2022-2023学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用交集的运算法则进行计算.

【详解】

故选：C

2．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.

【详解】依题意得，，解得，故.

故选：D.

3．不等式的解集是(    )

A． B．

C．{x|x≤－2或x≥3} D．{x|x≤－3或x≥2}

【答案】C

【分析】将3－x化为x－3，再根据二次不等式的解法求解﹒

【详解】{x|x≤－2或x≥3}，

故选：C﹒

4．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即，，

故选：A.

5．如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可.

【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；

B.当时满足，但此时，故B选项错误；

C.当时满足，但此时，故C选项错误；

D.由得：，即，故D选项正确.

故选：D.

6．若两个正实数x，y满足，则的最小值是（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【分析】“1”的活用，利用基本不等式即可求出最小值

【详解】由题意，

两个正实数x，y满，则，

当且仅，即，时，等号成立．

故选：C.

7．已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的概念设出的表达式，再代入点解之即可.

【详解】∵为幂函数，

∴设（是不为零的常数），

又∵过点，

∴，又，∴，

∴．

故选：B.

8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

二、多选题

9．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（    ）

A．f(x)＝  B．f(x)＝－x3

C．f(x)＝x|x| D．f(x)＝－

【答案】BD

【解析】A项是奇函数，但是不符合减函数定义；B项符合；C项去绝对值求出分段函数，判断为增函数；D项结合定义判断正确

【详解】A．在定义域上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；

对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意；

对于C，f(x)＝x|x|＝在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；

对于D，f(x)＝－在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．

故选：BD．

10．已知偶函数在上为增函数，且，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】BC

【分析】利用偶函数的性质得到，再由在上的单调性得到，不等式两边平方得到二次不等式，解之即可.

【详解】因为为偶函数，且得：，

因为函数在上为增函数，

所以，则，

整理可得，解得，即，

因为，，，，

所以AD错误，BC正确.

故选：BC．

11．下列说法正确的有（    ）

A．的最小值为2

B．任意的正数， 且，都有

C．若正数、满足，则的最小值为3

D．设、为实数，若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.

【详解】选项A： ，

当 时， ，当且仅当时有最小值.

故A不正确.

选项B：

对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，

当且仅当 时取得最大值.

所以 ，当且仅当时取得最大值.

故B正确.

选项C：对于正数， ,所以

所以

当且仅当 ，即时取得最小值.

故C正确.

选项D：因

所以 ，即

所以 ，当且仅当 时等号成立.

故D正确.

故选：BCD.

12．对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（    ）

A．，

B．，

C．函数的值域为［0，1）

D．方程有两个实数根

【答案】BCD

【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，当时，，所以A错误，

对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B正确，

对于C，由选项B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C正确，

对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．计算______________．

【答案】

【分析】依据指数运算的运算律计算结果.

【详解】原式．

故答案为：.

14．已知，则___________.

【答案】7

【分析】将平方即可求出.

【详解】，

，

.

故答案为：7.

【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.

15．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．

【详解】若“x＜﹣1”是“x≤a” 必要不充分条件，

则（﹣∞，a]（﹣∞，﹣1），

则a<﹣1，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1，

故答案为（﹣∞，﹣1

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键,是基础题.

16．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据分段函数的两段都单调递增，时最大值小于或等于时的下界列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】当时，对称轴为，

因为函数在上是增函数，

则，解得，

故答案为：.

四、解答题

17．已知全集，集合，集合.

(1)当时，求与；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）先求解一元二次不等式得到集合，代入，得到集合，利用交集运算可得，利用补集运算得到，在利用并集运算可得；

（2）先求解集合时的解，再求解时，根据包含关系得到不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：集合，当时，

或，故，或.

（2）解：由题可知.或，若

①当时，即，符合题意.

②当时，即时

（ⅰ）不符合题意，舍去

（ⅱ）解得，

综上所述，.

18．已知函数为定义在上的偶函数，其部分图象如图所示.

(1)请作出函数在上的图象；

(2)根据函数图象写出函数的单调区间及最值.

【答案】(1)答案见解析

(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，最大值为2，最小值为-2.

【分析】（1）根据偶函数图像关于轴对称作图.

（2）由图像可写出单调区间及最值.

【详解】（1）画图如图：

（2）根据函数图象，的单调递增区间为，，

的单调递减区间为，，

的最大值为2，

的最小值为-2.

19．已知定义在区间上的函数．

(1)求函数的零点；

(2)若方程有四个不等实根，且，证明．

【答案】(1)和；

(2)证明见解析.

【分析】（1）令，解方程即可；

（2）根据对勾函数图像结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）令，解得，．

所以函数的零点是和.

（2）证明：

易知对勾函数的图像如下图所示：

则的图像如下：

如图，要使有四个根，则，

令，当，则，

由韦达定理知：；

当，则，

由韦达定理知：．

∴．

20．已知不等式的解集为

(1)求，的值；

(2)解不等式.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意可得或是方程的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可得原不等式可化为，再对参数分类讨论，即可得解；

【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，

所以或是方程的根，

根据韦达定理，

解得，

（2）解：由（1）可知不等式化为，

即

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

21．武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.

(1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；

(2)求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.

【答案】(1)；

(2)加工（吨），利润的最大值6万元.

【分析】（1）根据已知条件及投入成本函数，讨论、对应利润函数式，即可得其分段函数形式；

（2）分别求出不同分段上的最值，并比较大小，即可得结果.

【详解】（1）当时，.

当时，.

故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：

.

（2）当时，，

所以时，取得最大值5万元；

当时，因为，当且仅当时，等号成立，

所以当时，取得最大值6万元，

因为，故当时，取得最大值6万元.

22．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)解不等式：.

【答案】(1)；

(2)函数在上单调递增，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；

（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，

即，可得，则，

所以，，则，因此，.

（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：

任取、且，则

，

因为，则，，故，即.

因此，函数在上是增函数.

（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，

由得，

由已知可得，解得.

因此，不等式的解集为.