2022-2023学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由补集和交集的定义进行运算.

【详解】由集合，

有，又，所以．

故选：B．

2．命题“”的否定为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件，所以C选项正确.

故选：C

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合指数与对数函数单调性可比较大小.

【详解】，，

因为单减，故，所以.

故选：B

4．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.

【详解】的定义域为，是非奇非偶函数，A选项错误.

是非奇非偶函数，C选项错误.

的定义域是，在定义域上没有单调性，D选项错误.

令，的定义域为，

，所以是奇函数，

即是奇函数，

由于在上都是增函数，所以在上递增，符合题意，B选项正确.

故选：B

5．下列四个命题中，真命题的是（    ）.

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】结合已知条件，利用不等式性质和赋值法即可求解.

【详解】对于A：若，当时，则，故A错误；

对于B：若，，不妨令，，，，

此时，故B错误；

对于C：若，则由不等式性质可知，，故C正确；

对于D：若，不妨令，此时，故D错误.

故选：C.

6．下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．函数（且）过定点

D．若关于的不等式的解集为，则

【答案】D

【分析】A.由判断.

B.由计算可判断.

C.由去构造.

D.由三个二次的关系得方程的两根，进而可得答案.

【详解】A.，       ，故选项A错误.

B. ，故选项B错误.

C. ，   时，，即函数恒过定点，故选项C错误.

D. 若关于的不等式的解集为，则是方程的两个根，所以有，得，故，故选项D正确.

故选：D.

7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.

【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；

对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；

但是最终是乌龟到达终点用的时间短.

故选：B．

【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.

8．设函数若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分和讨论，当时根据二次函数性质可知符合题意，对时得到边界点时纵坐标的大小关系得到不等式，解出范围，最后总结即可.

【详解】当时,的对称轴为,

当,即时,此时,使得;

当,即时,在上单调递增,在上也递增,

要想,且,使得,则,得,

又,则.

综上

故选：A.

二、多选题

9．若函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数定义域为 B．时，

C．的解集为 D．

【答案】BD

【分析】根据对数函数得图像性质解决即可.

【详解】由题知，，

对于A，函数定义域为，故A错误；

对于B，在上单调递减，

当时，，故B正确；

对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：BD

10．若，，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】BCD

【分析】直接利用不等式的性质和不等式成立的前提条件以及作差法的应用判断各选项即可得出结论.

【详解】对于选项A，，，

由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号,，故A不正确；

对于选项B，，，

由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号，故B正确；

对于选项C，，

,,即 ,.故C正确；

对于选项D，, 当且仅当 , 即 时取等号, 故D正确.

故选：BCD.

11．已知，现有下面四个命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】当时，由可得，进而得，当时 ，利用指对互化及换底公式可得.

【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；

当时，由，可得，

则，所以B正确.

故选：AB.

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】ACD

【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.

【详解】由，得：函数是R上的偶函数，

由，，得：在上单调递增，

对于A，，A正确；

对于B，，又函数的图象是连续不断的，

则有，解得，B不正确；

对于C，由及得，，解得或，

由得：，解得，

化为：或，解得或，即，C正确；

对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，

因此，，，取实数，使得，则，，D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.

【答案】

【分析】根据f(x)的定义域，直接解出f(2x)的定义域即得．

【详解】f(x)的定义域为[0,2]

函数f(2x)的定义域为，解得．

【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题．

14．若集合有且仅有两个子集，则实数的值为________.

【答案】0或

【分析】首先结合已知条件，求出集合中元素个数，然后对中的参数分类讨论即可求解.

【详解】由题意可知，中只有一个元素，

若，则，满足题意；

若，则只有一个解，

则，解得，

综上所述，实数的值为0或.

故答案为：0或.

15．函数在区间上递减，则实数a的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由于函数解析式的二次项系数不确定，故分，和三种情况进行研究，结合一次函数和二次函数的性质进行分析，最后综合讨论结果，即可求得实数的取值范围．

【详解】函数在区间上是递减的，

①当时，，

，

在上单调递减，符合题意；

②当时，函数为二次函数，

二次函数在对称轴右侧单调递增，

不可能在区间上递减，

故不符合题意；

③当时，函数为二次函数，对称轴为，

二次函数在对称轴右侧单调递减，且在区间上是递减的，

，解得，

实数的取值范围是．

综合①②③，可得实数的取值范围是．

故答案为：．

16．已知函数，若，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设，证明其为奇函数，减函数，不等式化为，再由奇偶性与单调性变形为，分离参数为，然后求得的最大值，即可得结论．

【详解】令，

则，是奇函数，

设，则，，，

，∴，从而，

所以在上是减函数，又是奇函数，所以它在上也是减函数，

所以在上是减函数，

不等式可化为，

即，，

所以，，

令

设，，

，

当时，，，，递减，

当时，，，，递增，

所以，，∴在上的最大值为，

故答案为：．

【点睛】结论点睛：不等式恒成立与能成立问题：

的定义域是，的定义域是，

（1）对任意，任意，总有成立等价于，

（2）对任意，存在，使得成立等价于，

（3）存在，对任意，使得成立等价于．

四、解答题

17．已知全集，集合.

(1)当时，求集合；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 当时，解出两个集合中的不等式，再求集合.

(2) 先求，再由，在数轴上确定集合A的范围，得到实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，或，

.

（2）由题得：

 ， ，即

故实数的取值范围是.

18．（1）化简求值：；

（2）已知，求值：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值；

（2）分析出，计算出的值，即可得出的值.

【详解】解：（1）原式；

（2）因为，则，

，因此，.

19．已知函数.

(1)用定义证明：在区间上是增函数；

(2)若对，都有，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数的单调性的定义即得；

（2）根据题意参变分离可得恒成立，然后利用函数的单调性可得函数的最值即得.

【详解】（1）设，则

，

因为，则，，，

从而，，

所以，即，

所以在区间上是增函数；

（2）因为对，都有，

所以恒成立，

由（1）得在上是增函数，

所以，

故的取值范围是.

20．为了振兴乡村，打好扶贫攻坚战，某企业应当地政府号召，在其扶贫基地建厂，利用当地原材料优势生产某种产品，已知年固定成本为50万元，年变动成本（万元）与产品产量（万件）的关系为，产品售价为10.5万元/万件，该企业利用其产业链优势，可将该厂产品全部收购

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少时，该厂年利润最大？最大利润为多少？

【答案】（1）；（2）当年产量为40万件时，该厂年利润最大，为85万元.

【分析】（１）根据题意，写出利润P关于x的函数解析式；

（２）分别利用二次函数的性质和基本不等式分段求得最大值，然后比较得出整个定义域内的利润最大值.

【详解】（1）产品年销售额为万元，由题意得

，即

.

（2）当，，此时，当时，年利润取得最大值50万元.

当时，，当且仅当即时取等号，则当时，年利润取得最大值85万元.

因此，当年产量为40万件时，该厂年利润最大，为85万元.

【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及利用二次函数的性质和基本不等式求最值，关键是分段求最值，然后比较得到利润最大值.

21．已知幂函数在上单调递增，.

(1)求实数m的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

解得或.

又因为在上单调递增，

所以即，故.

（2）又(1)知，

因为在上单调递增，

所以当时，，，

所以在上的值域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以的值域为，

因为命题q是命题p的必要不充分条件，

所以A⫋B，所以或，解得，

所以实数t的取值范围是.

22．已知函数，，.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知函数，且方程有唯一实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分析函数的定义域与单调性，由可得出关于的不等式组，即可得解；

（2）分析可知方程在时由唯一解，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：若，，由可得，

故函数的定义域为，

因为内层函数为上的增函数，外层函数为增函数，

故函数在上为增函数，

由可得，解得

不等式的解集为.

（2）解：因为方程有唯一实数解，则方程有唯一实数解，

即时，方程有唯一实数解.

即时，方程有唯一实数解，

即方程有唯一实数解.

①若，即时，解得，此时，合乎题意；

②若，即时，解得，，

当时，解得，此时，合乎题意；

当时，由，方程有唯一解，

则或，解得或.

因此，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.