2021-2022学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期3月调研数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期3月调研数学试题

一、单选题

1．等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.

【详解】==

故选：C.

2．已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.

【解析】向量运算及相关概念.

3．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】.所以

4．已知平面向量，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用向量平行列方程，化简求得的值，从而求得.

【详解】依题意，

所以，即，

所以.

故选：B

5．如图，已知点P是函数图象上的一个最高点，M，N是函数的图象与x轴的两个交点，若，则A的值为（       ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】由题意可知,而的周期为，从而可求出A的值

【详解】解：因为，所以，

因为P是函数图象上的一个最高点，M，N是函数的图象与x轴的两个交点，

所以为等腰直角三角形，

所以，

因为的周期为，所以，

故选：B

6．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（       ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.

【详解】

∴BA⊥AC,

∴△ABC为直角三角形，       

故选：

7．已知，且α为锐角，则cosα＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由α为锐角，得到α﹣的范围，求得cos（），再由α＝（）+，运用两角和的余弦公式求解.

【详解】因为，且α为锐角，

则﹣＜＜，

即cos（）＝＝，

则cosα＝cos[（）+]

＝cos（）cos﹣sin（）sin

＝（﹣）＝.

故选：C.

8．的外接圆的圆心为，若，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件化简得，由此判断出三角形的形状，从而求得.

【详解】，，

所以，所以是的中点，

由于是的外接圆的圆心，所以是圆的直径，则.

所以.

故选：A

二、多选题

9．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据正弦函数和余弦函数的图象及性质逐项判断.

【详解】∵ ，∴函数为偶函数，

又时，，且函数在时为减函数，

∴ 函数在上单调递增，A对，

∵ ，

∴函数为偶函数，

当时，，函数在上单调递增，

∴ 函数在上单调递增，B对，

∵ ，∴ 函数在上单调递减，C错，

∵ ，∴ 函数为奇函数，∴ D错，

故选：AB.

10．对于任意的平面向量下列说法错误的是（       ）

A．若且，则

B．

C．若，且，则

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，注意；对于B，根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于C，若和，都垂直即可判断；对于D，根据数量积定义即可判断．

【详解】对于A，，命题不成立；

对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；

对于C，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．

故选：ACD．

11．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（       ）.

A． B．

C． D．点坐标为

【答案】ABC

【分析】根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D.

【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到，

所以与的夹角为，故，A选项正确；

由题意知，,所以，即，故B正确；

因为,,

所以由数量积的定义知，故C正确；

若点坐标为，则，故D不正确.

故选：ABC

12．已知函数，则下列说法正确的是（     ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．若，则函数的最大值为1

D．若

【答案】ABC

【分析】化简的解析式，根据三角函数的最小正周期、对称中心、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，

A，的最小正周期为，A选项正确.

B，，所以函数的图象关于点对称，B选项正确.

C，，

，所以C选项正确.

D，，所以在区间上不是单调函数，D选项错误.

故选：ABC

三、填空题

13．△ABC中，点M是边BC的中点，，，则_____.

【答案】

【分析】由点M是边BC的中点，得到（），又，再用数量积公式求解.

【详解】因为点M是边BC的中点，

所以（），

又因为，

所以（）（）（），

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

14．______.

【答案】

【分析】结合两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

15．在△ABC中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】先利用条件找到，然后对减元，化为，利用基本不等式求最小值.

【详解】，

，，三点共线，.

则

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：3.

【点睛】（1）在向量运算中:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；

（2）基本不等式求最值要注意应用条件：“一正二定三相等”.

四、双空题

16．已知方向相同的单位向量，且向量在向量方向上的投影向量为.（1）的夹角______；（2）若向量与向量所成角为钝角，则的取值范围是_______

【答案】         

【分析】由投影向量的概念计算；由数量积的定义与运算求解

【详解】向量方向上的投影向量为，得，故

向量与向量所成角为钝角

则且与不共线

得，又

故的取值范围是

故答案为：，

五、解答题

17．已知平面向量，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求.

【答案】（1）的值为或；（2）或.

【分析】（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于的方程，解此方程，即可得解；

（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出的值，进而得到，利用向量模的坐标运算即可得解.

【详解】（1），则，

即，

解得或.

所以，的值为或.

（2）若，则，

即，

解得或，

当时，，，

，，

当时，，，

，.

故或.

【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，，则；（2）利用性质进行求解，，结合向量数量积进行求解.

18．已知均为锐角.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得，然后求得.

（2）先求得，然后利用两角差的余弦公式求得.

【详解】(1)，且为锐角，

，

即.

(2)，且均为锐角，

，

即，

则

.

19．在①将函数图象向右平移个单位使得图象关于轴对称；②函数是奇函数；③当时，函数取得最大值.三个中任取一个，补充在题中的横线处，然后解得问题.

题干：已知函数，其中，其图象相邻的对称中心之间的距离为，              .

(1)求函数的解析式及单调递增区间；

(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)条件选择见解析，，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）先求得，然后选择条件①或②或③，都可求得，从而求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间.

（2）求得在区间上的值域，然后化简不等式，根据不等式恒成立求得的取值范围.

【详解】(1)依题意，函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，

所以.

所以.

若选①：函数图象向右平移个单位，

得到，其图象关于轴对称，

所以,

由于，所以令得，.

若选②：，为奇函数，

所以，

由于，所以令得，.

若选③:,

，

由于，所以令得，.

，，

所以的单调递增区间为.

(2)，

，，，

依题意不等式在区间上恒成立，

恒成立，

所以，所以的取值范围是.

20．在平面直角坐标系中，设向量

(1)若，求的值；

(2)设的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，求得数量积，再根据平方之后，结合两角差的三角函数化简即可得答案．

（2）根据向量加法的坐标表示，求得的坐标，利用向量平行得坐标表示，转化求解角的大小即可．

【详解】(1)因为，，，

所以，

且，

因为，所以，即，

所以，即．

(2)因为，所以．故，，

因为，所以，

化简得，，所以，

因为，所以,所以.

21．在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足

(1)求的值；

(2)若为线段上的任意一点，若，

①用向量表示向量；

②求证：为定值；

(3)若为线段上任意一点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析

(3)

【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求得.

（2）①利用向量的坐标运算，用向量表示出向量.

②利用向量的坐标运算求得为定值.

（3）设，计算出的表达式，结合二次函数的性质求得的最小值.

【详解】(1)依题意可知，

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系.

则，

则，

由于，所以，所以，

设，则，

由于，所以，

所以，

所以.

(2)①，

，

设，

则，

所以.

②，

为定值.

(3)由于，故可设 ，

，

，

当时，的最小值为.

22．已知函数部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位，再把得到的函数图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图象.

①求证：方程上有且只有一个解；

②若，求证：.

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）通过观察图像的周期与最值即可得到答案

（2）先写出的图像，再根据题目给出的限定条件给予证明

【详解】(1)由图可知，周期

所以

又当时，，

即

(2)①由题意知，

在上，，，故两图像无交点

在时，令

因为，所以，故

所以在上为减函数，又因为

所以在有且仅有一个零点

即方程在上有且只有一个解

在上，，故两图像无交点

综上方程上有且只有一个解

②

所以在上单调递增

由①知

所以