数学选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第二课时当堂检测题

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5.1.1　5.1.2　第二课时　导数的几何意义[A级　基础巩固]1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线(　　)A．垂直于x轴B．垂直于y轴C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴D．方向不能确定解析：选B　由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．2．设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)A．2　　　　　　　　 B．－1C．1   D．－2解析：选B　＝＝f′(1)＝－1.3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)A．1   B.C.   D．－解析：选B　∵y′＝＝＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为，故选B.4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)A．(1,0)   B．(2,8)C．(－1，－4)   D．(－2，－12)解析：选AC　f′(x)＝ ＝ ＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为(　　)A．0个   B．1个C．2个   D．无数个解析：选D　由题意，y＝f(x)＝sin x，则f′＝＝.当Δx→0时，cos Δx→1，∴f′＝0.∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．6．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.解析：∵y′|x＝1＝＝＝(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：17．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．答案：②8．已知曲线f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．解析：由，得∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝，得f′(x)＝＝＝，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．即x－2y＋1＝0.答案：x－2y＋1＝09．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵＝＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.∴＝3x－4x0，即f′(x0)＝3x－4x0，由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2.∴切点的坐标为或(2,3)，当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，当a＝时，切点为；当a＝－5时，切点为(2,3)．[B级　综合运用]11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　　)A.   B．C．－   D．－解析：选D　∵y′|x＝1＝＝3，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)A．0<f′(a)<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)B．0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)C．0<f′(a＋1)<f′(a)<f(a＋1)－f(a)D．0<f(a＋1)－f(a)<f′(a)<f′(a＋1)解析：选B　f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)．13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．解析：由导数的定义，得f′(0)＝＝＝ (a·Δx＋b)＝b.又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则所以ac≥，所以c>0.所以＝≥≥＝2.答案：214．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解：∵f′(x)＝＝＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′(x)＝＝＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得[C级　拓展探究]15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵＝＝2x＋Δx，∴y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．