2022-2023学年广东省清远市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省清远市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知命题p：，，则命题p的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.

【详解】因为全称命题的否定为特称命题，

所以命题“，”的否定是，.

故选：B.

2．已知集合，则以下关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断，即可得到结果.

【详解】因为，所以，

所以，A错误；，B错误；，C错误；D正确.

故选:D.

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义域得到，解得答案.

【详解】函数的定义域满足：，解得.

故选：C

4．已知幂函数的图象过点，则的值为（　　）

A．3 B．9 C．27 D．

【答案】C

【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值．

【详解】幂函数的图象过点，

可得，解得，

幂函数的解析式为：，

可得（3）．

故选：．

5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.

【详解】函数，

对于A，，其图象关于原点对称，是奇函数，A是；

对于B，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B不是；

对于C，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C不是；

对于D，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D不是.

故选：A

6．已知､，，均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质对各个选项逐一验证，即可得到结果.

【详解】若，，则；故选项A错误；

若，，则，即，故选项B错误；

若，，则，所以，故选项C正确；

若，则；若，则；故选项D错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

7．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（    ）

A．80元 B．60元 C．50元 D．40元

【答案】D

【分析】依题意可得利润函数，进而可得结果.

【详解】由题意可知，利润，

令，则．当且仅当即（元） 时利润最大．

故选：D.

8．若正数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】C

【分析】由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值

【详解】因为正数满足，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

故选：C

二、多选题

9．若不等式成立的充分条件是，则实数的取值可以是（   ）

A．2 B．1 C．0 D．1

【答案】CD

【分析】求出不等式成立的充要条件，然后根据充分条件求出参数范围，然后判断．

【详解】，则，．

故选：CD．

10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据奇偶性的性质，结合函数图象判断即可.

【详解】对于选项AC，由，可知、，不是偶函数，故AC错；

对于选项BD，都满足，且结合图象可知在上都是单调递减的，故BD正确.

故选：BD.

11．函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ）

A．函数的值域为 B．若，则

C．若，则 D．，

【答案】BD

【分析】求得函数的值域判断选项A；推理证明判断选项B；举反例否定选项C；举例证明，.判断选项D.

【详解】选项A：函数的值域为.判断错误；

选项B：若，则，，则.判断正确；

选项C：，但.判断错误；

选项D：当时，.

则，.判断正确.

故选：BD

12．已知不等式的解集为，则实数的取值可以是（    ）

A． B．0 C． D．1

【答案】BCD

【分析】首先讨论系数时是否满足；当不等式为二次不等式时应满足 且解得的取值范围.

【详解】令，解得，当时，不等式化为，解得，当a=-1时不满足；

当时，应满足，且，解得，此时不等式的解集为.

综上，实数的取值范围是.故BCD符合.

故选：BCD

三、填空题

13．若，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，则a=___________.

【答案】3

【分析】根据集合相等的概念得到方程组，解之即可求出结果.

【详解】∵，

∴，解得，

或，无解

所以.

故答案为：3.

14．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____.

【答案】25

【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.

【详解】设两条直角边的边长分别为，则，

故即，当且仅当时等号成立，

故直角三角形面积的最大值为，

故答案为：

15．已知命题：“，”，命题：，，若的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用全称量词命题为真命题求出a的范围，再利用存在量词命题为真命题求出a的范围，即可求解作答．

【详解】由，，得，由的否定是假命题，得是真命题，于是得；

，，即方程有实根，则，解得，

又是真命题，则；

因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是.

故答案为：

16．已知函数，则______.

【答案】##1010.75

【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.

【详解】因为，，

所以

.

故答案为：

四、解答题

17．设集合，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）用列举法表示集合A，再利用并集、交集的定义求解作答.

（2）利用交集、补集、并集的定义直接求解作答.

【详解】（1）依题意，，

因，，则,

所以.

（2）由，得：，而，

因此，

所以.

18．设函数，且．

(1)求解析式；

(2)判断在区间上的单调性，并利用定义证明．

【答案】(1)

(2)在上递增，证明见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得解析式.

（2）判断出的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明.

【详解】（1）依题意.

所以.

（2）在上递增，证明如下：

任取，

，

其中，所以，

即，所以在上递增.

19．(1)求不等式的解集.

(2)求关于的不等式 (其中)的解集.

【答案】（1）或；（2）分类讨论，详见解析.

【分析】（1）通分，将分式不等式转化为整式不等式，解整式不等式即可，需注意分母不能为零．

（2）先利用十字相乘法因式分解，然后对分类讨论．

【详解】解:(1)原不等式化为，即，

所以，解得或，

不等式解集为.

(2)原不等式可化为，

当，即时，解得或

当，即时，解得，

当，即时，解得或.

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为;

当时，不等式的解集为

【点睛】本题考查分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，属于基础题．

20．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．

（1）求实数k的值；

（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．

【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1．

【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值；

（2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解.

【详解】（1）为幂函数，

∴，解得或，

又在区间内的函数图象是上升的，

，

∴k＝2；

（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，

∴，即，

，∴a＝0，b＝1．

【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题.

21．如图，围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修,旧墙足够长），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的一扇门，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，一扇门的造价为600元，设利用的旧墙的长度为x m，总造价为y元.

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【答案】(1)．

(2) m时，总造价最小，最小造价为10860元．

【分析】（1）由矩形面积求得矩形的宽，然后由题意可得总造价；

（2）由基本不等式得最小值．

【详解】（1）由题意矩形的宽为（m），

总造价为（元），

所以所求函数为．

（2），当且仅当，即时等号成立．

所以 m时，总造价最小，最小造价为10860元．

22．已知是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求函数在上的解析式；

（2）若在上有最大值，求实数的取值范围.

【答案】(1) （2）..

【解析】（1）令，则，得到，再根据是定义在上的奇函数求解.

（2）结合（1）的结论，作出函数的图象,结合图象分，，讨论求解.

【详解】（1）令，则.

所以.

又是定义在上的奇函数，

所以，

且.

所以

（2）结合（1）的结论，作出函数的图象如下：

当时，，

所以在区间上有最大值，满足题意；

当时，在区间上无最大值，不满足题意；

当时，易得在区间上有最大值，满足题意.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分析出当时，时取得最大值，当时，时取得最大值，从而得到b的分类标准.