2023届天津市宝坻区第一中学高三上学期线上期末模拟数学试题（解析版）

2023届天津市宝坻区第一中学高三上学期线上期末模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题可知，则．故本题选．

2．“”是“”成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题得或，进而得答案．

【详解】解：由得或，

则“”是“”成立的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题考查充要条件，属于基础题．

3．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的奇偶性以及的值，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，

因为，则函数为奇函数，排除C选项；

因为，，则，所以，，排除AD选项.

故选：B.

4．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（     ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案.

【详解】由题意进行数据分析，可得：

，解得：；

，解得：；

所以.

比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更分散，由方差的意义可以得到：.

故选：A

5．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

6．已知正方体的棱长为，其八个顶点都在一个球面上，则这个球的半径是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据外接球的直径为正方体的体对角线可求.

【详解】由题可得外接球的直径为正方体的体对角线，设半径为，

所以，所以.

故选：B.

7．过椭圆左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的几何特征得到，再由求解.

【详解】由题意得：，

因为，

所以，即，

即，

即，

解得，

故选：A

8．已知图象相邻的两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，给出下列命题：

①函数的图象关于直线对称；

②函数在上单调递增；

③函数的图象关于点对称.

其中正确的命题个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦型函数的基本性质以及函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①③的正误，利用正弦型函数的单调性可判断②的正误.

【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，可得，则，

将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，

由于函数的图象关于轴对称，则，解得，

，，所以，.

对于①，，

所以，函数的图象关于直线对称，①正确；

对于②，当时，，

所以，函数在上不单调，②错误；

对于③，，

所以，函数的图象关于点对称，③正确.

故选：C.

【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：

（1）将函数解析式变形为或的形式；

（2）将看成一个整体；

（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.

9．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出的图象，将问题转化为与直线的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.

【详解】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：

的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.

由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，

1、关于对称，；

2、且满足方程即，解得：；

3、关于轴对称，则；

故选：B

二、填空题

10．若复数则________________________．

【答案】

【解析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模．

【详解】复数满足．

则．

故答案为：；

11．已知圆C：x2＋y2＝20，则过点P(4，2)的圆的切线方程是________.

【答案】

【分析】由点在圆上，因此利用切线和过切点的半径垂直得切线斜率后，易得切线方程．

【详解】由知在圆上，而，，

所以所求切线斜率为，方程为，即．

故答案为：．

12．在的二项展开式中，的系数为________（用数字作答）

【答案】-80

【解析】由二项定理展开式的通项，即可确定的系数.

【详解】在的二项展开式中，由展开式通项可得，

令，解得，

所以系数为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.

13．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为______.

【答案】

【解析】根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，由此可求出概率.

【详解】根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，

则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为.

故答案为：.

14．当时，函数的最小值为________.

【答案】3

【分析】由可得，由基本不等式可得，可求答案．

【详解】解：，由基本不等式可得，

当且仅当，即时取等号，

则的最小值为3.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，要注意配凑积为定值，同时考查学生灵活变形及选用知识的能力．

三、双空题

15．在中，，，，点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），

（ⅰ）若，则___________；

（ⅱ）线段的长度为____________.

【答案】         

【分析】建立如图平面直角坐标系，根据题意得，由得解得，此时，的直线方程为，的直线方程为，联立得，，即可解决.

【详解】

如图，以为坐标原点建系如图，则,

所以

由得,

整理得，

由得解得或，

当时，，此时重合，由可得，此时，

因为点不与端点重合，

所以不满足题意，舍去，

当时，，的直线方程为，

的直线方程为，

联立解得，所以，

所以，

若，则解得，

此时，

故答案为: ; .

四、解答题

16．在中，角的对边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若的面积为，且，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．

（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．

【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，

∴在△ABC中，sinA＝＝．

（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，

又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，

，所以周长为.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17．菱形中，平面，，，

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，

【分析】（1）建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，证明向量垂直，得到线面平行；

（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求出正弦值；

（3）设，则，利用空间向量求表示出线面角的正弦值，求出的值，得解.

【详解】解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），

则，，，

，，.

（1）证明：，，

设为平面的法向量，

则，即，

可得，

又，可得，

又因为直线平面，所以直线平面；

（2），，，

设为平面的法向量，

则，即，可得，

设为平面的法向量，

则，即，可得，

所以，

所以二面角的正弦值为；

（3）设，则，

则，，

设为平面的法向量，

则，即，

可得，

由，得，

解得或（舍），所以.

【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题.

18．已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和..

【详解】（1）由，取可得，又，

所以，则.

当时，由条件可得，两式相减可得，，又，

所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，

因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，

故，

（2），

，

.

相减得，

所以，所以

所以.

19．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，是上一点，，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)当过点的动直线与椭圆相交于不同两点、，线段上取点，且满足，求证：点总在某定直线上，并求出该定直线的方程．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）在焦点三角形中利用余弦定理结合椭圆的定义求解即可；（2）由，考虑向量在轴上的射影，进而可得，利用韦达定理代入代换即可证明求解.

【详解】（1）因为椭圆：的离心率为，，

由椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，

，且，

得，

．

在中，由余弦定理得，

解得，则，，

椭圆的方程为；

（2）由题意可得直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

代入椭圆的方程，

整理得，

设，，

则，．

设，

由，

得（考虑线段在轴上的射影），

，

于是，

整理得，

又，

代入式得，

点总在直线上．

20．已知函数.

(1)若，判断的奇偶性并加以证明；

(2)当时，

①用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值；

②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)见详解

(2)见详解

【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明.

（2）①定义法判断单调性即可求得最小值. ②先求值域结合已知即可求得k的取值范围.

【详解】（1）由已知，

，

故为奇函数.

（2）①当时，，，且

又因为，所以 ，，所以

即 ，故函数在为单调递增，

函数在上的最小值为

②由①知，，所以，

当时，，成立，符合题意.

当时，在为单调递增，

对任意的，总存在，使得

故，即，解得

当时，在为单调递减，

同理：，即，解得

综上可知：k的取值范围为.