2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共42页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模）
一、选一选（共6小题，每小题3分，共18分）
1. ﹣9的相反数是【 】
A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣
2. 某种流感的直径是0.00000008m，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A. 8×10﹣6m B. 8×10﹣5m C. 8×10﹣8m D. 8×10﹣4m
3. 在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　）
A. （﹣5，﹣2） B. （﹣2，﹣5） C. （﹣2，5） D. （2，﹣5）
4. 702班某兴趣小组有7名成员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，12，13，15，则他们年龄的众数和中位数分别为（　　）
A. 13，14 B. 14，13 C. 13，13 D．13，13.5
5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为(　　)

A. B. C. D.
6. 已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　）
A. ﹣402 B. C. D.
二、填 空 题（共8小题，每小题3分，共24分）
7. 分解因式：x﹣2xy+xy2＝_____．
8. 计算：（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0=_____．
9. 若等式（x3﹣2）0=1成立，则x取值范围是_____．
10. 某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是万元，现在生产这种药品每吨的成本为万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为，则可列方程为________．
11. 若一个圆锥底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____度．
12. 关于分式方程的解为正数，则的取值范围是___________．
13. 如图，直线A（3，1）和B（6，0）两点，则没有等式组0＜kx+b＜x解集为_____．

14. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积S=__________.

　
三、解 答 题（共78分）
15. 解方程：
16. 先化简，再求值：，其中a＝+1．
17. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
18. 2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了没有准酒后驾车的禁令，某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的，本次结果共有四种情况：①有时会喝点酒开车；②已戒酒或从没有喝酒；③酒后没有开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天没有喝酒．将这次情况整理并绘制成如下尚没有完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题．

（1）该记者本次一共
了 名司机．
（2）求图①中④所在扇形的圆心角，并补全图②．
（3）在本次中，记者随机采访其中一名司机，求他属于第②种情况的概率．
（4）请估计在开车10万名司机中，违反“酒驾”禁令的人数．
19. 如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点，交于点．求证：

20. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

21. 某公司一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．若只在国内，价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）．
（1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内的月利润？若在国外月利润的值与在国内月利润的值相同，求a的值．
22. 如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若没有存在，请说明理由．
23. 如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．







2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模）
一、选一选（共6小题，每小题3分，共18分）
1. ﹣9的相反数是【 】
A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣
【正确答案】A

【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号没有同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此﹣9的相反数是9．故选A．
2. 某种流感的直径是0.00000008m，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A. 8×10﹣6m B. 8×10﹣5m C. 8×10﹣8m D. 8×10﹣4m
【正确答案】C

【详解】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．因此0.00000008=8×10﹣8.
故选C.
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　）
A. （﹣5，﹣2） B. （﹣2，﹣5） C. （﹣2，5） D. （2，﹣5）
【正确答案】C

【详解】根据关于y轴对称的点的坐标特点“横变纵没有变”，可知点P（2，5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，5）
故选C．
4. 702班某兴趣小组有7名成员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，12，13，15，则他们年龄的众数和中位数分别为（　　）
A. 13，14 B. 14，13 C. 13，13 D．13，13.5
【正确答案】C

【详解】众数是在一组数据中，出现次数至多的数据，这组数据中，出现次数至多的是13，故这组数据的众数为13．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为12，12，13，13，13，14，15，因此中位数是按从小到大排列后第4个数为：13．
故选：C.
5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为(　　)

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线，∴b=-a＜0.
当x=1时，a+b+c<0，
∴函数图象、二、四象限，反比例函数图象第二、四象限．
故选D
考点：1.函数、反比例函数和二次函数图象；2.数形思想的应用.
6. 已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　）
A. ﹣402 B. C. D.
【正确答案】C

【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，
∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．
故选：C．
二、填 空 题（共8小题，每小题3分，共24分）
7. 分解因式：x﹣2xy+xy2＝_____．
【正确答案】x（y﹣1）2

【分析】先提取公因式x，再运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】x﹣2xy+xy2，
＝x（1﹣2y+y2），
＝x（y﹣1）2．
故x（y﹣1）2．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
8. 计算：（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0=_____．
【正确答案】﹣2

【详解】根据实数的混合运算的法则，负整指数幂、二次根式、角的三角函数值、零次幂的性质可得：
（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0
=-8+5-++1
=-2
故答案为-2.
9. 若等式（x3﹣2）0=1成立，则x的取值范围是_____．
【正确答案】x≠．

【详解】根据零次幂的性质（a≠0），可知x3﹣2≠0，解得x≠，所以x的取值范围为x≠.
故答案为x≠.
10. 某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是万元，现在生产这种药品每吨的成本为万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为，则可列方程为________．
【正确答案】

【分析】本题可设这种药品的成本的年平均下降率为x，则一年前这种药品的成本为万元，今年在元的基础之又下降x，变为即万元，进而可列出方程，求出答案．
【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x，则今年的这种药品的成本为100(1−x)2万元，
根据题意得，.
故答案为.
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程求解.
11. 若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____度．
【正确答案】120

【详解】根据圆锥的底面积是侧面积的得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数
12. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________．
【正确答案】且.

【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列没有等式得出m的取值范围．
【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程的解为正数，
∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案m＞2且m≠3．
13. 如图，直线A（3，1）和B（6，0）两点，则没有等式组0＜kx+b＜x的解集为_____．

【正确答案】3＜x＜6

【分析】画出函数图象，利用数形思想求没有等式组的解集即可．
【详解】如图，作的图象，

知A（3，1），
则没有等式组0＜kx+b＜x的解集即为：
直线在x轴上方和直线下方时x的范围．
∴3＜x＜6．
14. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积S=__________.

【正确答案】30

【详解】∵△ABD，△ACE都等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠DAE=135°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC.
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC=DF=AE=12，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=5，
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∴∠FDA=180°−∠DAE=30°，
∴S▱AEFD=AD⋅(DF⋅sin45°)=5×(12×)=30.
即四边形AEFD的面积是30，
故答案为30.
点睛:本题综合考查了勾股定理得逆定理,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,综合性比较强,难度较大,有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力.
　
三、解 答 题（共78分）
15. 解方程：
【正确答案】x=.

【详解】试题分析：先找出最简公分母x(x+2),方程两边都乘以最简公分母化为整式方程，解整式方程，检验即可.
原方程可化为：3x+x+2=4
解得：x=
经检验：x=是原方程的解.
考点：解分式方程.
16. 先化简，再求值：，其中a＝+1．
【正确答案】；

【分析】根据分式的乘法和分式的加法运算化简，再将字母的值代入求解即可．
【详解】解：



当a＝+1时，
原式
本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的计算法则是解题的关键．
17. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
【正确答案】出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．

【分析】设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得.
【详解】设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得：
，
解得：，
答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．
18. 2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了没有准酒后驾车的禁令，某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的，本次结果共有四种情况：①有时会喝点酒开车；②已戒酒或从没有喝酒；③酒后没有开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天没有喝酒．将这次情况整理并绘制成如下尚没有完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题．

（1）该记者本次一共
了 名司机．
（2）求图①中④所在扇形的圆心角，并补全图②．
（3）在本次中，记者随机采访其中一名司机，求他属于第②种情况的概率．
（4）请估计在开车10万名司机中，违反“酒驾”禁令的人数．
【正确答案】

【详解】：（1）=200（人）总人数是200人．
（2）×360°=126°．
200×9%=18（人）
200-18-2-70=110（人）
第②种情况110人，第③种情况18人．

（3）他属第②种情况的概率为=．
在本次中，记者随机采访其中的一名司机．求他属第②种情况的概率．
（4）100000×1%=1000（人）
一共有1000人违反“酒驾“禁令的人数．
本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整体的百分比，条形图告诉我们每组里面的具体数据，从而可求答案
19. 如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点，交于点．求证：

【正确答案】见详解.

【分析】正方形的性质利用AAS可证，由全等三角形对应边相等的性质易证结论.
【详解】证明：四边形ABCD是正方形








在和中，





本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活的利用正方形的性质及平行线的性质确定全等的条件是解题的关键.
20. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

【正确答案】小时

【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到达事故船C处所需的时间．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC=≈=50（海里），
∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题
21. 某公司一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．若只在国内，价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）．
（1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内的月利润？若在国外月利润的值与在国内月利润的值相同，求a的值．
【正确答案】（1）140；57500；（2）w内=x2+130x﹣62500，w外=x2+（150﹣a）x．（3）30.

【分析】（1）根据函数关系式为y=x＋150即可求得当x=1000时价格，再每月还需支出广告费62500元即可求得月利润；
（2）仔细分析题中的国内和国外两种即可求得结果；
（3）根据二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）把x=1000代入y=x＋150，得：y=140，
w内=1000×140-1000×20-62500=57500，
故答案是：140，57500；
（2）由题意得：w内=x（y-20）-62500=x2＋130x，
w外=x2＋（150）x；
（3）当x== 6500时，w内，
由题意得：，
解得：a1=30，a2=270（没有合题意，舍去），
∴a=30．
本题主要考查二次函数的实际应用以及二次函数的性质，根据数量关系“利润=售价-成本”列出函数解析式，是解题的关键．
22. 如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）∵，∴，．


∴，．····················1分
又∵抛物线过点、、，
故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得．
　　∴抛物线的解析式为．········3分
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））．
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，．···························4分
∵，∴．
∴，∴，∴．·················5分
∴
······6分
．
∴当时，有值4．
此时，点的坐标为（2，0）．··············7分
（3）∵点（4，）在抛物线上，
∴当时，，
∴点的坐标是（4，）．
如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴（0，），．
∴，．··········9分
① 如图（3），当为平行四边形的对角线时，
设，则平行四边形的对称为
（，0）．·················10分
∴的坐标为（，4）．
把（，4）代入，得．
解得．
，．····················12分

【详解】


（1）∵，∴，．
∴，.
又∵抛物线过点、、，故设抛物线解析式为，将点的坐标代入，求得．
∴抛物线的解析式为．················4分
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））．
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，．···························4分
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴，∴，∴．·
∴
·
．
∴当时，有值4．
此时，点的坐标为（2，0）．·····························9分
（3）∵点（4，）在抛物线上，
∴当时，，
∴点的坐标是（4，）．
① 如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴E（0，4）
∴，．
如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，
则平行四边形的对称为（，0）．
∴的坐标为（，4）．
把（，4）代入，得．
解得 ．
，．·························14分
23. 如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．

【正确答案】（1）详见解析；（2）D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a， ）；S△DEF=a2．

【详解】试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出  ，同理，△OPF∽△BPD，得出 ，然后利用等量代换即可．
（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．
试题解析：（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴=，
同理，△OPF∽△BPD
∴=，
∴=，
∴PD2=PE•PF；
（2）连接O1B，O1P，
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，
∵O1B=O1P，
∴△O1BP为等边三角形，
∴O1B=BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=OP，
即△O1PO为等边三角形，
∴O1P=OP=a，
∴∠O1OP=60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O1P⊥OB，
在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，
∴O1D=a，OD=a，
过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，
OM=DM=a，
∴D（﹣a， a），
∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=OP=a，OF=a，
∴P（﹣a，），F（﹣a，0），
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=∠BOP=30°，
∵PE⊥AB，PB=a，
∴∠EPB=60°
∴PE=a，BE=a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=PO，
∴∠PBO=∠BOP=30°，
∴∠BPO=120°，
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
即OPE三点共线，
∵OE=a+a=a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，
∴∠EOA=30°，
∴EM=OE=a，OM=a，
∴E（﹣a， a），
∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），
∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，
DE边上的高为： a，
∴S△DEF=×a×a=a2．
故答案为D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．














2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、填 空 题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1. ﹣1的值是_____．
2. 已知点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，则ab=_____．
3. 某地举办主题为“，牢记”报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为_____．
4. 分解因式：x2﹣4=__．
5. 如图，已知ABCD，若，则=_____．

6. 在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．
二、选一选（共8小题，每小题4分，满分32分.每小题只有一个正确选项）
7. 函数y=的自变量x的取值范围为（　　）
A. x≤0 B. x≤1 C. x≥0 D. x≥1
8. 下列图形是某几何体三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（　　）

A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥
9. 一个五边形的内角和为（　　）
A. 540° B. 450° C. 360° D. 180°
10. 按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（　　）
A. an B. ﹣an C. （﹣1）n+1an D. （﹣1）nan
11. 下列图形既是轴对称图形，又是对称图形的是（　　）
A. 三角形 B. 菱形 C. 角 D. 平行四边形
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（　　）
A. 3 B. C. D.
13. 2017年12月8日，以“[数字工匠]玉汝于成，[数字工坊]溪达四海”为主题的2017数学科技文化节•玉溪暨第10届全国三维数字化创新设计大赛（简称“全国3D大赛”）总决赛在玉溪闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校1300名学生中随机抽取部分学生进行了问卷，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图．下列四个选项错误的是（　　）

A. 抽取学生人数为50人
B. “非常了解”的人数占抽取的学生人数的12%
C. a=72°
D. 全校“没有了解”的人数估计有428人
14. 已知x+=6，则x2+=（　　）
A. 38 B. 36 C. 34 D. 32
三、解 答 题（共9小题，满分70分）
15. 计算：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0
16. 如图，已知AC平分BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC

17. 某同学参加了学校举行的“五好小公民•红旗飘飘”演讲比赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表：
评委
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
评委6
评委7
打分
6
8
7
8
5
7
8
（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数；
（2）计算该同学所得分数的平均数
18. 某社区积极响应正在开展的“创文”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
19. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．
（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．
20. 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
21. 某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A、B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．

甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）x取何值时，总成本y最小？
22. 如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．

23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．

2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、填 空 题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1. ﹣1的值是_____．
【正确答案】1

【详解】【分析】根据值的意义“数轴上表示数a的点到原点的距离就是a的值，记作|a|”进行求解即可得.
【详解】∵数轴上表示数-1的点到原点的距离是1，即|﹣1|=1，
∴﹣1的值是1，
故答案为1.
本题考查了值的定义与性质，熟练掌握值的定义是解题的关键.
值规律总结：一个正数的值是它本身；一个负数的值是它的相反数；0的值是0．
2. 已知点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，则ab=_____．
【正确答案】2

【详解】【分析】接把点P（a，b）代入反比例函数y=即可得出结论．
【详解】∵点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，
∴b=，
∴ab=2，
故答案为2.
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3. 某地举办主题为“，牢记”的报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为_____．
【正确答案】3.451×103

【详解】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
【详解】3451的小数点向左移动3位得到3.451，
所以，3451用科学记数法表示为：3.451×103，
故答案为3.451×103．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 分解因式：x2﹣4=__．
【正确答案】(x+2)(x-2)##(x-2)(x+2)

【详解】解：由平方差公式ɑ2-b2=（ɑ+b)(ɑ-b)可得

x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故答案是：（x+2）（x﹣2）．

5. 如图，已知ABCD，若，则=_____．

【正确答案】

【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；
【详解】∵ABCD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
故答案为．
本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6. 在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上高等于3，则BC边的长为_____．
【正确答案】9或1

【详解】【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【详解】有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD==5，
CD==4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为9或1．

本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
二、选一选（共8小题，每小题4分，满分32分.每小题只有一个正确选项）
7. 函数y=的自变量x的取值范围为（　　）
A. x≤0 B. x≤1 C. x≥0 D. x≥1
【正确答案】B

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】∵1﹣x≥0，
∴x≤1，即函数y=的自变量x的取值范围是x≤1，
故选B．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8. 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（　　）

A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥
【正确答案】D

【详解】【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个的圆锥．
【详解】由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，
所以此几何体是一个圆锥，
故选D．
本题考查了对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．
9. 一个五边形的内角和为（　　）
A. 540° B. 450° C. 360° D. 180°
【正确答案】A

【详解】【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°，
即一个五边形的内角和是540度，
故选A．
本题主要考查了正多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
10. 按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（　　）
A. an B. ﹣an C. （﹣1）n+1an D. （﹣1）nan
【正确答案】C

【详解】【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【详解】观察可知次数序号是一样的，奇数位置时系数为1，偶数位置时系数为-1，则有
a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，（﹣1）n+1•an．
故选C．
本题考查了规律题——单项式、数字的变化类，注意字母a的系数为奇数时，符号为正；系数字母a的系数为偶数时，符号为负．
11. 下列图形既是轴对称图形，又是对称图形的是（　　）
A. 三角形 B. 菱形 C. 角 D. 平行四边形
【正确答案】B

【详解】【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念进行求解即可．
【详解】A、三角形没有一定是轴对称图形和对称图形，故本选项错误；
B、菱形既是轴对称图形又是对称图形，故本选项正确；
C、角是轴对称图形但没有一定是对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形是对称图形但没有一定是轴对称图形，故本选项错误，
故选B．
本题主要考查了对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（　　）
A. 3 B. C. D.
【正确答案】A

【详解】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为=3，
故选A．
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
13. 2017年12月8日，以“[数字工匠]玉汝于成，[数字工坊]溪达四海”为主题的2017数学科技文化节•玉溪暨第10届全国三维数字化创新设计大赛（简称“全国3D大赛”）总决赛在玉溪闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校1300名学生中随机抽取部分学生进行了问卷，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图．下列四个选项错误的是（　　）

A. 抽取学生人数为50人
B. “非常了解”的人数占抽取的学生人数的12%
C. a=72°
D. 全校“没有了解”的人数估计有428人
【正确答案】D

【详解】【分析】利用统计图中的信息逐项进行判断即可得解.
【详解】抽取的总人数为6+10+16+18=50（人），故A正确，没有符合题意；
“非常了解”的人数占抽取的学生人数的=12%，故B正确，没有符合题意；
α=360°×=72°，故C正确，没有符合题意；
全校“没有了解”的人数估计有1300×=468（人），故D错误，符合题意，
故选D．
本题考查了条形统计图、扇形统计图等知识，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键．
14. 已知x+=6，则x2+=（　　）
A. 38 B. 36 C. 34 D. 32
【正确答案】C

【分析】把x+=6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【详解】解：把x+=6两边平方得：（x+）2=x2++2=36，
则x2+=34，
故选C．
本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
三、解 答 题（共9小题，满分70分）
15. 计算：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0
【正确答案】

【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式化简、角的三角函数值、负指数幂、0指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0
=+3﹣1
=2+2.
本题考查了实数的综合运算能力，解决此类问题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、值、角的锐角三角函数值等知识．
16. 如图，已知AC平分BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC

【正确答案】见解析

【分析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等．
【详解】∵AC平分BAD，
∴BAC=DAC，
在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SAS）.
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．
17. 某同学参加了学校举行的“五好小公民•红旗飘飘”演讲比赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表：
评委
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
评委6
评委7
打分
6
8
7
8
5
7
8
（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数；
（2）计算该同学所得分数的平均数
【正确答案】（1）8为众数，7为中位数；（2）该同学所得分数平均数为7．

【详解】【分析】（1）根据众数与中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义求解即可．
【详解】（1）从小到大排列这组数据为：5，6，7，7，8，8，8，
数据8出现了三次至多为众数，
7处在第4位为中位数；
（2）该同学所得分数的平均数为（5+6+7×2+8×3）÷7=7．
本题考查了平均数、众数与中位数，用到的知识点是：给定一组数据，出现次数至多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数．
18. 某社区积极响应正在开展的“创文”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【正确答案】乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．

【详解】【分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得：=3，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解，
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．
（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．
【正确答案】（1）6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P为

【详解】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）画树状图得：

由树状图知共有6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；
（2）∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果，
∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P=.
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以没有重复没有遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
【正确答案】（1）；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【详解】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．
【详解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，
得，
解得；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3，
△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，
所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．
21. 某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A、B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．

甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）x取何值时，总成本y最小？
【正确答案】（1）y=﹣80x+20000，24≤x≤86；（2）y=13120元．

【详解】【分析】（1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出没有等式组进而得出答案；
（2）利用函数增减性进而得出答案．
【详解】（1）由题意可得：y=120x+200（100﹣x）=﹣80x+20000，
，
解得：24≤x≤86；
所以，y=﹣80x+20000（24≤x≤86）；
（2）∵y=﹣80x+20000，
∴y随x增大而减小，
∴x=86时，y最小，
则y=﹣80×86+20000=13120（元）．
本题考查了函数的应用以及没有等式组的应用，正确利用表格获得正确信息是解题关键．
22. 如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为

【详解】【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.
【详解】（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.

本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．

【正确答案】（1）平行四边形ABCD的面积为60；（2）证明见解析；（3）△AEF的外接圆的周长t=π．

【详解】【分析】（1）作EG⊥AB于点G，由S△ABE=×AB×EG=30得AB•EG=60，即可得出答案；
（2）延长AE交BC延长线于点H，先证△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根据∠DAE=∠CHE即可得证；
（3）先证∠ABF=90°，根据勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此求得FC的长，从而得出AF的长度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圆直径，从而得出答案．
【详解】（1）如图，作EG⊥AB于点G，
则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，
∴平行四边形ABCD的面积为60；
（2）如图，延长AE交BC延长线于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，
∵E为CD的中点，
∴CE=ED，
∴△ADE≌△HCE，
∴AD=HC、AE=HE，
∴AD+FC=HC+FC，
由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，
∴∠FAE=∠CHE，
又∵∠DAE=∠CHE，
∴∠DAE=∠FAE，
∴AE平分∠DAF；
（3）连接EF，
∵AE=BE、AE=HE，
∴AE=BE=HE，
∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，
∵∠DAE=∠CHE，
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，
由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°，
∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，
解得：FC=，
∴AF=FC+CH=，
∵AE=HE、AF=FH，
∴FE⊥AH，
∴AF是△AEF的外接圆直径，
∴△AEF的外接圆的周长t=π．
本题考查圆的综合问题，涉及到平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.