2021-2022学年湖北省襄阳市第四中学高一下学期2月考试数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省襄阳市第四中学高一下学期2月考试数学试题

一、单选题

1．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】运用倍角公式逐项计算即可.

【详解】，不成立；

B. ，不成立

C. ，不成立；

D. ，成立

故选：D.

2．设、是非零向量，则“、共线”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用特例法结合共线向量的性质以及充分条件、必要条件的定义判断了得出结论.

【详解】解：已知、是非零向量，若、共线，取，则，

另一方面，若，则、方向相同，

即“”“、共线”，

因此，“、共线”是“”的必要而不充分条件.

故选：B.

3．下列各式化简正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加减法运算法则计算即可

【详解】对于A，，故错误；

对于B，，故错误；

对于C，，故错误；

对于D，，故正确；

故选：D

4．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.

【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．

故选：C.

5．在中，为边上的中线，为的中点．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，

所以，

故选：A．

6．定义在区间上的函数与的图像交点为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用题意得到，，两式相除可得，代入即可求解

【详解】因为定义在区间上的函数与的图像交点为，

所以，，两式相除可得即，

所以，

解得或（舍去），

故选：C

7．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由第4个正零点小于1，第4个正最值点大于等于1可解

【详解】，

因为，所以，

又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，

由图像得：，解得：，

所以实数的取值范围是.

故选：A

8．若，满足，，则的值是（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由题意可得和是方程 的两个实数解．再由 和的范围都是，，方程在，上只有一个解，可得，所以，由此求得的值．

【详解】解：，

，即．

再由，可得．

故和是方程 的两个实数解．

再由，，，，所以和的范围都是，，

因为函数在，上单调递增，

所以函数在，上单调递增，

故方程在，上只有一个解，

所以，，所以，所以．

故选：B．

二、多选题

9．下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

【答案】AD

【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.

【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.

故选：AD.

10．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减

C．函数的图象关于直线对称 D．函数的最小值为

【答案】AD

【分析】分别研究，的最小正周期即可判断A选项；时，，再分段研究即可判断B选项；取特殊值，判断C选项；研究函数在一个周期内的值域判断D选项.

【详解】解：对于A选项，由于函数的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A选项正确；

对于B选项，当时，，且当时，，此时函数在单调递减；当时，，此时函数在上单调递增，故B选项错误；

对于C选项，由于，，故函数的图象不关于直线对称，故C选项错误；

对于D选项，由题知，当时，，，此时函数在上的值域为；当时，，，此时函数在上的值域为，故函数在一个周期内的值域为，进而函数的值域为，即最小值为，故D选项正确.

故选：AD

11．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（    ）

A．2， B．−3，

C．2， D．−3，

【答案】AB

【分析】利用平面向量共线基本定理即可求解.

【详解】因为A，B，C三点共线，

则存在实数，使得，

即，

即，

所以，

又因为向量，不共线，

所以，解得，

所以实数，的值互为倒数即可求解.

故选：AB

12．若函数的最小值为，则的值可为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】应用二倍角余弦公式可得，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论与区间的位置关系，求的值.

【详解】由题设，，

令，则，其开口向上且对称轴为，

当时，，则；

当时，，则或(舍)；

当时，，则不合前提；

综上，或.

故选：BC

三、填空题

13．已知，，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由于，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当三点共线时取等号，可得答案.

【详解】由已知，

又

当反向，取到最大值，当同向，取到最小值

故答案为：.

14．当函数取得最大值时，=__________．

【答案】

【分析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.

【详解】因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，

∴

故答案为

【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.

15．中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，的最小值为______ .

【答案】

【分析】利用向量共线的推论可得，再由，利用基本不等式即可求解.

【详解】由，所以，

，

又因为三点共线，所以，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

16．已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.

【答案】

【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为. 然后按在处或处取最大值分类讨论，数形结合，进而可得结果.

【详解】依题意可知，在区间上有最大值必然为，且，所以在区间上的最大值为.

（1）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意；

（2）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意.

综上可知，的取值集合是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于确定在区间上有最大值，且，进而可得在区间上的最大值为.

四、解答题

17．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点．

(1)求的值．

(2)已知，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意，将原式利用诱导公式化简，分子分母同除，代入正切计算可求出结果.（2）由终边所过点以及二倍角公式可计算和的三角函数值，利用平方和为1求出，代入两角和的余弦可计算的值.

【详解】（1）依题意，

原式

．

（2）因为是第一象限角，且终边过点，

所以，，

所以，，

因为，且，所以，

所以

．

18．已知函数

(1)求函数的最小正周期，及对称轴方程.

(2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.

【答案】(1)最小正周期为，对称轴为

(2)

【分析】（1）化简解析式，由此求得的最小正周期，利用整体代入法求得的对称轴.

（2）先利用三角恒等变换求得的解析式，再根据三角函数值域的求法求得在区间上的值域.

【详解】（1）

所以函数的最小正周期.

令得对称轴方程为.

（2）向右平移个单位得到，

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到.

，

所以.

19．（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.

（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由平面向量的线性运算求解即可；

（2）由平面向量的共线定理求解即可

【详解】（1）∵，，

∴；

（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，

所以存在唯一实数，使得，

因为，不共线，

所以，

解得

20．已知函数.

(1)求函数在区间上的单调减区间；

(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案；

（2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解

【详解】（1）依题意可得

，

当时，，则由得，

即在上单调递减，

所以函数在区间上的单调递减区间是；

（2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，

于是得，

因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，

故，解得，所以.

所以的取值范围.

21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

【答案】(1)，

(2)或时，L取得最大值为米．

【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．

（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．同时也可求得值．

【详解】（1）由题意可得，，，

由于 ，，

所以，，

，

即，

（2）设，则，

由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L取得最大值为米．

22．函数在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点，也在该图象上，且．

(1)求的解析式；

(2)的图象向左平移1个单位后得到的图象，试求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值和最小值分别为和

【分析】（1）连接交轴于点，过点作于点，设，通过勾股定理计算出和，再结合也在该图象上可求解；

（2）根据平移得到，再化简得，从而可求最值.

【详解】（1）

连接交轴于点，过点作于点.

设，则有，即，

所以，，因此，

所以有，解得，所以，又因为其过，

则，又，从而得，

所以.

（2）由向左平移1个单位后，得，

所以

.

因为，则，

所以当时有最小值，；

当时有最大值，.