2023届重庆市万州第二高级中学高三上学期期末数学试题（解析版）

2023届重庆市万州第二高级中学高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.

【详解】由题设，.

故选：C.

2．异面直线指的是（    ）

A．两条不相交的直线 B．两条不平行的直线

C．不同在某个平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线

【答案】D

【分析】由异面直线定义可直接得到结果.

【详解】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.

故选：D.

3．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（    ）

A．这辆小型车辆车速的众数的估计值为

B．这辆小型车辆车速的中位数的估计值为

C．这辆小型车辆车速的平均数的估计值为

D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为

【答案】C

【分析】对于A：由图得众数的估计值为最高矩形的中点对应的值；

对于B：由，，所对应的矩形的面积得出数据的中位数的估计值在区间内，计算可判断．

对于C：根据频率直方图的平均数的估计值计算公式可判断．

对于D：由频率直方图估计车速超过的概率为．

【详解】解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，故A正确．

对于B：，，所对应的矩形的面积分别为，，，其和为，而对应的矩形面积为，因此中位数的估计值为，故B正确．

对于C：平均数的估计值为，故C错误．

对于D：估计车速超过的概率为，故D正确．

故选：C．

4．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.

【详解】连接，交点为，如图所示：

，且是公共边，

，，

易得，，

即，又，，

，平面，

平面，又平面，

平面平面.

过点作平面，垂足为，连接，

，，

平面，，，

由是公共边，，

即有，

三点在以为直径的圆周上，

，，，

，

，

.

故选：C

5．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,

【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，

以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，

则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，

又该圆过线段的中点，故，

所以离心率为.

故答案为：.

6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.

【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，

面积为16，故边长，

即底面半径，侧棱长为，

则圆柱的侧面积是，

故选：B.

7．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】C

【解析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.

【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，

易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MN‖BO,

∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；

∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；

∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；

显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.

8．已知正数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.

【详解】，

令，，则，，

，

当且仅当且，即，时，等号成立，

所以，故有最小值.

故选：D.

二、多选题

9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）

A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数

C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点

【答案】AC

【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.

【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间上，有极大值为，C选项正确.

在区间上，是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

10．（多选）如果函数在上单调递增，对于任意的，，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据单调性的定义得出与的关系后判断．

【详解】由函数单调性的定义，可知若函数在给定的区间上单调递增，则与同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为，的大小关系无法判断，所以，的大小关系也无法判断，故C错误，

故选：AB．

11．已知正数，，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据，由指数运算法则，可得A对B错；由两边取对数，可判断C正确；由两边取对数，可判断D正确.

【详解】因为正数，，满足，

由，所以，即A正确，B错；

由两边同时取以为底的对数，可得，即C正确；

由两边同时取以为底的对数，可得，即D正确；

故选：ACD.

12．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ）

A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种

B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种

C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

【答案】ACD

【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.

【详解】对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知，

抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确；

对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种，

由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确；

对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种，

抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．在锐角中，内角A､B､C所对的边分别是，若，，，则____

【答案】

【分析】利用正弦定理即得.

【详解】由正弦定理可得，，

∴.

故答案为：.

14．若随机变量，已知，则______.

【答案】

【分析】根据正态分布的对称性即可求出答案.

【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，

又因为，所以，

故答案为：.

15．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________．

【答案】##

【分析】要使不等式对任意实数x恒成立，只需即可，求出的最小值即可得出答案.

【详解】解：因为不等式对任意实数x恒成立，

所以只需，

，

所以当时，，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：

16．在空间直角坐标系O-xyz上，有一个等边三角形ABC，其中点A在z轴上.已知该等边三角形的边长为2，重心为G，点B，C在平面xOy上，若在z轴上的投影是z，则___________（用字母z表示）.

【答案】##

【分析】画出图形，结合重心的性质，向量的数量积，模的算法和余弦定理，即可算出答案.

【详解】如图，设的中点为，连接，因为等边三角形ABC的重心为G，所以，

设在z轴上的投影是，则

又在z轴上的投影是z，所以，该等边三角形的边长为2，

在中，，同理可得，

因为，

所以

=

      =

      =

故答案为：

四、解答题

17．已知点是线段的中点.

（1）求点和的坐标；

（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）由中点坐标公式得出M的坐标，由向量加法公式即可求得的坐标；

（2）设出D的坐标，用向量共线的坐标运算即可解得.

【详解】解：（1）是线段的中点，

（2）设，则，

∵∥，∴，解得，

点的坐标是.

18．已知函数．

（1）若有一个零点为，求a；

（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；

（2）由于当时，恒成立，等价于当时，恒成立，所以只要，从而可求出a的取值范围

【详解】解：（1）因为有一零点，

所以，

所以．

（2）因为当时，恒成立，

需，即，

解得，

所以的取值范围是．

19．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．

（Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？

（Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．

【答案】（Ⅰ）当年产量为200千件时，所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．

【解析】（Ⅰ）根据题意可得利润，根据二次函数性质即可求出最大值；

（Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值.

【详解】（Ⅰ）设所获利润为万元，

则由题可得（），

当时，，

所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3750万元；

（Ⅱ）可知平均利润为，

当且仅当，即时等号成立，

所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．

20．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为B1C1，AD的中点.

（Ⅰ）求证：BE平面C1FD1；

（Ⅱ）求直线BE到平面C1FD1的距离.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）取 A1D1 的中点G ，分别连接 AG ，GE ，依题意可得，再证，即可得到，从而得证；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知E 到平面C1FD1的距离即为 BE 到平面C1FD1的距离，

设 E 到平面C1FD1的距离为 h ， 再利用等体积法求出点到面的距离；

【详解】解：（Ⅰ）证明：取 A1D1 的中点G ，分别连接 AG ，GE ，

因为且，且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为 且，所以四边形 AFD1G 为平行四边形，

所以，所以 ，

因为平面C1FD1， 平面C1FD1 .

所以 BE 平面C1FD1 .

（Ⅱ）因为 BE 平面C1FD1，

所以 E 到平面C1FD1的距离即为 BE 到平面C1FD1的距离，

设 E 到平面C1FD1的距离为 h ，

因为C1D1 平面 A1ADD1，平面，所以C1D1 FD1 ，得 ，

又，

所以，解得，

所以 BE 到平面C1FD1的距离为.

21．已知椭圆两个焦点分别为，离心率为，且过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)P是椭圆C上的点，且，求三角形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率为，可得，再将点代入求得，即可得出答案；

（2）根据椭圆定义求得，再利用余弦定理求得，从而可得出答案.

【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，则，

所以，即，

又，即，所以，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）解：因为，，

由，

即，

所以，

所以.

22．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；

(2)若在上有最大值，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可得，即可求得实数的值；

（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用函数的最值与极值的关系可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

，

由已知可得，解得.

（2）解：因为，令.

①当时，对任意的，恒成立，则，

此时函数在上单调递减，没有最大值；

②当时，在上单调递减，则，则，

此时函数在上单调递减，没有最大值；

③当时，方程的两根分别为，，

由可知，列表如下：

所以函数在处取得最大值，

综上所述，实数的取值范围是.