2022-2023学年河南省实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的非空真子集的个数是（    ）

A．6 B．8 C．14 D．16

【答案】C

【分析】解分式不等式求集合M，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M的非空真子集的个数.

【详解】由题设，，即，可得，

∴共有4个元素，

故M的非空真子集的个数.

故选：C

2．下列命题是真命题的是（    ）

A．若.则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.

【详解】当时，若，则，故选项A错误；

当时，满足，但，故选项B错误；

当时，满足，但，故选项C错误；

若，，则由不等式的可加性得，即，选项D正确.

故选：D.

3．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），则函数F（x）＝f（x+2）+的定义域为（　　）

A．（﹣2，3] B．[﹣2，3] C．（0，3] D．（2，3]

【答案】A

【分析】根据题意列出不等式组，进而解出答案即可.

【详解】由题意，.

故选：A.

4．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.

【详解】由函数的图象为减函数可知，，

再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，

故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象

故选：B.

5．关于的不等式解集中有且仅有3个整数，则的取值不可能是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.

【详解】因为的不等式有解，

所以，即该不等式的解集为：，

因为关于的不等式解集中有且仅有3个整数，

所以，显然选项ABC都可能，

故选：D

6．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.

【详解】时，，

又的值域为，则时，的值域包含，

，解得：.

故选：B

7．已知函数，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化求解.

【详解】解：不等式f（x+1）﹣f（2）＜0等价为f（x+1）＜f（2），

∵f（x）＝x2+log2|x|，

∴f（﹣x）＝（﹣x）2+log2|﹣x|＝x2+log2|x|＝f（x），

则函数f（x）是偶函数，

且当x＞0时，f（x）＝x2+log2x为增函数，

则不等式f（x+1）＜f（2）等价为f（|x+1|）＜f（2），

∴|x+1|＜2且x+1≠0，

即﹣2＜x+1＜2且x≠﹣1，

则﹣3＜x＜1且x≠﹣1，

∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1），

故选A．

【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．

8．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将对，，使得转化为对于任意恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解.

【详解】∵，

∴，当且仅当，即时取等号.

∴当时，.

∴对，，使得等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立

∴对任意恒成立

∵函数在上为增函数

∴，即.

故选：B.

二、多选题

9．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（    ）

A． B． C．1 D．4

【答案】ACD

【分析】由题得或，化简即得解.

【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，

所以或，

所以或.

故选：ACD

10．下列选项中正确的有（    ）

A．不等式恒成立 B．，则

C．的最小值为1 D．存在a，使得不等式

【答案】BD

【分析】根据基本不等式的条件即可判断A、C、D；利用作差法即可判断B.

【详解】对于A，当时，，，故A错误；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时，取等号，又因，所以，故C错误；

对于D，当时，，所以存在，使得不等式成立，故D正确.

故选：BD.

11．如图是三个对数函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】根据对数函数的图象可判断出，再判断各选项即可得．

【详解】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，；而是增函数，.

故选：ABC．

12．已知函数，，且，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定、的取值范围，再利用函数和的单调性及判定和的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定.

【详解】因为、、在其定义域内都是增函数，

所以、在其定义域内都是增函数.

因为，，

且，所以，

又，，

且，所以，

所以，即选项A错误；

因为，函数、在其定义域内均为增函数，

所以，

所以，

即选项B正确，选项D错误；

令，，

则，，

由于，的图象都和直线相交（如图所示），

且函数和函数的图象关于直线对称，

直线和直线的交点为，

所以，即，即选项C正确.

故选：AD.

三、填空题

13．函数在区间上递减，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴，由此可求出实数的取值范围.

【详解】因为函数在区间上递减，

所以，解得.

故答案为：.

14．设，且，，则的最大值为_________.

【答案】14

【分析】分别得出的范围，进而将由来表示，然后求得答案.

【详解】由题意，，而，

设，

所以，即，

所以.

即的最大值为14.

故答案为：14.

15．已知常数，若函数反函数的图象经过点，则________

【答案】0

【分析】根据题中条件，得到的图象经过点，进而可求出结果.

【详解】因为函数反函数的图象经过点，

所以的图象经过点，则，所以.

故答案为：.

16．函数的零点个数为__________.

【答案】2

【解析】求函数的零点个数求对应方程即的根的个数求函数与函数的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数与函数的图象，确定交点个数，即可.

【详解】令，即

画函数与函数的图象，如下图所示

由图象可知，函数与函数有2个交点

所以函数有2个零点.

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.

四、解答题

17．已知集合，或.

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，结合数轴与补集的运算，即可求解；

（2）根据题意，分类讨论和两种形式，再结合数轴即可求解.

【详解】(1)当时，.

由或，得，故.

(2)①当，即，也就是时，；

②当，即时，由，得，解得，故.

综上，.

18．计算下列各式的值

(1)

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据指数幂的运算性质进行求解即可；

（2）根据对数的运算性质进行求解即可.

【详解】（1）

（2）

19．已知函数是上的偶函数.

(1)求实数的值；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；

(3)求函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】(1)

(2)单调递增，理由见解析；

(3).

【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；

（2）根据单调性的定义进行判断证明即可；

（3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为函数是上的偶函数，

所以有，

因为，所以；

（2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下：

设是上任意两个实数，且，即，

，

因为，所以，

所以函数在区间上单调递增；

（3）由（2）可知：函数在区间上单调递增，而函数是偶函数，所以函数在上单调递减，因为，，

所以.

20．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放个(，且)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为，其中.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用.

(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，求的值；

(2)若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

(3)若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，则在第分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.

【答案】（1）；（2）分钟；（3）见详解.

【分析】（1）由只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，根据已知可得，，代入可求出的值；（2）由只投放一次个单位的洗衣液，可得，分、两种情况解不等式即可求解；（3）令，由题意求出此时的值并与比较大小即可.

【详解】（1）因为，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升时，可得，即，解得；（2）因为，所以，当时，，将两式联立解之得；当时，，将两式联立解之得，综上可得，所以若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟；（3）当时，由题意，因为，所以在第分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.

【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.

21．设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.

(1)求的值；

(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；

(3)解不等式.

【答案】(1)；

(2)增函数，理由见解析；

(3)或.

【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；

（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；

（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，

令，可得，所以，

令，可得，即，解得；

（2）函数为增函数，证明如下：

设且，

令，根据题意，可得，即，

又由时，，

因为，可得，即，即，

所以函数在上的单调性；

（3）由题意和（1）可得：，

又由不等式，即，

可得，解得或，

即不等式的解集为或.

【点睛】关键点睛：令，构造大于1的实数是证明单调性的关键.

22．已知函数是偶函数.

(1)求实数k的值；

(2)设，若函数f（x）的图象与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；

（2）利用转化法，根据对数的运算性质，结合换元法分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）函数定义域为R，又是偶函数，即，

则，即有，

因为，所以；

（2）因函数与的图象有且只有一个公共点，则方程有唯一解，

由（1）知：，

即方程有且只有一个根，

令，则方程有且只有一个正根，

当时，解得，此时，而，不合题意；

当时，开口向上，且过定点，符合题意，

当时，，解得，

综上：实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：根据二次函数的性质分类讨论求解是解题的关键.