2022-2023学年河南省郑州市郑州外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

郑州外国语学校2022-2023学年高一上期期中考试试卷

数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-10题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的，11-12是多选题，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解对数不等式和分式不等式可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】由得：，则；

由得：，即，解得：或，则或；

.

故选：D.

2. 设，则“”是“”的（    ）.

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由且且，

故选：A．

3. 令，，，则三个数的大小顺序是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值可得大小关系.

【详解】，.

故选：D.

4. 已知，则（    ）

A. 25 B. 5 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．

【详解】因为，，即，所以．

故选：C.

5. 函数的最小值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，将原函数式转化为关于的二次函数的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可

【详解】解：设，则则

函数在上单调递减，在上单调递增，

，故选A．

【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题

6. 化简的值为（    ）

A.  B.  C.  D. -1

【答案】A

【解析】

【分析】运用对数运算性质即可求解.

【详解】解析：

故选：A.

7. 已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.

【详解】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，

所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，

当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，

所以a＝2，b＝1，

此时g(x)＝2|x＋1|＝

此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．

结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.

8. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先判断出真数部分对应函数的单调性，结合定义域可求参数的取值范围.

【详解】设，

因为，故在上为减函数，

而在区间内单调递增，

故为减函数，故，

又在上满足恒成立，故，

故，

故选：B.

9. 若定义上的函数满足：对任意有，若的最大值和最小值分别为，，则的值为（    ）

A. 2022 B. 2018 C. 4036 D. 4044

【答案】D

【解析】

【分析】由题设条件可得，令，则为上的奇函数，由可得的值.

【详解】任意有，

取，则即，

令，则，

故，

令，则，

故，故为上的奇函数，

故即，

故，

故选：D.

10. 已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将化为，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.

【详解】根据题意，，

则，故为偶函数；

且当时，单调增函数，

故即，则，

所以或，解得或，

故实数的取值范围为，

故选：D

11. 已知函数，若（其中），则的可能取值有（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题设条件可得，根据基本不等式可求最小值.

【详解】,

因为，故，

故，

而，故即，而，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

故的可能取值为（均验证）.

故选：BCD.

12. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的取值范围为

【答案】ABCD

【解析】

【分析】由已知等式可知与有四个不同的交点，作出与的图象，根据数形结合的方式可知A正确；由和可推导知BC正确；将化为，根据的范围可求得取值范围，知D正确.

【详解】由知：与有四个不同的交点，

作出与如下图所示，

对于A，由图象知：若与有四个不同交点，则，即，A正确；

对于B，，，则，B正确；

对于C，，即，，则，C正确；

对于D，由BC知：；

由图象知：，又对勾函数在上单调递增，

，则，D正确.

故选：ABCD.

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据单调性可确定每一段区间内的单调性及分段处函数值的大小关系，由此可构造不等式组求得结果.

【详解】在上单调递增，，解得：，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

14. 幂函数的图像过点,则的减区间为__________.

【答案】

【解析】

【分析】设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.

【详解】设幂函数的解析式为

代入点，得，所以

所以幂函数为，定义域为，

所以，则需要

即其定义域为或，

而的对称轴为

所以其单调减区间为

所以的减区间为.

【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.

15. 已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果.

【详解】，，使得，；

在上单调递减，；

在上单调递增，在上单调递增，

在上单调递增，；

，解得：，则实数的最大值为.

故答案为：.

16. 若函数在除去0的整数集合内单增，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】由对勾函数的性质求解，

【详解】已知，令得，则在和上单调递增，在和上单调递减，

由题意得，解得

故答案为：

三、解答题（本大题有6小题，共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）若函数的定义域为，求的范围；

（2）若函数的值域为，求的范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）将问题转化为对恒成立，分别在和的情况下进行讨论，从而求得结果；

（2）将问题转化为是的值域的子集的问题，分别在和的情况下根据包含关系构造不等式求解即可.

【详解】（1）的定义域为，对恒成立；

当时，不等式变为，即，不合题意；

当时，若恒成立，则，解得：；

综上所述：实数的取值范围为；

（2）设的值域为，

的值域为，；

当时，，则，满足题意；

当时，若，则，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

18. 已知是定义在区间上的奇函数且为增函数，.

（1）求的值；

（2）解不等式；

（3）若对所有、恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数定义可得，代入即可求得结果；

（2）根据单调性和定义域可构造不等式组求得结果；

（3）根据单调性可将恒成立不等式化为对恒成立，令，分别在、和的情况下，根据，结合一次函数单调性可求得结果.

【小问1详解】

为定义在上的奇函数，，

，解得：.

【小问2详解】

为定义在上的增函数，，解得：，

不等式的解集为.

【小问3详解】

对恒成立，，

为定义在上的增函数，，

，即对恒成立，

设；

当时，恒成立，满足题意；

当时，在上单调递减，，解得：；

当时，在上单调递增，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

19. 设函数.

（1）解方程；

（2）设不等式的解集为，求函数的值域.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简，由解得可得答案；

（2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案.

【小问1详解】

，

由得，解得或，

所以或.

所以方程的解是或；

【小问2详解】

由得，即，解得，，

，

令，所以，

则为开口向上对称轴为的抛物线，

因为，所以，

所以函数的值域为.

20. 定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）求f（0）的值；

（2）求证f（x）在R上是增函数；

（3）若f（k•3x）f（3x﹣9x﹣2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）f（0）＝1；（2）见解析；（3）k＜

【解析】

【分析】（1）利用赋值法求f（0）的值；

（2）根据增函数定义进行证明，其中利用条件“当x＞0时，f（x）＞1”比较大小是解题关键；

（3）先根据单调性化简不等式得32x﹣（1+k）•3x+2＞0，再分离变量转化为求对应函数y=3x+最值,最后根据基本不等式求函数最值，即得结果.

【详解】（1）令x＝0，y＝1，则f（0+1）＝f（0）f（1），所以f（1）＝f（0）f（1），

∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）＝1；

（2）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1

∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函数；

（3）∵f（x）在R上是增函数，f（k•3x） f（3x﹣9x﹣2）＝f（k •3x+3x﹣9x﹣2）＜f（0），

∴32x﹣（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．∴1+k＜3x+，∵3x＞0，∴3x+≥.

∴k＜．

【点睛】本题考查赋值法求函数值、利用函数单调性定义证明不等式、利用函数单调性解不等式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.

21. 2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.

（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；

（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）

【答案】（1）；（2）14℃.

【解析】

【分析】（1）运用代入法进行求解即可；

（2）由（1）的函数解析式，根据题意得到不等式，利用换底公式进行求解即可.

【详解】（1）设（且），则有，，.

（2）依题意有，

若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14℃.

22. 已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数.

（1）求解析式：

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性定义，解出奇函数和偶函数的表达式即可；

（2）代入到中，分离参数，将问题转化为函数最值问题来解．

【详解】解：（1）为定义在上的偶函数，为定义在上的奇函数，

，，

又由，

，

，；

（2）不等式在，上恒成立，

化简为，

，

，，

令，则．

则原式可化为，，恒成立．

显然当时，取得最大值，

．

【点睛】本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．