2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．若，则是复数为纯虚数的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】根据纯虚数的概念和充分、必要条件的概念进行判定即可.

【详解】设,

当时,是纯虚数，

当为纯虚数时，，∴,

故是复数为纯虚数的充分必要条件.

故选：C.

2．已知，是不共线的非零向量，若，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量共线基本定理，可得，即求解即可

【详解】由可知存在实数，使得，所以从而可得．

故选：A

3．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为

A． B． C．3 D．2

【答案】A

【解析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．

【详解】圆柱的侧面展开图如图，

圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，

则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，

.

故选A．

【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．

4．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（    ）（忽略人的身高）（参考数据：）

A．49米 B．51米 C．54米 D．57米

【答案】D

【分析】设滕王阁的高度为，由题设可得，即可求滕王阁的高度.

【详解】设滕王阁的高度为，由题设知：，

所以，则，

又，可得米.

故选：D

5．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为

A． B．4 C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为

它的侧面展开图是圆心角为的扇形        

又圆锥的表面积为    ，解得：

母线长为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．

6．设向量，满足，则（　　）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得，从而求得的值．

【详解】解：∵，

∴

∵向量，满足

∴

∴

则

故选B．

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．

7．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥为阳马，已知面，，四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，将四棱锥补形为正方体，则四棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线长，最后根据球的面积公式即可得答案.

【详解】解：由题意，因为面，所以，，又，，所以将四棱锥放置在如图所示的正方体中，

则正方体的外接球即为四棱锥的外接球，

所以四棱锥的外接球直径为，

所以球的表面积为，

故选：C.

8．设O是的外心，满足，，若，则的面积是

A．4 B． C．8 D．6

【答案】B

【分析】取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可.

【详解】取AC中点D，因为O是的外心，所以

则 ，解得：

所以

即

故选：B

【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.

二、多选题

9．已知为虚数单位，复数，则以下真命题的是（    ）

A．的共轭复数为 B．的虚部为

C． D．在复平面内对应的点在第一象限

【答案】AD

【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】，故，故A正确.

的虚部为，故B错，，故C错，

在复平面内对应的点为，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数的虚部为，不是，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.

10．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A．的最大值为 B．若，则

C．若是与共线的单位向量，则 D．当取得最大值时，

【答案】AD

【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据与共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量在向量上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.

【详解】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；

等价于即，即，∴，故B错误；

与共线的单位向量为，故Ｃ错误；

最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.

故选：AD

11．三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M、N在过点P的直线上，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A．为常数 B．的最小值为3

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】利用三点共线可得，然后利用基本不等式和构造二次函数，即可判断正误.

【详解】

解：对于A：P是斜边BC上一点，且满足，

则，

若，，则，

又由M、P、N三点共线，可得

所以，故为常数，A选项正确；

对于B：，当且仅当，即时等号成立，

则的最小值为3，B选项正确；

对于C：，

当且仅当时等号成立，C选项错误；

对于D：，

，，

即当时，的最小值为，D选项正确；

故选：ABD.

12．在中，D在线段上，且，.若，，则（    ）

A． B．的面积为

C．的周长为 D．为钝角三角形

【答案】CD

【分析】由已知结合余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．

【详解】由可得，故错误；

设，，

在△中由余弦定理可得，，

整理可得，，

解可得，，即，，

所以，故错误；

由余弦定理得,

即，解得,

故周长，故正确；

由余弦定理可得，，

故C为钝角，D正确，

故选：CD．

【点睛】本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于中档题．关键在于熟练云用余弦定理进行计算.

三、填空题

13．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC满足条件：边，角，我想让它有两解，那么边b的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可）

【答案】18或19

【分析】在三角形中，已知其中一边和其中一角，根据几何关系得出另一边和已知边和角的关系，求出b的取值范围，即可求出b的整数值

【详解】解：由题意，

在△ABC中，，，b为整数，

∵三角形有两解，

∴即，

解得：，

∴b的整数值为18或19.

故答案为：18或19.

14．复数满足，则的最大值是______．

【答案】49

【分析】利用复数的几何意义，得到复数对应的图形，由图形求出的最大值.

【详解】解：设复数在复平面内对应的点坐标为，复数满足，则的几何意义为复平面内到点的距离为2的点的集合，即以为圆心，以2为半径的圆.

，其几何意义为复平面内点到原点距离的平方，所以的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即.

故答案为：49

15．如图，点O为内一点，且，，，则______

【答案】8

【分析】由，知点为的重心．连接并延长，交于点，可得和的长，又，利用平面向量的数量积公式计算即可得解．

【详解】解：由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D．

又，所以．

在中，，所以．

故答案为：8.

四、双空题

16．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为______，此时内角A的值为______

【答案】         

【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求角．

【详解】解：由，根据正弦定理，可得，再由余弦定理得，则，

所以，

又，当时，取得最大值1，则取得最大值．

故答案为：；

五、解答题

17．已知向量，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）计算出和的坐标，利用得出关于实数的等式，解出即可；

（2）求出的坐标，由，可得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解出即可.

【详解】，

，

，，解得；

（2），

，，解得.

【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.

18．已知复数，且为纯虚数.

（1）求复数；

（2）若，求复数及其模.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）先求出，再由复数为纯虚数的条件求解即可；

（2）先求出，再由模的公司求解即可

【详解】（1）将代入

得，

∵为纯虚数，∴，

解得，

所以复数.

（2）由（1）知，

 ，

.

19．已知在直角三角形ABC中，，（如右图所示）

（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.

（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离.

【答案】（Ⅰ）几何体为以为半径，高的圆锥，

（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果．

（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果．

【详解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由

即，得，若以为轴旋转一周，

形成的几何体为以为半径，高的圆锥，

则，其表面积为

.

（Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，

，

在中，由余弦定理得：

【点睛】本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．

20．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．

(1)求角；

(2)若是内一点，，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出的值；

若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，得，再利用辅助角公式得，结合三角形中，从而可求出的值；

（2）结合题中条件及三角形内角和得出，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出的值.

【详解】（1）解：若选条件①：，

整理得：，

则，即，

又，，所以，

所以；

若选条件②：，

整理得：，

所以，

化简得：，

又，，所以，

故，由于，

所以．

（2）解：由于，

，

所以，

在中，，

所以，

在中，，

所以，

，

整理得：，

故．

21．如图，四边形ABCD的四个顶点共圆，，，.

（1）求BD和的值；

（2）求四边形ABCD的周长的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）在中利用余弦定理可求得BD，再利用正弦定理可求得；

（2）求四边形ABCD的周长的最大值，即求的最大值，在中，利用余弦定理得到与关系式，利用基本不等式求最值，即可求得四边形周长的最大值.

【详解】（1）在中，，，

利用余弦定理：，解得或（舍去）

在中，，可知，则

利用正弦定理知，即，解得

所以，.

（2）由四边形ABCD的四个顶点共圆，可知，即，

又由（1）知，，即A为中最小角，则，所以

在中， 利用余弦定理：，

整理得：

利用基本不等式得：

即，解得，当且仅当时，等号成立.

所以四边形ABCD的周长的最大值为：

【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，求四边形周长的最值，解题的关键是利用四边形外接圆找的，从而求出，再利用余弦定理结合基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.

22．某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建现赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花，

(1)探究“赏小径PM，PN的长度之和是否为定值?请说明理由

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小?

(3)求郁金香区域面积之和的最小值.

【答案】(1)400;

(2)P点是MN的中点，；

(3).

【分析】(1)在和中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和；

(2)在中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；

(3) 由（1）可知PM＝，，进而表达出与，并利用PB+PC=BC为定值，利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）解：在中，＝180°－60°－45°＝75°，

由正弦定理可得：，

 即＝＝，

同理可得，

所以＝为定值；

（2）解：在中，由余弦定理可得：

，

即，

所以，，

又由（1）有＝，

故，当且仅当时等号成立.

 故当P点是MN的中点时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小，最小为；

（3）解：由（1）可知PM＝，

故＝，

同理可得：，

所以＝＝＝＝＝.

 当且仅当PB=PC=200时取得最小值.