2022-2023学年福建省南平市浦城县高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省南平市浦城县高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，那么（    ）

A． B． C． D．集合A的真子集个数为8

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断．

【详解】中有三个元素0，1，2，，因此B正确，元素与集合间是属于与不属于的关系，集合与集合之间是包含与不包含的关系，AC错，A的子集有8个，真子集有7个，D错．

故选：B．

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】当时，不一定成立，如满足，不满足，

当时，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．若全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义运算即得.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

4．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】若，，则，，则A、B错误；

若，，则，则C错误；

，，又，，则D正确.

故选：D.

5．已知，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】由于，所以，构造基本不等式即可解决问题.

【详解】，

，

当且仅当，即时取等号，

故选：D.

6．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得和3是方程的两个根，且，则可求出的值，可得的解析式，然后解不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以和3是方程的两个根，且，

所以，解得，

所以，

由，得，

，即，

，解得，

所以不等式的解集为，

故选：B

7．下列比较大小中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的单调性进行判断即可.

【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，

对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，

对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，

因为，又，

所以，故C正确，

对于D选项，在上是递增函数，

又，所以，所以，故D错误.

故选：C.

8．下列命题中，正确的有（    ）个

①若，，：，则它是函数；

②若函数的定义域是，则函数的定义域为；

③幂函数与图像有且只有两个交点；

④当时，方程恒有两个实根.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；

对于②，由抽象函数的定义求解即可；

对于③，结合幂函数的性质判断；

对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.

【详解】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；

对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数的定义域为，故②对

对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；

于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；

故选：C

二、多选题

9．下列各图中，可能是函数图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据函数的定义以及函数的图象，逐个分析，一个不能对应两个值，故B错误，其他选项正确.

【详解】B选项，当时，有2个值与之对应，不符合函数定义，故B错误，其余选项根据函数的定义与函数图象的关系均可能是函数图象.

故选：ACD.

10．下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）

A． B．y=t+1 C． D．

【答案】BD

【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.

【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.

函数的定义域是.

的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；

与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.

故选：BD．

11．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．

【详解】解：∵，，

∴，，

因为，

又由，所以，选项A正确；

，，则，，所以，选项B正确；

因为，，则，，此时，

所以，故选项C不正确；

由和知与均递减，

再由，的大小关系知，故选项D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．在上是增函数 C．的值域是 D．的值域是

【答案】BD

【分析】根据所给定义利用特殊值及奇偶性的定义判断A，根据复合函数的单调性判断B，求出的值域，即可得到的值域，即可判断C、D；

【详解】根据题意知，.

∵，

，

，，

∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

因为在定义域上单调递增，且，在上单调递增，

所以在上是增函数，故B正确；

，，，，

，即，，故C错误，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．命题“”的否定是___________

【答案】

【分析】由全称命题的否定，将任意改存在并否定原结论，即可得写出否定形式.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以原命题的否定为.

故答案为：

14．已知，函数，若__．

【答案】3

【分析】利用分段函数求得的值，可得要求式子的值．

【详解】，函数，

，

(2).

故答案为：3．

15．函数的值域是_______________.

【答案】

【分析】先求出函数的定义域为，代入即可求出值域

【详解】函数的定义域为，

化简得：，

解得：，

所以函数的值域为.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，则该函数过定点______，若该定点在直线上，则的最小值为______．

【答案】         

【解析】根据指数函数的性质，先得出函数所过定点，再利用基本不等式，可得出的最小值.

【详解】因为，令可得，，

所以该函数过定点；

又该定点在直线上，

所以，

因此，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：；.

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

五、解答题

17．计算：

(1)．

(2)．

【答案】(1)．

(2)．

【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.

【详解】（1）

（2）

.

18．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．

(1)求f（x）的解析式；

(2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点（2，4）代入函数解析式即可；

（2）根据函数的单调性，即可求出m的取值范围.

【详解】（1）将点（2，4）代入 ，得 ，

故 ；

（2） ， 是增函数，

，即 ，

， ；

综上，，.

19．已知关于的不等式的解集为或.

(1)求a，b的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a，b的值；

（2）在（1）的前提下，对不等式变形为，对分类讨论，求解不等式的解集.

【详解】（1）易知，

由题意得b，3是关于的方程的两个不相等的实数根，

所以，

解得：，

所以.

（2）由（1）得，

当时，不等式无解；

当时，解得：；

当时，解得：.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20．已知定义域为R的函数是奇函数．

(1)求a，b的值．

(2)判断函数的单调性，并用定义证明．

(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，．

(2)在上为减函数，证明见解析．

(3)．

【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；

（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；

（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.

【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，

∴，又∵，即，∴．

则，由，

则当，原函数为奇函数．

（2）由（1）知，

任取，设，则，

因为函数在R上是增函数，，∴．又，

∴，即，∴在上为减涵数．

（3）因是奇函数，从而不等式：，

等价于，

因为减函数，由上式推得：．

即对一切有：恒成立，设，

令，则有，

∴，

∴，即k的取值范围为．

21．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足：

(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?（利润=总收入-总成本）

【答案】(1)；

(2)当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

【分析】（1）分与两种情况，求解出利润P表示为月产量x的函数即得；

（2）分与两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.

【详解】（1）当时，，

故，

当时，，

故，

故；

（2）当时，，

故当时，取得最大值，最大值为25000；

当时，单调递减，故，

综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

22．已知函数.

(1)若函数的定义域为，值域为，求的值；

(2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知，利用函数的单调性建立方程组求解.

（2）根据已知对式子进行变形，转化为含参的一元二次方程问题，分类讨论进行求解.

【详解】（1）由题意可得，的定义域为，

对任意且满足，则，

则，故在定义域上单调递减.

因为在上的值域为，所以，

所以；

（2）因为，即，

所以，且，①

所以，即，②

当时，方程②的解为，代入①成立；

当时，

①当，即时，方程②的解为，代入①不成立：

②当，且时，方程②的解为或，

将代入①得：，且，

所以且，

将代入①得：，且，

所以且，

要使方程有且仅有一个解，则.

综上，的取值范围为.