2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题可知：

所以，，

所以答案选A

【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.

2．命题“，都有”的否定是（    ）

A．不存在， B．存在，

C．存在， D．对任意的，

【答案】C

【分析】全称与特称命题的否定分两步，第一步：改量词；第二步：否结论，据此回答即可.

【详解】第一步：改量词，由改成存在；

第二步：对进行否定得；

所以原命题的否定为：存在，.

故选：C.

3．设命题甲为：，命题乙为，那么甲是乙的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】解出命题乙中的不等式，利用充要条件的定义判断即可.

【详解】不等式解得，由，

所以“”是“”的充分不必要条件，即甲是乙的充分不必要条件.

故选：C

4．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用不等式的性质，赋值法进行判断解决即可.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，当时，必有，所以，故D正确；

故选：D

5．幂函数与幂函数（    ）

A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数

【答案】B

【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决.

【详解】由题知

，定义域为，单调性递增，值域为，

，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为，

所以与值域相同，

故选：B

6．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得且，不等式等价于，即可解决.

【详解】由题知，不等式的解集是，

所以且，

因为可变为，

所以，

所以，

所以不等式的解集是，

故选：C.

7．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC.

【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.

对于B，的定义域为，故B错误；

对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；

对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；

故选：C

8．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．

【详解】因为元二次方程有两个实数根，，且，

令，则由题意可得，即

解得，又，可得.

故选：A

【点睛】思路点睛：本题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数范围，根据方程根(或函数零点)求参数范围的一般步骤为：

(1)转化：把已知方程的解的存在情况转化为函数零点或两函数图象的交点的情况；

(2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式；

(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围．

二、多选题

9．下列函数中是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再计算是否成立，据此即可判断.

【详解】易得四个选项中的定义域为，关于原点对称，

对于A，因为，所以，则是偶函数，故A正确；

对于B，因为，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，

综上：，所以是偶函数，故B正确；

对于C，因为，所以，则是奇函数，故C错误；

对于D，因为，所以，则是偶函数，故D正确.

故选：ABD.

10．下列结论中，正确的是（    ）

A．函数是指数函数

B．函数的单调增区间是

C．若，则

D．函数（且）的图象必过定点

【答案】BCD

【分析】利用指数函数的概念可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断B选项；利用指数函数的单调性可判断C选项；求出函数所过定点的坐标，可判断D选项.

【详解】对于A选项，函数不是指数函数，A错；

对于B选项，因为内层函数的增区间为，减区间为，

外层函数为上的减函数，

由复合函数的单调性可知，函数函数的单调递增区间为，B对；

对于C选项，若，则，故，C对；

对于D选项，对于函数，由可得，且，

所以，函数的图象必过定点，D对.

故选：BCD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为.

B．若函数，则在区间上单调递减.

C．若正实数，满足，则.

D．若函数，则对任意，有.

【答案】CD

【分析】对于A，利用幂函数的概念及待定系数法求得该幂函数的解析式即可判断；

对于B，先证得是偶函数，再利用幂函数在上的单调性及奇偶函数的对称性即可判断；

对于C，利用幂函数在上的单调性即可判断；

对于D，将题设条件依次变形成一个显而易见的结论，从而得证.

【详解】对于A，不妨设该幂函数为，则有，解得，则该幂函数为，故A错误；

对于B，因为，所以，定义域也关于原点对称，

所以是偶函数，又在上单调递减，

所以在区间上单调递增，故B错误；

对于C，因为在上单调递增，所以由得，

又因为，在上单调递减，所以，故C正确；

对于D，因为，要证对任意，有，即证，

即证，即证，即证，显然成立，故D正确.

故选：CD.

12．设二次函数，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，不等式的解集为 D．当时，不等式的解集为

【答案】ABC

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项进行检验即可求解.

【详解】对于A，当时，，

二次函数开口向上，对称轴为，在区间上单调递增，

所以，故选项A正确；

对于B，当时，，

开口向下，对称轴为，在区间上单调递减，

所以，故选项B正确；

对于C，当时，二次函数

因为对应方程的判别式，所以不等式的解集为，

故选项C正确；

对于D，当时，二次函数，不等式可化为

，解之可得：，

所以不等式的解集为，故选项D错误，

故选：.

三、填空题

13．若函数满足，则___________.

【答案】

【分析】令，直接求解即可.

【详解】因为，故当时可得.

故答案为：.

14．已知函数为R上的奇函数，且当时，，则____.

【答案】

【分析】利用奇函数的定义即可求解.

【详解】当时，，故.

∵为奇函数，∴.

故答案为: .

15．函数满足下列性质：

（1）定义域为，值域为；

（2）图象关于对称；

（3）对任意，且，都有.

请写出函数的一个解析式___________（只要写出一个即可）.

【答案】（答案不唯一）

【分析】分析题设条件（3），可证得在上单调递减，结合（1）（2）的条件可取到函数，再逐一检验即可.

【详解】对于（3），因为对任意，且，都有，

不妨设，则，故，即，

所以在上单调递减，

由题意，不妨取，

此时，则定义域为，值域为，满足（1）；

同时，的图象的对称轴为，满足（2），

而开口向上，所以在上单调递减，满足（3），

所以满足题意，则.

故答案为：（答案不唯一）.

16．若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】分别讨论、，结合指数函数性质，画出图象，即可列出两函数图象有两个交点的条件.

【详解】当时，函数如图所示，此时，只有一个交点，不成立；

当时，函数如图所示，此时，要使两个函数的图象有两个交点，则有，即.

故答案为：

四、解答题

17．（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接计算即可.

（2）计算得到，平方化简得到答案.

【详解】（1）

.

（2），故，故，

，故.

18．已知全集，集合，.

(1)当时，求，；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或；

(2).

【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得，.

（2）根据列不等式组，由此求得的取值范围.

【详解】（1）因为,

所以或,

当时，,

所以,

或.

（2）因为全集，所以集合，

又，

因为，所以，解得，

所以．

19．（1）已知，，，求的最小值；

（2）已知，，，为任意实数，求证：.

【答案】（1）；（2）证明过程见解析

【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；

（2）作差法证明不等式.

【详解】（1）因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为；

（2），

当且仅当时，等号成立，

故，即.

20．已知函数.

(1)求作函数的图象.

(2)写出的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明）

【答案】(1)详见解析

(2)单调递增区间是和，单调递减区间是.

【分析】(1)首先去绝对值，写成分段函数形式，再画函数的图象；

（2）根据图象写出函数的单调区间.

【详解】（1），画出函数的图象，

（2）由图可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.

21．某企业生产两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示.

(1)分别将两种产品的利润表示为投资额的函数.

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（结果精确到0.1万元）？

【答案】(1)，；

(2)当A产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.1万元．

【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；

（2）设A产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．

【详解】（1）设投资额为万元，A产品的利润为万元，产品的利润为万元，

由题设得，，

由图可知，则，又，所以，

所以，；

（2）设A产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，

则，，

令，则，故，

所以当时，，此时，，

所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.1万元．

22．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并证明；

(2)证明在区间上是增函数；

(3)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)为奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

(3)，

【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可；

（2）利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.

（3）根据的奇偶性与单调性得到在区间的单调性，从而求出函数的最值.

【详解】（1）解：为奇函数，

证明：由已知，函数的定义域为．

则，都有，

且，

所以函数为奇函数．

（2）证明：任取，且，则，

那么

因为， 所以，，，

所以，

所以，

所以在上是增函数．

（3）解：因为为奇函数，且在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

所以当时，取得最小值，即，

当时，取得最大值，即.