2023届陕西省安康中学高三上学期12月月考 文科数学 （解析版）

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安康中学2023届高三年级试卷

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设i为虚数单位，复数满足，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

2. 记集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若，则（    ）

A  B.  C.  D.

4. 函数图象在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（    ）

A. 18 B. 19 C. 21 D. 22

8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）

A. 20 B.  C. 27 D.

9. 已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为（    ）

A. 2026 B. 1015 C. 1014 D. 1013

11. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（    ）

A. 109 B. 111 C. 114 D. 116

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知命题，使得，则为___________.

14. 设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则______.

15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则___________.

16. 若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17 已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数a，使函数最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

18. 已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，求证：.

19. 已知函数.

（1）若在上存在最小值，求实数m取值范围；

（2）当时，证明：对任意的，.

20. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）若，求外接圆的面积；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

21. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.

22. 设向量，，，（）.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求函数零点的个数.

绝密★启用前

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设i为虚数单位，复数满足，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数运算法则计算得到，从而求出模长.

【详解】由，得，

故

所以.

故选：B.

2. 记集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式求出，从而求出交集.

【详解】集合或，，所以.

故选：A.

3. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.

【详解】由，得，

所以.

故选：C

4. 函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出函数在处的切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.

【详解】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.

故选：C

5. 设，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】成立的一个必要不充分条件就是可以推出这个条件，但是这个条件并不能推出.依次对每个选项进行分析即可.

【详解】A: ,是的充分条件，A错；

B：为其反例，不是必要条件，B错；

C：在上递增，，是充要条件，C错；

D：可得，又，可得，反之不一定成立，D对；

故选：D

6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可.

【详解】根据题意得，，则，

又，则，，

对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；

对于B，由得，满足条件，故B正确；

对于C，由得，与矛盾，故C错误；

对于D，由得，与矛盾，故D错误

故选：B.

7. 南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（    ）

A. 18 B. 19 C. 21 D. 22

【答案】B

【解析】

【分析】由等差数列的求和公式求解即可

【详解】由题意设前两站的距离为千米，

第二站与第三站之间的距离为千米，…，

第n站与第站之间的距离为千米，

则等差数列，首项是，公差，

则，解得，

则站点数一共有19个.

故选：B.

8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）

A. 20 B.  C. 27 D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的外接圆周长求出外接圆半径，根据同角三角函数关系求出，从而得到的长，结合及正弦定理得到，从而得到三角形周长.

【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，

因为，由，，

可得，，

所以，，

因为，

由正弦定理可得：，

所以的周长为.

故选：D.

9. 已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值.

【详解】由得，

设，则.

由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，

∵与反向共线，，∴，∴，

∴.

故选：D

10. 定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为（    ）

A. 2026 B. 1015 C. 1014 D. 1013

【答案】B

【解析】

【分析】先根据递推和夹逼准则将不等条件转化为等式，再将其看成一个等差数列可得的值.

【详解】根据得，又，所以，又

所以是以为首项，为公差的等差数列；

所以

故选：B.

11. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.

【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：

若使得函数有3个零点，则.

故选：A.

12. 设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（    ）

A. 109 B. 111 C. 114 D. 116

【答案】C

【解析】

【分析】先求出等比数列的通项公式，再结合题意得到当，2时，；当时，；当时，；当时，；从而求出数列的前50项和.

【详解】设等比数列的公比为q，则，，

解得，，故，

因为为中在区间中的项的个数，

所以当，2时，；

当时，；

当时，；

当时，；

故.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知命题，使得，则为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由存在量词命题的否定求解即可

【详解】命题，使得，

则为，

故答案为：

14. 设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则______.

【答案】2021

【解析】

【分析】利用并项求和即可.

【详解】根据题意得到：，

所以.

故答案为：2021.

15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则___________.

【答案】4

【解析】

【分析】将化简，可得一个边角关系，然后再结合正弦定理可得答案.

【详解】

因为在中，若，所以，

所以，即，

由正弦定理得，

化简得，所以.

故答案为：4

16. 若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据将转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围.

【详解】因为经过点和，所以，，可得，故

.

因为，所以，所以，

当时，，可得，

所以，要使恒成立，

只要，即，又，从而；

当时，；

当时，，所以，

所以，要使恒成立，

只要，解得，又，从而.

综上所述，a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】求解不等式恒成立问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为   

（2）存在，实数

【解析】

【分析】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间.

（2）根据的最小值为列方程，从而求得的值.

【小问1详解】

∵，∴，即，

，由，

解得，∴函数的定义域为，

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

又∵在上为增函数，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

【小问2详解】

设存在实数a，使函数的最小值为0，，

∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②，

联立①②解得：，

∴存在实数，使函数的最小值为0.

18. 已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，求证：.

【答案】（1）；.   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）运用等差数列的基本公式联立方程可解出的首项和公差，进而得到通项公式；对，考虑整理说明其为等比数列可得其通项公式；（2）将的通项公式进行裂项，可以求出其和，进而证明不等式.

【小问1详解】

设公差为d，由题意得：解得

所以，

由，得，

又，所以是公比为的等比数列，

所以.

【小问2详解】

证明：，

.

要证，即证，

因为在上为增函数，且，

所以得证.

19. 已知函数.

（1）若在上存在最小值，求实数m取值范围；

（2）当时，证明：对任意的，.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先利用导数求出单调区间，再结合在上存在最小值，即可求解.

（2）首先分别求出的最小值以及的最大值，利用即可求解.

【小问1详解】

因为，所以，

令得，令得，

则的单调递减区间为，单调递增区间为，

因为在上存在最小值，所以，即，

故m的取值范围是.

【小问2详解】

证明：当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，

而，

当时，y有最大值，即，当且仅当，时等号成立，

因为，且等号不能同时取得，

所以.

20. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）若，求外接圆的面积；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；

（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.

【小问1详解】

由题知：，

由正弦定理可化为，

即，

由余弦定理知，

又，故.

设外接圆的半径为R，则，

所以，

所以外接圆的面积为.

【小问2详解】

由（1）知：，所以，

因为为锐角三角形，

所以，解得，

又由正弦定理，得，

所以.

又，则，

所以，

故面积的取值范围是.

21. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；

（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.

【小问1详解】

由图示得：，解得：，

又，所以，所以，

所以.

又因为过点，所以，即，

所以，解得，

又，所以，所以.

【小问2详解】

图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，

将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，

当时，，

令，则，

令，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，

且，

,

所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.

因为有三个不同的实数根，

且关于对称，关于对称，

则，

两式相加得：，

即，所以.

22. 设向量，，，（）.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求函数零点的个数.

【答案】（1）的极小值为，无极大值   

（2）当时，函数的零点个数为1

【解析】

【分析】（1）将的值代入，然后求导，分析单调区间求极值即可.

（2）对分类讨论，分别求函数单调区间，结合极值即可判断零点个数.

【小问1详解】

根据已知得，则

当时，，，，

由得或（舍）.

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

【小问2详解】

因为，

若，当时，；当时，；当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

有极大值，

极小值，又，

所以函数有1个零点.

若，恒成立，函数单调递增，

此时，，所以函数有1个零点；

若，当时，；当时，；当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以有极大值，显然极小值，

又，所以函数有1个零点.

综上所述，当时，函数的零点个数为1.

【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性