2021-2022学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由诱导公式一即可值

【详解】

故选：D

2．命题“，使.”的否定形式是（    ）

A．“，使” B．“，使”

C．“，使” D．“，使”

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式．

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使．

故选：D．

3．设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.

【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，

则，解得，则，

所以，因此.

故选C

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.

4．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.

【详解】解：因为幂函数的图像过点，

所以，所以，所以，

由于函数在上单调递增，

所以，解得：．

故的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.

5．已知，且，则的最小值为（    ）

A． B． C．6 D．8

【答案】A

【解析】由于，且，则利用基本不等式可得，从而可得答案

【详解】因为，且，则，当且仅当即，时取等号，

所以的最小值为

故选：A．

6．已知函数的零点为，设，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据零点定义将零点转化成函数，的交点，数形结合得，根据指数函数和对数函数的单调性判断出，值，之后比较大小即可得出答案.

【详解】解：由已知得，数形结合得，

则，，

所以．

故选：B．

【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

7．根据《道路交通安全法》规定：驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL/小于80mg/100mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶．某人喝了酒后，血液中的酒精含量升到60mg/100mL．在停止喝酒后，若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为了保障交通安全，这人至少经过几小时才能开车（    ）（精确到1小时，参考数据，）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【解析】设这人至少经过小时才能开车，根据血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，由求解.

【详解】设这人至少经过小时才能开车，

由题意得：，即，

所以 ，

所以这人至少经过5小时才能开车，

故选：C

8．已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，设，得到，令，然后将不等式，转化为，利用的单调性求解.

【详解】因为，不妨设，

则，

令，在R上递增，

又，

所以不等式，

即为，

即，

所以，

则，

解得 ，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键是由，构造函数，利用其单调性得解.

二、多选题

9．下列命题中，正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

【答案】BC

【分析】举反例说明A错误；利用不等式性质可判断;利用作差法比较大小，判断C.

【详解】若，当时，则不成立，A错误；

若，则，故B正确；

若且，则，则，C正确；

若且，则，故，故D错误，

故选:

10．下列计算正确的有（  ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用指数的运算性质可判断A；利用对数的运算性质可判断B、C；由根式的性质可判断D.

【详解】，正确；

，B正确；

，C不正确；

，D不正确.

故选：AB.

11．下列命题正确的有（    ）

A．函数有1个零点 B．的最大值为1

C．与是同一函数 D．是奇函数

【答案】ABD

【分析】根据函数的奇偶性单调性逐项分析即可.

【详解】对于A， ，显然是增函数， ，

根据零点存在定理，在 上存在唯一零点，正确；

对于B， 是偶函数，当 时， 是减函数，当 时是增函数，

所以在x=0处取得最大值 ，正确；

对于C， 的定义域是 ，  的定义域是 ，错误；

对于D， ，

是奇函数，正确；

故选：ABD.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

【答案】BC

【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.

【详解】根据题意知，.

∵，

，

，

∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；

，

∴是奇函数，B正确；

在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；

，，，

，，D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.

三、填空题

13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.

【答案】

【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．

【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，

则扇形的面积，解得：，

此扇形所含的弧长.

故答案为：.

14．已知函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则的值为______.

【答案】

【分析】根据对数函数过定点的求法可求得点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.

【详解】当时，，，.

故答案为：.

15．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】根据题意，设，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，根据二次函数的图象和性质得出，解不等式即可求出的取值范围.

【详解】解：由题可知，在区间上单调递减，

设，

而外层函数在定义域内单调递减，

则可知内层函数在区间上单调递增，

由于二次函数的对称轴为，

由已知，应有，且满足当时，，

即，解得：，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知函数，若存在（），使，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】先画函数的图象，结合图象判断，再利用函数的单调性即得.

【详解】作出的大致图象，

由图可知，关于轴对称，即，

由，可得，

所以，

则，

因为，

所以，又当，单调递减，

所以，

即的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合.

(1)求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，利用补集和交集的运算求解.

（2）根据“”是“”的必要条件，由,分，求解.

【详解】（1）因为，所以，则

（2）因为“”是“”的必要条件，所以,

①，所以；

②，则则.

综上，.

18．已知函数，其中且.

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）若，求使成立的x的集合.

【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.

【分析】（1）先求得函数的定义域为关于原点对称，结合对数的运算，化简得到，即可得到结论；

（2）由，列出方程求得，得到，根据，得到不等式，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数有意义，

则满足，解得，即的定义域为关于原点对称，

因为，

所以是定义域上的奇函数.

（2）由，可得，解得，

所以函数，

又由，则，可得，解得，

故不等式的解集为.

19．（1）已知求的值；

（2）已知，且β为第四象限角，求的值.

【答案】（1）-1；（2）

【分析】（1）先求出，进而由，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含的式子，从而得解

（2）由，结合角的范围可得解.

【详解】（1）由，得，

所以，

.

（2），

所以，

又为第四象限角，所以，

所以.

20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.

(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？

【答案】(1)，；

(2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.

【分析】（1）设投资债券等稳健型产品收益为，投资股票等风险型产品收益为，结合已知，应用待定系数法求参数，即可写出函数关系式；

（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，可得收益函数为，应用换元法(注意定义域)及二次函数的性质求最大值即可.

【详解】（1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益为万元，

由题意知：，即；，即，

∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，；

（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，

由题意，投资获得的收益，

令，则，

∴原问题为求的最大值.

，

∴当，即万元时收益最大，最大为3万元.

故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.

21．已知函数.

(1)解关于x的不等式；

(2)设，若对于任意的都有，求M的最小值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）题设不等式可化为，讨论、、分别求得它们的解集；

（2）由题意知：在上的值域为，要使只需，进而可求的最小值.

【详解】（1），化简有，即

整理得，

∴当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为；

（2）∵时，，

∴根据二次函数的图像性质，有，

∴，

∵对于都有，即求，

转化为，而，，

∴，即的最小值为.

22．已知函数，.

（1）若关于x的方程恰有两个解，求m的取值范围；

（2）设，若对任意的实数，函数在区间上的最大值与最小值之和不大于，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）方程等价于有两个根，令，，进而可得在上有且仅有两个解，根据二次函数的性质即可求解.

（2）判断函数在区间单调递减，根据单调性求出函数的最值，从而可得不等式，令，将不等式转化为，再根据二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由已知，，

即，

所以，整理，得，

令，，

依题设，在上有且仅有两个解.

令，

由图可知，m的取值范围为.

（2）因为在上单调递减，

所以，

，

依题设，，

即，令，

因为，所以，

从而，

即.

令，，

因为，所以单调递增，

依题意，只需，即，

又，所以.

所以m的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与方程，函数的最值，解题的关键是将最值问题转化为不等式恒成立问题，考查了转化与划归的思想.