2022-2023学年广西南宁市第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西南宁市第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西南宁市第二中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据绝对值不等式公式解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】，因此，故选：D2．已知函数．则的值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，将代入，可得，故选：．3．下列每组函数是同一函数的是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】根据同一函数的定义逐一判断即可.【详解】A：因为函数的定义域为全体实数，的定义域为非零实数，所以两个函数不是同一函数；B：因为函数的定义域为不等于3的全体实数，函数的定义域为全体实数，所以两个函数不是同一函数；C：因为，所以两个函数是同一函数；D：由或，由，因为两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是同一函数，故选：C4．已知不等式的解集是，则实数a等于（    ）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集可得，即可求实数a.【详解】由题设，有，可得.故选：A.5．下列说法正确的是（    ）A．命题“若，则”为真命题B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若实数满足，则或”为假命题D．命题“，使得”的否定是：“，均有”【答案】A【分析】利用作差法可判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；解方程可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，所以，命题“若，则”为真命题，A对；对于B选项，解方程可得或，所以，“”是“”的充分不必要条件，B错；对于C选项，解方程可得或，所以，命题“若实数满足，则或”为真命题，C错；对于D选项，命题“，使得”的否定是：“，均有”，D错.故选：A.6．函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数图象的对称轴为：，在上的值域为，，，由图可知.故选：A.7．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为 故选：D．8．若正实数满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解.【详解】由可得，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，解得：，所以，当且仅当即时等号成立，的最小值为.故选：D. 二、多选题9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】BD【解析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.【详解】A选项：，，但是，A不正确；B选项：因为成立，则，那么，B正确；C选项：，但是，C不正确；D选项：因为，则，又，所以，D正确.故选：BD【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.10．不等式成立的一个充分条件是（    ）A．或 B．或C． D．【答案】AD【分析】根据分式的性质，结合充分条件的定义逐一判断即可.【详解】不等式，解得或，显然A正确；不能推出或，B错误；不能推出或，C错误；能推出或，D正确；故选：AD.11．若，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据基本不等式逐一分析ABC，即可判断ABC，结合基本不等式即可判断D.【详解】解：因为，且，所以，所以，当且仅当时，取等号，故A正确；，所以，当且仅当时，取等号，故B错误；，所以，当且仅当时，取等号，故C正确；，所以，当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选：ACD.12．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】先求出的值域，然后由高斯函数的定义可得答案.【详解】当时，当时，则由，则，此时所以，则的值域为 故选：BC 三、填空题13．已知幂函数的图象经过点，则____________.【答案】1【分析】由幂函数的性质求解，【详解】设幂函数，∵函数过点，∴，解得，∴，.故答案为：114．函数的单调递增区间为__．【答案】[﹣2，2]【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可求解.【详解】令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，而g（x）的对称轴是：x=2，故g（x）在递增，在（2，6]递减，故函数f（x）在[﹣2，2]递增，故答案为：[﹣2，2]【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，求解时注意函数的定义域，属于易错题.15．若是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；【详解】因为是定义在R上的增函数，所以，即，解得， 故答案为：16．已知函数，对任意，总存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______________.【答案】或或【分析】确定在上单调递增，得到最小值为1，题目转化为对恒成立，构造，代入数据计算得到答案.【详解】在上单调递增，故，的最小值为1，任意，总存在，使不等式成立，即对于所有的恒成立，即对恒成立，令，只要，或或.故答案为：或或. 四、解答题17．已知集合，集合，.(1)求，；(2)若是的必要条件，求的取值范围.【答案】(1)，或；(2). 【分析】（1）根据集合交集、并集、补集的定义进行求解即可；（2）根据必要条件的性质进行求解即可.【详解】（1）由，得，，所以，，或；（2）由得，∴，∵是的必要条件，∴，∴，解得，故的取值范围.18．已知函数.(1)函数在区间上的单调性是怎样的？请用单调性的定义证明你的结论；(2)若，求时函数的值域.【答案】(1)函数在区间上单调递减，证明见解析；(2). 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可；（2）利用代入法，根据函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）当时，函数在区间上单调递减，证明如下：设是上任意两个实数，且，则有，，又由，则，，，所以当时，，从而得，则函数在区间上单调递减；（2）若，，则，此时函数在区间上单调递减，则，，即函数的值域为.19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式，并画出的图象；(2)求关于的不等式的解集.【答案】(1)，图象见解析(2) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，再设求出，即可得到函数在上的解析式，从而得到的函数解析式，再画出函数图象；（2）根据函数的奇偶性、单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，则，且当时，，设，则，所以，此时，综上所述，.作出函数的图象如图所示：（2）解：由（1）可知函数在定义域上为奇函数，由可得，由函数图象可得函数在定义域上为减函数，所以，解得，因此，关于的不等式的解集为.20．设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】（1）见解析    （2）【详解】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为时，解集为或；（2）由题意得：恒成立 恒成立 试题解析：（1） 时，不等式的解集为或时，不等式的解集为时，不等式的解集为或（2）由题意得：恒成立，   恒成立.易知  ，  的取值范围为：21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）【答案】(1)（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米． 【分析】（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于 的关系式，再由求解的范围得结论；（2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．【详解】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），代入，得，解得．，当时，，符合题意；当时，令，解得，．综上，．故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；（2）由题意得，，当时，为增函数，，等号当且仅当时成立；当时，．当且仅当，即，时成立，综上，的最大值约为3250，此时约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．22．已知函数，.(1)若，，求函数，的值域；(2)若恒成立，①求证：；②若，且恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据函数单调性的性质进行求解即可；（2）①根据一元二次不等式解集的性质，结合比较法进行求解即可；②利用常变量分离法，结合换元法、函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）若，，则因为与在上都单调递增，所以在上单调递增，所以，， 的值域为；（2）①证明：因为恒成立，即恒成立，所以，即，所以，则，所以；②，又，当时，不等式恒成立，当时，所以恒成立令，则，则在上恒成立，又（只需小于），所以.【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合函数单调性的性质是解题的关键.