2021-2022学年河南省郑州外国语学校高一下学期期中考试数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省郑州外国语学校高一下学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（120分钟 150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．多选题全部选对得5分，部分选对得2分，多选0分）
1．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A（2，3），B（4，2），则可以表示为（ ）
A．2+3B．4+2C．2﹣D．﹣2+
2．若复数Z满足Z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．Z的虚部为iB．Z的共轭复数为＝﹣1+i
C．Z对应的点在第二象限D．|Z|＝2
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
4．如图，△ABC的斜二侧直观图为等腰Rt△A'B'C'，其中A'B'＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4 C． D．
5．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若α∥β，m⊂α，则m∥β
D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛B．22斛C．36斛 D．66斛
7．已知O为复平面内的原点，复数在复平面内对应的点分别为A，B，则的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，9]C．[7，+∞） D．（﹣∞，7]
8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O为A1B的中点，AC⊥CB，AC＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BC与OC1所成角的正切值为（ ）
A．2B．3C． D．
9．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1 D．4
10．在△ABC中，BC＝，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为（ ）
A．1B．2C．3 D．4
11．（多选）在△ABC中，角A、B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC的最小内角是最大内角的一半
C．△ABC是钝角三角形
D．若c＝6，则△ABC的外接圆直径为
12．（多选）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为BB1，D1C1的中点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．EF⊥AC
B．三棱锥C1﹣CEF的体积为
C．三棱锥C1﹣CEF外接球的表面积为4π
D．直线CD1被三棱锥C1﹣CEF外接球截得的线段长为
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量与的夹角为，且，则＝______．
14．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为，且其顶点都在球O上，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积为______．
15．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角∠ABM＝，N点的仰角∠CBN＝以及cs∠MBN＝，则两座山峰之间的距离MN＝______m．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC的面积为，则△ABC内切圆的面积为____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量＝（2，1），＝（m，1﹣m）．
（1）若（2+）⊥（﹣2），求m；
（2）若m＝﹣1，求在+上的投影向量．
18．（12分）已知关于x的方程x2+（﹣8+i）x+16﹣（a+1）i＝0（a∈R）有实数根b．
（1）求实数a，b的值；
（2）设z＝a+bi，求||．
19．（12分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）若AC与BD相交于点O，求四面体BOEF的体积．
20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB﹣csC＝．
（1）求A；
（2）若b＝c，且BC边上的高为2，求△ABC的面积．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PB的中点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PA与平面AEC所成角的正弦值．
22．（12分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE＝，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN＝．已知CD＝4m，CE＝2m．
（1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．

郑州外国语学校2021-2022学年高一下期期中考试数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．多选题全部选对得5分，部分选对得2分，多选0分）
1．C．2.C．3．C．4．D．5.C6．B．7．B．8．A．9．B．10．C．11．AB．12．ABC．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．2．14．16．15．600．16．．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）解：（1）2+＝（4+m，3﹣m），﹣2＝（2﹣2m，2m﹣1）
由（2+）⊥（﹣2），得（2+）•（﹣2）＝4m2﹣m﹣5＝0，解得m＝﹣1或．（5分）
（2）当m＝﹣1时，＝（﹣1，2），
+＝（2，1）+（﹣1，2）＝（1，3），则与a+b方向相同的单位向量＝
设a与a+b的夹角为θ，则所求投影向量＝||csθ•
＝[]•＝＝．（10分）
18．（12分）解：（1）∵关于x的方程x2+（﹣8+i）x+16﹣（a+1）i＝0（a∈R）有实数根b，
∴b2﹣（8+i）b+16+ai＝0，∴，解得a＝3，b＝4． 6分
（2）z＝a+bi＝3+4i，
∴＝-4+3i
∴||＝5． 12分
19．（12分）证明：（1）取EB中点G，连接OG，FG，
∵O，G分别为BD，BE的中点，∴OG∥DE，OG＝，又AF∥DE，AF＝DE，
∴AF∥OG且AF＝OG，则四边形AOGF为平行四边形，得AC∥FG，
∵AC⊄平面EFB，FG⊂平面EFB，∴AC∥面EFB； 6分
解：（2）∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF．
∵AF∥DE，∠ADE＝90°，DE＝DA＝2AF＝2，∴△DEF的面积为，
∴四面体BDEF的体积，
又O是BD中点，∴，则． 12分
20．（12分）解：（1）因为sinB﹣csC＝，所以2absinB＝c2﹣a2+2abcsC，
由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcsC，所以2absinB＝b2，即2asinB＝b，
由正弦定理得，，所以2sinAsinB＝sinB，因为sinB＞0，
故sinA＝，由A为锐角，A＝， 6分
（2）由题意得，S＝＝＝，
所以bc＝4，因为b＝c，所以c2＝16a，b2＝＝3a，
由余弦定理得，csA＝＝＝＝，
解得a＝7，所以S＝＝7． 12分
21．（12分）证明：（Ⅰ）∵AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，
∴∠ADC＝90°，AC＝AD＝，BC＝＝，
∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又BC∩PC＝C，BC、PC⊂平面PBC，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． 6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面⊥平面，作于点，则平面，连，则就是直线与平面所成的角．
在中，，所以，中，，
在中，．由E为PB的中点，得．
由面积法，得，即，得．
所以，在中，，故与平面所成角的正弦为．12分
22．（12分）
解：（1）当M，D重合时，
由余弦定理知，，
所以，因为，
所以，因为cs∠EMN＞0，所以，
因为，
所以＝．
∴在△EMN中，由正弦定理可知，，解得；6分
（2）易知E到地面的距离，
由三角形面积公式可知，，所以，
又由余弦定理可知，，
当且仅当EM＝EN时，等号成立，所以，解得；
答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度MN最小值为 12分