2022-2023学年安徽省六安市舒城晓天中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省六安市舒城晓天中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列四组对象能构成集合的是（    ）

A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学

C．晓天镇的大河 D．著名的数学家

【答案】B

【分析】根据集合元素的确定性判断出正确答案.

【详解】集合元素具有确定性，

高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.

“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，

所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.

故选：B

2．已知命题，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.

【详解】命题的否定是，

故选：D.

3．命题是命题的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】解方程得到或，得到答案.

【详解】，解得或，

故命题是命题的既不充分也不必要条件.

故选：D

4．下列四个式子中，y是x函数的是（    ）

A．=x B．y=

C．  D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义，依次判断选项，即可.

【详解】对于A选项，，定义域为，

定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，

所以不是函数，A项错误；

对于B选项，，

定义域为无解，

所以不是函数，B项错误；

对于C选项，定义域为，

对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，

所以是函数，C项正确；

对于D选项，

当时，有两个值0，1与之对应，

所以不是函数，D项错误．

故选：C.

5．若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．－1

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系列出满足的条件，解得答案.

【详解】由题意知，解得，

故选：A．

6．若偶函数在上是减函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案.

【详解】是偶函数，所以，

在上是减函数，所以在上是增函数，

所以，故.

故选：B

7．若则一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

8．若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．18

【答案】B

【分析】将原函数的最值转化为二次函数的最值即可

【详解】由

设

所以当时，函数有最大值

所以在的最大值为，

故选：B.

9．已知集合，，则使的实数的取值范围可是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，集合，，

因为，可得，

当时，可得，解得；

当时，可得，解得，

综上可得，实数的取值范围.

故选：B.

二、多选题

10．不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（     ）.

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据不等式的解集为,可得,代入可解得或,根据题意选.

【详解】因为不等式的解集为，

所以和是方程的两根且，

所以，，

所以,,

由，得,

得,

因为,所以,

所以或,

所以不等式的解集为或,

.故选BC.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.

11．已知函数，则（    ）

A． B．为奇函数

C．在上单调递增 D．的图象关于点对称

【答案】AD

【分析】得，再代入求判断A；由函数定义域即可判断求B；由图象平移可判断的区间单调性和对称中心，从而判断C、D.

【详解】因为，则，故A正确；

由解析式知定义域为，显然不关于原点对称，不是奇函数，故B错误；

的图象可看作是由反比例函数的图象向右移动1个单位长度得到，

故在上递减且关于对称，故C错误，D正确．

故选：AD．

12．下列说法正确的是（    ）

A．函数的最大值为0

B．函数的最小值是2

C．若，且，则的最大值是1

D．若，则

【答案】AD

【分析】利用基本不等式判断各选项．

【详解】对于A选项，由可知，，当且仅当时取等号，故A正确．

对于B选项，，时取等号，因为，等号不成立，故B错误．

对于C选项，由．当且仅当时，取得最大值，故C错误；

对于D选项，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，放D正确．

故选：AD

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】由题可得在R上恒成立，根据二次不等式的解法即得.

【详解】因为函数的定义域为，，

所以在R上恒成立，

则，

解得：.

故答案为：.

14．已知集合，且，则实数的值为___________.

【答案】3

【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.

【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；

若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，

所以.

故答案为：3.

【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.

15．符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列四个结论中正确的编号为________.

①函数的定义域是，值域为；

②函数是增函数；

③；

④方程有无数个解.

【答案】①③④

【分析】利用及的定义，可画出函数的大致图象，根据图象结合条件逐项分析即得.

【详解】由题可知当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

所以可得函数的大致图象，

由图象可得函数的定义域是，值域为，故①正确；

函数在定义域上不具有单调性，故②错误；

由题可知，所以函数是周期为1的周期函数，故，故③正确；

因为方程的解即为函数与交点的横坐标，由图象可知方程有无数个解，故④正确，

故答案为：①③④.

16．若用表示三个数中的最小值,如.则函数的最大值是________．

【答案】6

【分析】的定义即是三个数中最小的数,则的定义为这三个函数中取同一值时,函数值最小的,反映到图像上,即是三个函数图像中下方的图像,在同一坐标系下画出三个函数图像,找出图像,即可找到最大值.

【详解】解:由题知为三个数中的最小值,

则即是这三个函数中取同一值时,函数值最小的,

反映到图像上,即是三个函数图像中下方的图像,

在同一坐标系下画出三个函数图像如图所示:

由上图像可画出如下所示,

联立可得,

由图可知的最大值为6.

故答案为:6

四、解答题

17．如图，已知A(n，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式．

(2)求△AOC的面积．

【答案】（1）y＝，y＝2x＋2.（2）2

【分析】（1）将点代入可求得反比例函数解析式为，再将代入可得，把、代入一次函数解析式，解方程即可得结果；（2）由一次函数解析式，令可得点坐标，由三角形面积公式可得结果.

【详解】解：(1)因为B(1,4)在反比例函数y＝上，所以m＝4，

又因为A(n，－2)在反比例函数y＝＝的图象上，所以n＝－2，

又因为A(－2，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b上的点，联立方程组解得

所以y＝，y＝2x＋2.

(2)因为y＝2x＋2，令x＝0，得y＝2，所以C(0,2)，所以△AOC的面积为：S＝×2×2＝2.

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.求函数解析式常见方法有：（1）换元法；（2）待定系数法；（3）消元法；（4）特值法.

18．已知全集，集合或，.

(1)等式是否可能成立？说明理由；

(2)当时，求的取值集合.

【答案】(1)不可能，理由见解析

(2)

【分析】根据集合间的关系，确定另一个集合的范围，列不等式组求解即可得出参数的范围.

【详解】（1）解：不可能，理由如下：

若要使，

，解集为，

所以等式不可能成立；

（2）当时，

当时，，

综上所述，的取值集合为.

.

19．求证下列问题：

(1)已知均为正数，求证:.

(2)已知，求证: 的充要条件是.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立.

（2）结合不等式的性质、差比较法以及充要条件的知识证得结论成立.

【详解】（1）

，

当且仅当，即时等号成立.

（2）依题意，则或，

所以：，

所以：的充要条件是.

20．已知的解集为，的解集为，的解集为，若，求，的值.

【答案】.

【分析】先求解出不等式解集，由此可得集合，根据交集运算可求解出，结合一元二次不等式解集的端点值与对应一元二次方程的根的关系求解出的值.

【详解】因为，所以，所以，所以，

又因为，所以，所以，所以，

所以，

又因为的解集为，

所以，所以.

21．已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围.

【答案】

【分析】根据不等式的解集先求出的值，再利用基本不等式中“1”的代换将恒成立等价转化成关于的一元二次不等式，解之即可.

【详解】因为关于的不等式的解集为或，

所以和1是方程的两根，则有，解得：，

所以，

则

（当且仅当，也即时取等号）

因为恒成立，也即，解得：，

所以实数的取值范围为.

22．设函数，且

（1）求的值；

（2）试判断在上的单调性，并用定义加以证明；

（3）若求值域；

【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析；（3）.

【分析】（1）由即可解得；

（2）利用函数单调性的定义可以判断、证明即可；

（3）利用函数的单调性求函数的值域即可.

【详解】（1）由得，.

（2）在上单调递减，

证明：由（1）知，，

设任意，则.

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在上单调递减.

（3）由于函数在上单调递减，

所以，.

所以函数的值域为.

【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，定义证明函数单调性的常用方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于简单题.