2022-2023学年北京市第一五六中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市第一五六中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第一五六中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.2．方程组的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用代入消元法计算即可.【详解】依题意，将代入，得，解得或，当时，；当时，；所以方程组的解集为.故选：A.3．设函数，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用分段函数的函数值求法求解即可.【详解】因为，所以.故选：C.4．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．若函数是偶函数，且在区间上单调递减，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，结合单调性得出.【详解】因为函数是偶函数，所以又在区间上单调递减，且所以，即故选：A6．函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先判断函数在上的范围，排除A；再判断在区间上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.【详解】因为是定义在上的连续函数，当时，，所以，即零点不可能在内；任取，则，因为，所以，，即，即，所以在上单调递增；又，，，，根据零点存在性定理，可得在内有零点，故选：C.7．设方程的两个不等实根分别为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据韦达定理得到，化简，计算得到答案.【详解】，，故，.故选：D.8．函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出当时的值域,再取并集即可.【详解】当时,,故.当时,,故的值域为.故选D.【点睛】分段函数的值域只需每段函数单独求解值域再求并集即可.9．设a，b∈R，若a﹣|b|>0，则下列不等式中正确的是（    ）A．b﹣a>0 B．a2﹣b2<0 C．a3﹣b3<0 D．b+a>0【答案】D【分析】依题意可得，即可得到，，再根据不等式的性质判断可得；【详解】解：因为，即，又且，所以，，，，即所以，，， 故选：D10．若，则“”是 “”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.11．已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为                                      A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能．3、可以推测集合A中不可能有3个元素；4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能．综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键． 二、多选题12．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用一次函数、二次函数与幂函数的单调性判断即可.【详解】对于A，易知开口向上，对称轴为，则在上单调递减，故A错误；对于B，易知一次函数在上单调递减，故B错误；对于C，当时，，则在上是增函数，故C正确；对于D，因为幂函数在上是增函数，故D正确；故选：CD. 三、填空题13．已知命题：“”，则：______________．【答案】【详解】∵全称命题的否定是特称命题.∴故答案为14．函数f（x）=的定义域为________.【答案】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为．故答案为：15．不等式的解集为___________.【答案】【分析】利用分式不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，故，所以不等式的解集为.故答案为：.16．几位同学在研究函数时给出了下列四个结论：①的图象关于轴对称；②在上单调递减；③的值域为；④当时，有最大值；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①，②，④【解析】①利用定义研究函数奇偶性； ②化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；③④结合单调性与对称性，可求出函数的值域，可知当时，的最大值；【详解】对于①，函数定义域为，关于原点对称，，即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故①正确； 对于②，当时，，利用反比例函数性质，可知函数在上单调递减，故②正确；③由函数在上单调递减，知在上的值域为，当时，的值域为，利用偶函数对称性知的值域为，故③错误；④由③知，当时，有最大值；故答案为：①，②，④【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值函数的奇偶性，单调性，值域，解题的关键在于研究函数时一定先求函数的定义域，利用定义域将绝对值函数写成分段函数，利用偶函数只研究上的性质，即可知道函数在定义域上的性质。 四、解答题17．已知集合(1)若，全集，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）解二次不等式化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；（2）利用数轴法分类讨论与，即可求得的取值范围.【详解】（1）由得，解得，所以，又，所以所以，故.（2）因为，所以当时，，无解；当时，由数轴法得或，故或，综上：或，即实数的取值范围为.18．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.已知函数(1)若，求函数在上的值域；(2)当___________时，求函数的最小值以及相应的的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）利用二次函数的单调性即可求得在上的值域（2）利用二次函数轴动区间定进行分类讨论，从而得到的最小值以及相应的的值.【详解】（1）因为，所以，易得开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，又，所以，则，故在上的值域.（2）选择条件①的解析：因为开口向上，对称轴为，，所以当，即时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；综上：当时，的最小值为，此时；当时，的最小值为，此时；当时，的最小值为，此时.选择条件②的解析：因为开口向上，对称轴为，，所以当，即时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；综上：当时，的最小值为，此时；当时，的最小值为，此时；19．已知定义在上的奇函数.（1）求；（2）用定义证明：在区间上单调递减；（3）若实数满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由是定义在上的奇函数，得到，即可求解；（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在单调递减.（3）结合在单调递减，转化为，即可求解实数的取值范围.【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得.（2）任取且，则因，故，从而，即，所以函数在单调递减.（3）由，又由，因为，结合在单调递减，可得，即，解得或，即实数的取值范围.【点睛】含有“”的不等式的解法：1、首先根据函数的性质把不等式转化为的形式；2、根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意和的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.20．某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中.(1)若病人一次服用1个单位的药剂，则3小时后药剂在血液中的含量至多为___________克？(2)若病人一次服用3个单位的约剂，求有效治疗时间；(3)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，求的最小值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）分段讨论的单调性，求得当时，，由此可得；（2）依题意得，分段讨论解关于的不等式，得到，由此可得；（3）结合题意得到，由对恒成立，利用参数分离法及二次函数的最值即可求得的最小值.【详解】（1）依题意知，，则，又因为，当时，，显然在上单调递减，故；当时，，显然在上单调递减，故；综上：当时，，即，所以3小时后药剂在血液中的含量至多为.（2）依题意知，，则，因为时，药剂才起有效治疗作用，所以，即，当时，，则，解得，故；当时，，则，解得，故；综上：当时，，即有效治疗时间为小时.（3）依题意，得6个小时后，药剂在血液中的含量为，因为对恒成立，即对恒成立，整理得对恒成立，令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，即，所以，即的最小值为.21．设A是如下形式的2行3列的数表， 满足性质，且.记为A的第行各数之和为A的第列各数之和；记为中的最小值.(1)对如下数表A，求的值；11 (2)设数表A形如11 其中.求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，分别求出，从而得到；（2）根据题意，结合分别求出，再用作差法比较得到其中的最小值，由此得到，从而可求得的最大值.【详解】（1）根据题意，易得，，所以.（2）根据题意，易得，，因为，则，，，所以，，又因为，故，又，所以，又，所以，即的最大值为. 五、双空题22．已知函数（1）若，则函数的单调递减区间是___________.（2）函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________.【答案】          【分析】结合二次函数的图像性质即可得解.【详解】（1）因为，所以，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，故的单调递减区间是；（2）因为开口向上，对称轴为，又因为在区间上是减函数，所以，即，则.故答案为：；.23．已知对于任意两个实数，都有成立.若，则___________；___________.【答案】          【分析】利用赋值法即可得解.【详解】因为，所以令，则；令，则；令，则；令，则，得；令，则；令，则，得；令，则，得；所以.故答案为：；.