2022-2023学年安徽省合肥市庐江第五中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省合肥市庐江第五中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列语言叙述中，能表示集合的是（    ）

A．数轴上离原点距离很近的所有点

B．德育中学的全体高一学生

C．某高一年级全体视力差的学生

D．与大小相仿的所有三角形

【答案】B

【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可.

【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误；

对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确；

对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误；

对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误

故选：B

2．若为实数，则是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意，“”等价于“或”，分析可得解

【详解】由题意，若，则或，故充分性不成立；

若，则，故必要性成立.

因此，是的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题考查了不等式与充分必要条件综合，考查了学生综合分析，逻辑推理能力，属于基础题

3．不等式的解集为（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据二次不等式的解法求解即可.

【详解】可化为，

即，即或．

所以不等式的解集为或.

故选：A

4．下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是2

C．当时，的最小值是1

D．设，则的最小值是

【答案】A

【分析】分别利用配凑法将其配成基本不等式满足的形式，注意等号成立的条件的验证即可判断各项的正误．

【详解】对于，当时，，当且仅当时等号成立，故正确；

对于B，当时，，等号成立的条件为：，即，但，故取不到等号，故2不是的最小值，故B错误；

对于C，当时，，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最大值是1，故C错误；

对于D，不是定值，所以不是最小值，故D错误．

故选：．

5．不等式解集为，则实数的取值范围是（    ）

A．， B．

C．， D．

【答案】A

【分析】先将原不等式整理成：．当时，不等式显然成立；当时，根据二次函数图象的性质得到的取值范围．两者取并集即可得到的取值范围．

【详解】原不等式整理可得：．

当时，，不等式恒成立；

设，当时函数为二次函数，要恒小于0，抛物线开口向下且与轴没有交点，即需且△

得到：，

解得．

综上可得.

故选：A．

6．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】A

【分析】根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】因为不等式的解集是，所以，，

所以关于的不等式，即，即，解得或，

故不等式的解集是或.

故选：A.

二、多选题

8．设，，，为实数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用不等式的性质判断，利用特殊值判断BC，利用作差法，结合不等式的性质判断D.

【详解】由可得，，A正确；

时，，B不正确；

时，，C不正确；

因为，所以，所以 所以 ，D正确；

故选：AD.

9．已知集合，若，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题得，再对分两种情况讨论，结合集合的关系得解.

【详解】因为，所以.

由得，

当时，方程无实数解，所以，满足已知；

当时，，令或2，所以或.

综合得或或.

故选：ABD

【点睛】易错点睛：本题容易漏掉. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.

10．对任意实数，下列命题中真命题是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“”是“”的必要条件

【答案】BD

【分析】通过反例可知AC错误；根据充要条件和必要条件的定义可知BD正确.

【详解】对于A，当时，，此时可以，必要性不成立，A错误；

对于B，当为无理数时，根据为有理数，可知为无理数，充分性成立；当为无理数时，根据为有理数可得为无理数，必要性成立；

“是无理数”是“是无理数”的充要条件，B正确；

对于C，当时，，充分性不成立，C错误；

对于D，，必要性成立，D正确.

故选：BD.

11．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A．有最小值2 B．有最大值

C．ab有最大值 D．有最大值

【答案】CD

【解析】根据题中条件，利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为正实数a，b满足，

所以A选项，，

当且仅当，即时，等号成立，故A错；

B选项，，

当且仅当时，等号成立，即有最小值，无最大值；故B错；

C选项，，当且仅当时，等号成立；故C正确；

D选项，，当且仅当时，等号成立；故D正确.

故选：CD.

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或

D．

【答案】AC

【分析】由题知二次函数的开口方向向上且，再依次分析各选项即可．

【详解】解：关于的不等式的解集为，

所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；

方程的两根为、，

由韦达定理得，解得．

对于B， ，由于，所以，

所以不等式的解集为，故B不正确；

对于C，由B的分析过程可知

所以

或，

所以不等式的解集为或，故C正确；

对于D，，故D不正确．

故选：AC．

三、填空题

13．若关于的不等式的解集是，则______.

【答案】1

【分析】由题意可得是方程的两个根，所以，从而可求得结果

【详解】解：因为关于的不等式的解集是，

所以是方程的两个根，

所以由根与系数的关系可得，得，

故答案为：1

14．设，集合，则___________．

【答案】2

【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．

【详解】根据题意，集合，

又，

，即，

故，，

则，

故答案为：

15．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.

【详解】由不等式，

当时，不等式的解集为空集，显然不成立；

当时，不等式，可得，

要使得不等式的一个充分条件为，则满足，

所以，即

∴实数a的取值范围是.

故答案为：.

16．已知实数x，y满足，，且，则的最小值为________．

【答案】3

【分析】变形，则，利用基本不等式，建立关于的一元二次不等式，求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当时，取等号.

上式可化为，

解得，

所以的最小值为3.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.

四、解答题

17．在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：

已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若选______，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)条件选择见解析，答案见解析

【分析】（1）利用并集的定义可求得集合；

（2）选①，可得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；

选②，可得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；

选③，由题意可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】（1）解：当时，，则.

（2）解：选①，由题意可知，则，解得，

当时，，合乎题意，

当时，，合乎题意.

综上所述，；

选②，由题意可知，则，解得，

所以，；

选③，，则或，解得或.

所以，或.

18．已知集合，，全集．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.

（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，集合，或，

．

（2）若“”是“”的必要条件，则，

①当时，；

②，则且，.

综上所述，或．

19．（1）已知，求函数的最大值；

（2）已知，且，求的最小值.

【答案】（1）1；（2）16.

【分析】（1）观察函数和所给已知条件的关系，将函数转化，然后用基本不等式求解即可.

（2）根据条件，将所给式子转化，然后用基本不等式以及巧用“1”求最值.

【详解】（1），.

，

当且仅当,时，.

（2），且，

，

即的最小值为16，当且仅当，，时取等号

20．已知函数，．

（1）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当时，求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）对恒成立转化为对恒成立，结合二次项情况可得解；

（2）对a分情况讨论，再解一元二次不等式可得答案.

【详解】（1）由题意得对恒成立，即对恒成立，

若，则不等式恒成立，所以满足；

若，则解得，

综上，实数的取值范围为.

（2）不等式为，

因为，则不等式可化为，

①当即时，不等式解为或，

②当即时，不等式解为，

③当即时，不等式解为或，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为.

【点睛】解含参的一元二次不等式需从以下几个方面讨论：1.二次系数的符号，2.根的个数，3.根之间的大小关系.

21．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．

（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．

【答案】（1）＜（2）最大值为9

【解析】（1）由题意写出不等关系，解不等式即可得解；

（2）由题意写出不等关系，分离参数得，利用基本不等式求出的最小值即可得解.

【详解】（1）由题意

得，

由可得.

答：的取值范围为.

（2）由题意得，

所以在上恒成立，

又 ，（当且仅当时取“=”），

所以.

答：的最大值为9.

【点睛】本题考查了不等式应用题，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.

22．已知二次函数.

(1)若的解集为，求不等式的解集；

(2)若对任意，恒成立，求的最大值；

(3)若对任意，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;

（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；

（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.

【详解】（1）因为的解集（1，2），

所有的根为1和2，且.

所以，，故，，

所以，即，，

所以，即不等式的解集为.

（2）因为对任意，恒成立，所以，即，

又，所以，故，

所以，

当，时取“=”，

所以的最大值为1.

（3）令，则，所以，

对任意，，恒成立，

所以恒成立，

所以，

所以，此时，

，

当，，时取“=”，

此时成立；

故的最大值为.