2021-2022学年上海市浦东中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市浦东中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．“复数为纯虚数”是“”的（    ）

A．必要非充分条件 B．充分非必要条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据纯虚数的概念分析可知.

【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.

故选：B

2．若则所在象限为

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据已知不等式可得，；根据各象限内三角函数的符号可确定角所处的象限.

【详解】由知：，    在第三象限

故选：

【点睛】本题考查三角函数在各象限内的符号，属于基础题.

3．在中，已知为上的一点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

【详解】因为，所以,

所以.

故选：C.

4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）．

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.

【详解】由图象可知，，

则，

因为棱长为，，

所以，，

即的不同值的个数为，

故选：A

二、填空题

5．是虚数单位，复数_______．

【答案】

【分析】根据复数除法的运算公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

6．已知扇形的圆心角大小为，半径为2，则扇形的弧长为___________.

【答案】

【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．

【详解】

故答案为：

7．已知向量，，且，则_____．

【答案】

【分析】根据向量垂直与坐标间关系计算即可.

【详解】因为，所以，解得

故答案为：

8．已知复数满足，则_____．

【答案】3

【分析】设复数，根据复数的乘方以及复数相等的概念，可得方程组，求得，根据复数模的计算可得答案.

【详解】设复数，

由可得 ，

故 ，即得 或，

故或，

故或，

即，

故答案为：3

9．命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）

【答案】假命题

【分析】根据向量和，两种情况进行判定，即可求解.

【详解】当向量时，若，可得；

当向量时，若，则与不一定共线，

所以命题为假命题.

故答案为：假命题

10．已知向量的夹角为，，，则______．

【答案】

【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果.

【详解】解：因为向量的夹角为，，，

所以，

因此，，

故答案为：.

11．已知，方向上的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为_____．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解即可得解.

【详解】由已知得，

故在上的投影向量为.

故答案为：

12．若关于的实系数一元二次方程的一个根为（为虚数单位），则_____．

【答案】

【分析】根据根与系数关系求得，从而求得.

【详解】依题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个根为，

所以，，

所以，即，

所以.

故答案为：

13．在中，若，则的长为_____．

【答案】

【分析】直接利用余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理可得：，

即，

所以，即

故答案为：.

14．已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．

【答案】

【分析】设，根据即可求出P的坐标.

【详解】由题可知，

设，则，，

，

∴，即

故答案为：.

15．函数（）的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数__．

【答案】

【分析】根据函数图象求得和最小正周期，继而求得 ，利用点带入解析式求得，即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.

【详解】由函数图象可知， ，

将代入函数解析式得，

则，由于，所以，

即，

将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，

则，

故答案为：

16．下列说法中正确的个数是__．

（1）；

（2）若一个复数是纯虚数，则其实部不存在；

（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；

（4）设（为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模长为2；

（5）若，则对应的点在复平面内的第四象限．

【答案】1

【分析】(1)利用虚数不能比较大小，可判断正误；(2)由纯虚数实部为0可判断正误；(3)利用虚轴上的点表示的数除原点外都是纯虚数，可判断正误；(4)化简复数，求其模，再可判断正误；（5）化简复数，再判断对应的点在复平面内的象限.

【详解】当复数不是实数时，不能比较大小，与为虚数，不能比较大小，故(1)错误；

若一个复数是纯虚数，则其实部为0，并非不存在，故(2)错误；

虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数是实数，故(3)错误；

，复数，在复平面内对应的向量的模长为2，故（4）正确；

若，则在复平面内对应的点为（1,1），在复平面内的第一象限．故（5）错误．

正确的只有1个.

故答案为：1．

三、解答题

17．平面内给定两个向量.

(1)求；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量线性运算法则与模的计算公式即可求解；

（2）根据平面向量共线的坐标运算即可.

【详解】（1）解：因为，

所以.

（2）解：因为，

所以，

若，则，解得：.

18．已知复数.

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若是方程的一个根，求的实部.

【答案】(1)；

(2)8.

【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；

（2）求出方程的虚根，根据复数相等可求得实数的值，可得出复数，即可求得复数的实部.

【详解】（1）解：由已知可得，解得.

（2）解：由可得，解得，

若，可得，解得 ；

若，可得，无实数解.

综上所述，，则，所以，复数的实部为.

19．已知复数，存在实数，使成立.

(1)求证：；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)根据复数相等的充要条件即可求解；(2)根据复数的模长公式结合二次函数性质求解.

【详解】（1）因为,

所以,消去得.

（2）由得，

所以

.

故的取值范围为

20．设，是两个不共线的非零向量，.

(1)记，那么当实数为何值时，三点共线；

(2)若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由三点共线，则满足，建立关于的方程即可解决.

(2)由题设条件，可以把表示为关于的函数，根据函数求出取得最小值时的的值.

【详解】（1），，因为三点共线，所以，所以，，

则解得.

（2）因为且与夹角为°，所以

所以当时，的值最小.

21．已知，，（，）.

(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；

(2)若当时，求的单调递增区间；

(3)若当时，的最小值为7，求的值.

【答案】(1)；

(2)和，.

(3)

【分析】(1)首先化简函数，根据公式求周期；

(2)由（1）可知，令，解之，结合即可求解；

(3)根据（1）可知先求的范围，求出函数的最小值，进而求出结果.

【详解】（1）因为，，

所以，

所以函数的最小正周期,

（2）由（1）知：，

令，解得：，

又因为，所以和，，

得到：和，，

所以函数在区间的单调增区间为和，.

（3）当时，，

所以，所以，

因为函数的最小值为7，所以，则，

所以的值为.