2021-2022学年上海外国语大学附属大境中学高一下学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海外国语大学附属大境中学高一下学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海外国语大学附属大境中学高一下学期期末数学试题 一、单选题1．“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（　　　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，再由“”与“”的关系得解．【详解】解：关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，又“”不能推出“”，“”能推出“”，即“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题2．已知向量和的夹角为，且，则（   ）A．-10 B．-7 C．-4 D．-1【答案】D【解析】根据平面向量的数量积公式，代入条件，计算即可.【详解】＝＝故选：D.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算化简的能力，属基础题.3．已知梯形，，设，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，可知：、不共线，进而可得出结果.【详解】因为对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，所以、不共线；又，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，所以，起点和终点分别是、、、中的两个点的向量与共线的有，，，，共四个向量；又起点和终点分别是、、、中的两个点的向量共有，因此，满足题意的的个数为.故选B【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及排列组合问题，熟记可作为基底的向量的特征即可，属于常考题型.4．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（    ）A．若为实数，则 B．若，则为实数C．若为实数，则为实数 D．若为实数，则为实数【答案】C【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为可以是实数也可以是虚数，由此可判断C的对错.【详解】设，则，A．因为，所以，所以且，正确；B．因为，所以，所以，正确；C．为实数对（复数集）均满足，所以可以是实数，也可是虚数，错误.D．因为为实数，所以，所以也是实数，所以为实数，正确.故选C.【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数；（2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【分析】化简得到，根据图象的平移得到答案.【详解】.故向左平移个单位长可以得到的图像.故选：D.6．已知事件A与事件B是互斥事件，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定为0，故A错误；因为，所以，而不一定为0，故B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故D正确.故选：D.7．已知中，，，．在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【详解】以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值4，当sin（α﹣φ）=1时，|取得最大值6．故选B．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合. 二、填空题8．已知，则在方向上的投影是_____．【答案】【分析】首先通过向量夹角的正弦值求出夹角的余弦值，然后根据向量投影的计算公式进行求解即可.【详解】已知，得.当时，得在上的投影为，当时，得在上的投影为.故答案为：9．在复数范围内分解因式：______．【答案】【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；【详解】解：故答案为：10．已知是纯虚数（是虚数单位），则______.【答案】【分析】由题意可得sinα、cosα的值，展开两角和的正弦求得．【详解】解：∵是纯虚数，∴，得sin且cos，∴α为第二象限角，则cos．∴sinαcoscosαsin．故答案为：．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查两角和的正弦，是基础题．11．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于________．【答案】【分析】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6＝36，列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可.【详解】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为6的事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）这五种，因此所求概率为，故答案为．【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题．12．满足方程的角的集合是_____．【答案】【分析】根据反三角函数的知识求得正确答案.【详解】由于，所以在和各有一个角，所以或，所以满足方程的角的集合是.故答案为：13．已知,若,则的坐标是__________【答案】【分析】设点坐标，利用向量的坐标运算，先求和的坐标，再根据，可得到点坐标满足的等式，解出点坐标．【详解】解：设，则， ，，，，∴的坐标是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量坐标的求法，属于向量运算的基础题．14．函数的单调增区间是_____．【答案】,【分析】可先求出的单调增区间,取的单增区间与的交集即可,注意单调区间不可写并集.【详解】解:由题知的单调增区间为,即,当时,单增区间为,当时,单增区间为,,,是的单调增区间.故答案为: ,15．已知二项式展开式，且复数，则复数的模______（其中是虚数单位）．【答案】【分析】根据二项式定理的内容求出展开式的通项公式，结合复合函数的模长公式进行计算即可.【详解】解：二项式展开式的通项为，其中所以，则则，故.故答案为：.16．某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人､女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是___________．(结果用数值表示)【答案】【分析】要求主持人中至少有一位是男同学，可用间接法求解，用所有种数减去全为女同学的种数即可．【详解】要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是．故答案为：2517．在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的度数为___.【答案】或或【分析】由余弦定理结合同角三角函数基本关系求得的值，结合角的范围即可求解.【详解】由余弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以或，故答案为：或.18．若关于的方程的两根为，且，则实数  __．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，然后利用利用完全平方式即可求解.【详解】因为关于的方程的两根为，所以，则有，由韦达定理可知：，则，又因为，所以，解得：，故答案为：.19．已知， 是互相垂直的单位向量，若  与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．【答案】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．20．甲､乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的.某天两人要进行一场三局两胜的比赛（先赢得两局者为胜，最多三局结束），若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为___________.【答案】【分析】根据题意，甲获得最终胜利的可能为第二局获胜后去得胜利，或第二局负，第三局获胜，再根据独立事件的概率求解即可.【详解】解：根据题意，第一局比赛甲获胜，故只需考虑剩下两局的情况，甲要获胜，则可能为第二局获胜后取得胜利，或第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为 故答案为：21．向量是平面直角坐标系轴、轴的基本单位向量，且，则的取值范围是__________【答案】【分析】先确定对应的点在线段上，再利用图形中距离的最大最小值得到答案.【详解】如图所示：由题意知，设则表示点到的距离之和，，故对应的点在线段上表示对应的点到的距离.如图所示：最短距离为垂线段 ，最长距离为 故答案为：【点睛】本题考查了向量的模的最值，转化为图形中的对应长度是解题的关键，简化了运算.22．如图，向量与的夹角为， ,，是以为圆心、为半径的弧上的动点，若，则的最大值是________.【答案】【分析】如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），，，.，sinθ，λμ，【详解】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），，，．∵，∴，sinθ．∴，∴λμ，当且仅当时,取等号,故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查正弦型函数的最值,考查计算能力,属于中档题． 三、解答题23．已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）设出,根据题意可得,求解即可；（2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可【详解】（1）设,由题,可得,,的虚部为2则 或故或（2）由（1）可知,即为, 当时,即为,,此时,即为,当时,即为,,此时,即为,综上, 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力24．已知向量，.（1）若∥，求的值；（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为 【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解.（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值．【详解】解：（1）由得, ， ∴ ∴ （2）    ∴函数 的最小正周期为 当 时，∴当，即时，.【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．25．已知，(1)设，求函数的解析式及最大值；(2)设△ABC的三个内角A､B､C的对边分别为a､b､c，当时，，且，求△ABC的面积.【答案】(1)，最大值为.(2)或 【分析】（1）利用向量数量积的运算、降次公式、辅助角公式对的表达式进行化简，进而求得的最大值.（2）利用向量共线求得，利用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.【详解】（1），的最大值为.（2）时，，，，由于，所以，由余弦定理得，，，解得或.当时，，当时，.