值大的大．
2. 2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.000 000 009 9秒.数据“0. 000 000 009 9”用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：0. 000 000 009 9用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是 （ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形
C. 正八边形 D. 圆及其一条弦
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的定义和各图形的性质找出各图形的旋转角，由此即可得．
【详解】如图1，等边三角形的旋转角为，是一个钝角
如图2，平行四边形的旋转角为，是一个平角
如图3，正八边形的旋转角为，是一个锐角
如图4，圆及一条弦的旋转角为
由此可知，旋转角度最小的是正八边形
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义，正确找出各图的旋转角是解题关键．
4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，
7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选B.
【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义
5. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. C. （x2）3=x5 D. m5÷m3=m2
【答案】D
【解析】
分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
详解：A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、3-=2，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、m5÷m3=m2，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题分别求解两个不等式解集，继而求其公共解集，最后在数轴上表示即可．
【详解】∵＞0，
∴＞．
∵，
∴，
∴，
故综上公共解集：＜，在数轴上表示C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的求解以及解集在数轴上的表示方法，按照移项、合并同类项、变号等原则求解不等式，数轴标注时注意实心与空心的区别．
7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A. 15 B. 18 C. 20 D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
9. 估计的值应在 （ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
10. 如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
11. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求．
【详解】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故选：A．
【点睛】本题考察了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，求出∠OBC的正弦值即可得到答案．
12. 某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，可用勾股定理求出圆锥母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为，其中R为圆锥底部圆的半径，为母线的长度，将其值代入公式，即可求出答案．
【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，
∴圆锥母线长为：cm，
又∵，将R=5cm，cm代入，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考察了用三视图判断几何体形状、勾股定理、圆锥侧面积计算，解题的关键在于通过题目中已给出的三视图判断出几何体的形状．
13. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【详解】作BD⊥BC交y轴于D，
∵轴，，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴的面积为4．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
14. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当P、Q分别在AB、AC上运动时，y=AP×QH=（2-t）×tsin60°；当P、Q分别在AC、DC上运动时，同理可得：，即可求解．
【详解】解：（1）当、分别在、上运动时，
是菱形，，则、为边长为2的等边三角形，
过点作于点，
，
函数最大值为，符合条件的有、、；
（2）当、分别在、上运动时，
同理可得：，
符合条件的有；
故选．
【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(请把箐案填写在答题卡相应的横线上.每小题3分，共12分)
15. 一个边形的内角和是它外角和的4倍，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和公式与外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．
【详解】多边形外角和是360°，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的性质．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
16. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__________米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
【详解】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则Rt△ADC中，米，
在Rt△ADB中，米，
∴米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键．
17. 某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试.下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：
某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩
划记
频数
百分比
优秀
a
30%
良好
30
b
合格
9
15%
不合格
3
5%
合计
60
60
100%
如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为__________人．
【答案】240
【解析】
【分析】
根据表中的已知信息，分别补全a、b的值，并计算出样本中身体素质良好及以上的人数所占百分比为80%，故七年级全体学生体素质良好及以上的人数=总人数80%．
【详解】解：根据已知样本人数60人，可得成绩优秀的人数为60-30-9-3=18人，且良好人数对应的百分比应为b=，样本中身体素质良好及以上的人数所占百分比为30%+50%=80%，
七年级共有300名学生，故其身体素质良好及以上的人数为(人)，
故答案为：240．
【点睛】本题主要考察了用样本的频数估计总体的频数，解题的关键在于根据已知条件补充完整频数分布表，根据样本中身体素质良好及以上的频数推测七年级全体学生身体素质良好及以上的频数．
18. 一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三、解答题(在答题卡上解答，箐在本试卷上无效，解箸时妻写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.共8题，满分96分) .
19. 先化简，再求值：，其中m满足：.
【答案】
，1．
【解析】
【分析】
将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出，将其代入化简后的公式，即可求得答案．
【详解】解：原式为
=
=
=
=，
又∵m满足，即，将代入上式化简的结果，
∴原式=．
【点睛】本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．
20. 小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.
（1）请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线，(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析
【解析】
【分析】
（1）顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份；
（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，保留尺规作图中垂线的痕迹．
【详解】解：（1）如下图所示，顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份：
（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，如下图所示，设第一刀与蛋糕边线的交点为A、B，分别以A、B为圆心，任一半径（比AB的一半长即可），画圆弧，圆弧交点的连线即为第二刀：
【点睛】本题主要考察了尺规作图—作中垂线，以线段的端点为圆心，做两个半径相等的圆（半径大于线段长度的一半），圆弧交点的连线即为中垂线．
21. 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有-个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圜A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戏: 丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗?请说明理由.
【答案】（1） ；（2）公平，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
（2）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫和甲甲跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
【详解】解：（1）当投掷点为1时，丫丫跳跃后到圈B；当投掷点为2时，丫丫跳跃后到圈C；当投掷点为3时，丫丫跳跃后到圈A；当投掷点为4时，丫丫跳跃后到圈B；
如图，
，
共3种等可能的结果，丫丫跳跃后到圈A只有一次，
故答案为：．
（2）由（1）知丫丫随机投掷一次骰子，跳跃后回到圈A的概率为 ；
甲甲随机投掷两次骰子，如图
共有等可能的情况有9种，其中甲甲跳跃后到圈A共3次，
P甲甲=
这个游戏公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意根据题意画树状图，然后利用概率=所求情况数与总情况数之比求解是关键．
22. 甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
（2）我市计划修建长度为3600 m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0. 5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
【答案】（1）甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；（2）至少安排乙队施工32天．
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据甲工程队修500米公路需要的天数=乙工程队修500米公路需要的天数－5即可列出分式方程，解方程并检验后即得答案；
（2）设安排乙队施工y天，根据甲工程队施工费用+乙工程队施工费用≤40万元即可列出不等式，解不等式即可求出y的范围，进而可得结果．
【详解】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，
根据题意，得，
解得：x=50，
经检验：x=50是所列方程的根，2x=100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙队施工y天，根据题意，得，
解得：，所以y最小为32．
答：至少安排乙队施工32天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等和不等关系是解题的关键．
23. 如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
（1）求证:PD是的切线；
（2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）AB=13，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP，因为PDAC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA =∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；
（2）作PEAC，在等腰PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=，AC=12，用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度．
【详解】解：（1）如图所示，连接OP，
∵PDAC，
∴∠DPA =∠PAC（两直线平行，内错角相等），
又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是所对圆周角，∠PCA是所对圆周角，
∴=，且∠PBA是所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角，
∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，
又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP，
∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如下图所示，作PEAC，
∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，
∴AE=6，且tan∠PAC==，故PE=4，
由勾股定理可得：，
由（1）已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=，
∴，故，
由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等角，利用角的代换来做题．
24. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
25. 如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点.
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为，（2）点Q（2，-1），（3）存在，满足条件的点M有8个，M（，）
【解析】
【分析】
（1）求出点C坐标，将A、B、C坐标代入抛物线，即可求解．
（2）设出直线BC平移后的函数，令直线与抛物线函数相等，Δ等于零，求出Q坐标即可．
（3）利用△OBC∽△EMN，得到两种情况∠MEN=∠OCB，∠MEN=∠OBC；利用，，得到M的横坐标的方程，解方程即可．
【详解】（1）由题意知：直线经过B，C两点
∴将x=0代入直线，解得y=2
∴C（0，2）
由题意知：A(1 ，0) ，B(4，0)，C（0，2）代入抛物线，
可得
解得 ， ，
∴抛物线解析式为．
（2）由题意知：设直线BC平移后的函数为
∵直线BC平移后与抛物线有唯一公共点Q，
∴
化简得
即
∴直线BC平移后的函数为
令
解得，
∴点Q（2，-1）．
（3）如图所示，过点M作MP⊥EN，设M点坐标为（m，n）．
由题意知：△OBC∽△EMN
分两种情况讨论：
第一种，∠MEN=∠OCB
在Rt△OBC中，
∵OC=2，OB=4
∴
∴
又∵点Q（2，-1），QE⊥AB
∴点E（2，0）
∴
代入抛物线可得
化简
如图所示，有4个交点
第二种，∠MEN=∠OBC
在△RtOBC中，
∵OC=2，OB=4
∴
∴
又∵点Q（2，-1），QE⊥AB
∴点E（2，0）
∴
代入抛物线可得
化简
如图所示，有4个交点
综上所述，有8个交点．
由上述可知M只要满足下列任意一个函数即可；
∴令（m>4），
解得，（舍）．
∴M（，）．
【点睛】本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题的解法是解题的关键．
26. 如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接 PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.，AD =4.
（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM___ ∠EPN；
②的值是 ；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.
【答案】（1）①=；②；（2）成立，证明见解析；（3），最小值为
【解析】
【分析】
（1）①根据PE⊥PD， MN⊥AB得到∠DPE=90°，∠PMD=∠PNE=90°，即可得到∠PDM=∠EPN；
②根据CD=，AD =4，∠ADC=90°，得到∠ACD=30°，设MP=x，则NP=4-x，得到MC=MP=x，DM=-x=（4-x），证明△PDM∽△EPN，得到答案；
（2）设NP=a，则MP=4+a，证明△PDM∽△EPN，即可得到结论成立；
（3）利用勾股定理求出，再根据矩形的面积公式计算得到函数关系式.
【详解】（1）①∵PE⊥PD，
∴∠DPE=90°，
∴∠DPM+∠EPN=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠PMD=∠PNE=90°，
∴∠PDM+∠DPM=90°，
∴∠PDM=∠EPN；
故答案为：=；
②∵CD=，AD =4，∠ADC=90°，
∴tan∠ACD=,
∴∠ACD=30°，
设MP=x，则NP=4-x，
∴MC=MP=x，DM=-x=（4-x），
∵∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PDM∽△EPN，
∴==，
故答案为：；
（2）成立，
设NP=a，则MP=4+a，
∵∠ACD=30°，
∴MC=（4+a），
∴MD=(4+a)-4=a，
由（1）同理得∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PDM∽△EPN，
∴=，
（3）∵PM=x，
∴PN=4-x，EN=，
∴，
∴，，
∴矩形PEFD的面积为y=，
∵>0，
∴当x=3时，y有最小值为.
【点睛】此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.
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2020年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷
数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合愿意，请将符合题章的选项序号，在答题卡的对应.位上按要求涂黑.每小题3分，共42分)
1. 实数，-3，0，中，最小的数是（ ）
A. B. -3 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
去掉A、D选项中的绝对值和根式符号，再将四个选项的实数进行对比，即可求出答案．
【详解】解：A选项：|-5|=5，D 选项：=2，
∵-3＜0＜2＜5，
∴-3＜0＜＜|-5|，其中的最小值为-3，
故选：B．
【点睛】根据实数的大小比较法则，可得：负数＜0＜正数，两负数相比，绝对值大的反而小，两正数相比，绝对值大的大．
2. 2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.000 000 009 9秒.数据“0. 000 000 009 9”用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：0. 000 000 009 9用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是 （ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形
C. 正八边形 D. 圆及其一条弦
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的定义和各图形的性质找出各图形的旋转角，由此即可得．
【详解】如图1，等边三角形的旋转角为，是一个钝角
如图2，平行四边形的旋转角为，是一个平角
如图3，正八边形的旋转角为，是一个锐角
如图4，圆及一条弦的旋转角为
由此可知，旋转角度最小的是正八边形
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义，正确找出各图的旋转角是解题关键．
4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，
7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选B.
【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义
5. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. C. （x2）3=x5 D. m5÷m3=m2
【答案】D
【解析】
分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
详解：A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、3-=2，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、m5÷m3=m2，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题分别求解两个不等式解集，继而求其公共解集，最后在数轴上表示即可．
【详解】∵＞0，
∴＞．
∵，
∴，
∴，
故综上公共解集：＜，在数轴上表示C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的求解以及解集在数轴上的表示方法，按照移项、合并同类项、变号等原则求解不等式，数轴标注时注意实心与空心的区别．
7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A. 15 B. 18 C. 20 D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
9. 估计的值应在 （ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
10. 如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
11. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求．
【详解】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故选：A．
【点睛】本题考察了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，求出∠OBC的正弦值即可得到答案．
12. 某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，可用勾股定理求出圆锥母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为，其中R为圆锥底部圆的半径，为母线的长度，将其值代入公式，即可求出答案．
【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，
∴圆锥母线长为：cm，
又∵，将R=5cm，cm代入，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考察了用三视图判断几何体形状、勾股定理、圆锥侧面积计算，解题的关键在于通过题目中已给出的三视图判断出几何体的形状．
13. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【详解】作BD⊥BC交y轴于D，
∵轴，，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴的面积为4．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
14. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当P、Q分别在AB、AC上运动时，y=AP×QH=（2-t）×tsin60°；当P、Q分别在AC、DC上运动时，同理可得：，即可求解．
【详解】解：（1）当、分别在、上运动时，
是菱形，，则、为边长为2的等边三角形，
过点作于点，
，
函数最大值为，符合条件的有、、；
（2）当、分别在、上运动时，
同理可得：，
符合条件的有；
故选．
【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(请把箐案填写在答题卡相应的横线上.每小题3分，共12分)
15. 一个边形的内角和是它外角和的4倍，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和公式与外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．
【详解】多边形外角和是360°，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的性质．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
16. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__________米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
【详解】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则Rt△ADC中，米，
在Rt△ADB中，米，
∴米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键．
17. 某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试.下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：
某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩
划记
频数
百分比
优秀
a
30%
良好
30
b
合格
9
15%
不合格
3
5%
合计
60
60
100%
如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为__________人．
【答案】240
【解析】
【分析】
根据表中的已知信息，分别补全a、b的值，并计算出样本中身体素质良好及以上的人数所占百分比为80%，故七年级全体学生体素质良好及以上的人数=总人数80%．
【详解】解：根据已知样本人数60人，可得成绩优秀的人数为60-30-9-3=18人，且良好人数对应的百分比应为b=，样本中身体素质良好及以上的人数所占百分比为30%+50%=80%，
七年级共有300名学生，故其身体素质良好及以上的人数为(人)，
故答案为：240．
【点睛】本题主要考察了用样本的频数估计总体的频数，解题的关键在于根据已知条件补充完整频数分布表，根据样本中身体素质良好及以上的频数推测七年级全体学生身体素质良好及以上的频数．
18. 一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三、解答题(在答题卡上解答，箐在本试卷上无效，解箸时妻写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.共8题，满分96分) .
19. 先化简，再求值：，其中m满足：.
【答案】
，1．
【解析】
【分析】
将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出，将其代入化简后的公式，即可求得答案．
【详解】解：原式为
=
=
=
=，
又∵m满足，即，将代入上式化简的结果，
∴原式=．
【点睛】本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．
20. 小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.
（1）请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线，(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析
【解析】
【分析】
（1）顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份；
（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，保留尺规作图中垂线的痕迹．
【详解】解：（1）如下图所示，顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份：
（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，如下图所示，设第一刀与蛋糕边线的交点为A、B，分别以A、B为圆心，任一半径（比AB的一半长即可），画圆弧，圆弧交点的连线即为第二刀：
【点睛】本题主要考察了尺规作图—作中垂线，以线段的端点为圆心，做两个半径相等的圆（半径大于线段长度的一半），圆弧交点的连线即为中垂线．
21. 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有-个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圜A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戏: 丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗?请说明理由.
【答案】（1） ；（2）公平，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
（2）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫和甲甲跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
【详解】解：（1）当投掷点为1时，丫丫跳跃后到圈B；当投掷点为2时，丫丫跳跃后到圈C；当投掷点为3时，丫丫跳跃后到圈A；当投掷点为4时，丫丫跳跃后到圈B；
如图，
，
共3种等可能的结果，丫丫跳跃后到圈A只有一次，
故答案为：．
（2）由（1）知丫丫随机投掷一次骰子，跳跃后回到圈A的概率为 ；
甲甲随机投掷两次骰子，如图
共有等可能的情况有9种，其中甲甲跳跃后到圈A共3次，
P甲甲=
这个游戏公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意根据题意画树状图，然后利用概率=所求情况数与总情况数之比求解是关键．
22. 甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
（2）我市计划修建长度为3600 m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0. 5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
【答案】（1）甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；（2）至少安排乙队施工32天．
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据甲工程队修500米公路需要的天数=乙工程队修500米公路需要的天数－5即可列出分式方程，解方程并检验后即得答案；
（2）设安排乙队施工y天，根据甲工程队施工费用+乙工程队施工费用≤40万元即可列出不等式，解不等式即可求出y的范围，进而可得结果．
【详解】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，
根据题意，得，
解得：x=50，
经检验：x=50是所列方程的根，2x=100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙队施工y天，根据题意，得，
解得：，所以y最小为32．
答：至少安排乙队施工32天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等和不等关系是解题的关键．
23. 如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
（1）求证:PD是的切线；
（2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）AB=13，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP，因为PDAC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA =∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；
（2）作PEAC，在等腰PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=，AC=12，用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度．
【详解】解：（1）如图所示，连接OP，
∵PDAC，
∴∠DPA =∠PAC（两直线平行，内错角相等），
又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是所对圆周角，∠PCA是所对圆周角，
∴=，且∠PBA是所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角，
∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，
又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP，
∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如下图所示，作PEAC，
∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，
∴AE=6，且tan∠PAC==，故PE=4，
由勾股定理可得：，
由（1）已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=，
∴，故，
由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等角，利用角的代换来做题．
24. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
25. 如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点.
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为，（2）点Q（2，-1），（3）存在，满足条件的点M有8个，M（，）
【解析】
【分析】
（1）求出点C坐标，将A、B、C坐标代入抛物线，即可求解．
（2）设出直线BC平移后的函数，令直线与抛物线函数相等，Δ等于零，求出Q坐标即可．
（3）利用△OBC∽△EMN，得到两种情况∠MEN=∠OCB，∠MEN=∠OBC；利用，，得到M的横坐标的方程，解方程即可．
【详解】（1）由题意知：直线经过B，C两点
∴将x=0代入直线，解得y=2
∴C（0，2）
由题意知：A(1 ，0) ，B(4，0)，C（0，2）代入抛物线，
可得
解得 ， ，
∴抛物线解析式为．
（2）由题意知：设直线BC平移后的函数为
∵直线BC平移后与抛物线有唯一公共点Q，
∴
化简得
即
∴直线BC平移后的函数为
令
解得，
∴点Q（2，-1）．
（3）如图所示，过点M作MP⊥EN，设M点坐标为（m，n）．
由题意知：△OBC∽△EMN
分两种情况讨论：
第一种，∠MEN=∠OCB
在Rt△OBC中，
∵OC=2，OB=4
∴
∴
又∵点Q（2，-1），QE⊥AB
∴点E（2，0）
∴
代入抛物线可得
化简
如图所示，有4个交点
第二种，∠MEN=∠OBC
在△RtOBC中，
∵OC=2，OB=4
∴
∴
又∵点Q（2，-1），QE⊥AB
∴点E（2，0）
∴
代入抛物线可得
化简
如图所示，有4个交点
综上所述，有8个交点．
由上述可知M只要满足下列任意一个函数即可；
∴令（m>4），
解得，（舍）．
∴M（，）．
【点睛】本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题的解法是解题的关键．
26. 如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接 PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.，AD =4.
（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM___ ∠EPN；
②的值是 ；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.
【答案】（1）①=；②；（2）成立，证明见解析；（3），最小值为
【解析】
【分析】
（1）①根据PE⊥PD， MN⊥AB得到∠DPE=90°，∠PMD=∠PNE=90°，即可得到∠PDM=∠EPN；
②根据CD=，AD =4，∠ADC=90°，得到∠ACD=30°，设MP=x，则NP=4-x，得到MC=MP=x，DM=-x=（4-x），证明△PDM∽△EPN，得到答案；
（2）设NP=a，则MP=4+a，证明△PDM∽△EPN，即可得到结论成立；
（3）利用勾股定理求出，再根据矩形的面积公式计算得到函数关系式.
【详解】（1）①∵PE⊥PD，
∴∠DPE=90°，
∴∠DPM+∠EPN=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠PMD=∠PNE=90°，
∴∠PDM+∠DPM=90°，
∴∠PDM=∠EPN；
故答案为：=；
②∵CD=，AD =4，∠ADC=90°，
∴tan∠ACD=,
∴∠ACD=30°，
设MP=x，则NP=4-x，
∴MC=MP=x，DM=-x=（4-x），
∵∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PDM∽△EPN，
∴==，
故答案为：；
（2）成立，
设NP=a，则MP=4+a，
∵∠ACD=30°，
∴MC=（4+a），
∴MD=(4+a)-4=a，
由（1）同理得∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PDM∽△EPN，
∴=，
（3）∵PM=x，
∴PN=4-x，EN=，
∴，
∴，，
∴矩形PEFD的面积为y=，
∵>0，
∴当x=3时，y有最小值为.
【点睛】此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.
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